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2012届高考数学二轮专题 概率 随机变量及其分布列针对训练 理


概率、 概率、随机变量及其分布列
一、选择题 1.(2011 年高考浙江卷)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球 中至少有 1 个白球的概率是( A. B. C. D. 1 10 3 10 3 5 9 10 )

解析:选 D.“所取的 3 个球中至少有 1 个白球”的对立事件是“所取的 3 个球都不是白球”,因 C3 1 9 而所求的概率 P=1- 3=1- = . C5 10 10 1 2.在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于 的概率为( 3 A. B. C. D. 17 18 7 9 2 9 1 18 )
3

解析:选 A.

?0<x<1 ? 设这两个实数分别为 x,y,则? ?0<y<1 ?

1 ,满足 x+y> 的部分如图中阴影部分所示.所以 3

1 1 1 17 1 这两个实数的和大于 的概率为 1- × × = ,故选 A. 2 3 3 18 3

-1-

3.若在区间[-5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x-1) +(y+2) =2 有公共点的概率为( A. B. C. D. 2 5 2 5 3 5 3 2 10 )

2

2

解析:选 B.若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离 d = 4 2 1≤a≤3.又 a∈[-5,5],故所求概率为 = ,故选 10 5 B. 5 4.设随机变量 ξ~B(2,p),η~B(4,p),若 P(ξ≥1)= ,则 P(η≥2)的值为( 9 A. B. C. D. 32 81 11 27 65 81 16 81 ) |1-2+a| 2 = |a-1| 2 ≤ 2,解得-

解析:选 5 5 1 5 1 2 2 2 B.由 P(ξ≥1)= , C2p(1-p)+C2p = , 9p -18p+5=0, 得 即 解得 p= 或 p= (舍去), 9 9 3 3 1 2 2 2 1 3 2 1 4 11 2 2 2 3 3 4 4 ∴P(η≥2)=C4p (1-p) +C4p (1-p)+C4p =6×( ) ×( ) +4×( ) × +( ) = . 3 3 3 3 3 27 5.(2011 年高考辽宁卷)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之 和为偶数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( A. B. 1 8 1 4 )

-2-

C. D.

2 5 1 2

解析:选 C3+C2 2 C2 1 P?AB? 1 = . B.P(A)= 2 = ,P(AB)= 2= ,P(B|A)= C5 5 C5 10 P? A? 4 二、填空题 6.(2011 年浙江金华模拟)已知甲盒内有外形和质地相同的 1 个红球和 2 个黑球,乙盒内 有外形和质地相同的 2 个红球和 2 个黑球.现从甲、乙两个盒内各取 1 个球,则取出的 2 个 球中恰有 1 个红球的概率是__________. 解析:从甲、乙两个盒内各取 1 个球,共有 3×4=12 种不同的取法.其中,从甲盒内取 1 个红球,从乙盒内取 1 个黑球,有 2 种取法;从甲盒内取 1 个黑球,从乙盒内取 1 个红球, 2+4 1 有 4 种取法.故取出的 2 个球中恰有 1 个红球的概率是 P= = . 12 2 1 答案: 2 2 3 7.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工 3 4 为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________. 解析:设事件 A:“一个实习生加工一等品”, 事件 B:“另一个实习生加工一等品”,由于 A、B 相互独立,则恰有一个一等品的概率
2 2 2

P=P(A∩ B )+P( A ∩B)=P(A)·P( B )+P( A )·P(B)= × + × = .
答案: 5 12

2 1 1 3 4 3

3 5 4 12

8.(2011 年高考浙江卷)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个 2 人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p,且 3 1 三个公司是否让其面试是相互独立的. X 为该毕业生得到面试的公司个数. P(X=0)= , 记 若 12 则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 1 1 1 2 解析:由题意知 P(X=0)= (1-p) = ,∴p= . 3 12 2 随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

3

-3-

P
1 12 1 3 5 12

1 12 1 5 6 3

1 3

5 12

1 6

E(X)=0× +1× +2× +3× = .
5 答案: 3 三、解答题 9.(2011 年安徽宣城调研)某人向一目标射击,在 A 处射击一次击中目标的概率为 0.2, 击中目标得 2 分;在 B 处射击一次击中目标的概率为 q,击中目标得 1 分.若他射击 3 次,第 一次在 A 处射击.后两次都在 B 处射击,用 ξ 表示他 3 次射击后所得的总分,其分布列为

ξ P

0 0.288

1

2

3

4

p1

p2

p3

p4

(1)求 q 及 ξ 的数学期望 E(ξ); (2)求此人 3 次都选择在 A 处向目标射击且得分高于 2 分的概率. 解:(1)由(1-0.2)(1-q) =0.288,得 q=0.4,
2

p1=0.8×C1×0.4×0.6=0.384, 2 p2=0.2×0.62+0.8×0.42=0.2, p3=0.2×C1×0.4×0.6=0.096, 2 p4=0.2×0.42=0.032,
∴E(ξ)=0.384+2×0.2+0.096×3+0.032×4=1.2. (2)∵3 次射击得分高于 2 分就是 3 次射击至少有两次击中目标. ∴所求概率为 C3×0.8×0.2 +0.2 =0.104. 10.(2011 年高考陕西卷)
2 2 3

如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响, 所用时间落在各时间段内的频率如下表: 时间(分钟) 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

L1 的频率 L2 的频率

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站. (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案, 求 X 的分布列和数学期望.

-4-

解:(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择路 径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2. 用频率估计相应的概率可得

P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5.
∵P(A1)>P(A2), ∴甲应选择 L1.

P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9.
∵P(B2)>P(B1), ∴乙应选择 L2.

(2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲,乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(1) 知 P(A)=0.6,P(B)=0.9. 又由题意知,A,B 独立,
--

∴P(X=0)=P(AB)=P( A )P( B )=0.4×0.1=0.04,

P(X=1)=P( A B+A B )=P( A )P(B)+P(A)P( B )
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,

P(X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.
∴X 的分布列为

X P

0 0.04

1 0.42

2 0.54

∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5. 11.某商场准备在五一期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 2 种服装,2 种 家电,3 种日用品这 3 类商品中,任意选出 3 种商品进行促销活动. (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; (2)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提 高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获 1 得数额为 m 元的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 ,请问:商场应将每次中奖 2 奖金数额 m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利? 解:(1)从 2 种服装,2 种家电,3 种日用品中,任选出 3 种商品一共有 C7种选法,选出 的 3 种商品中没有日用商品的选法有 C4种,所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概
3 3

-5-

C4 31 率为 P=1- 3= . C7 35 (2)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一个随机变量,设为 X,其所有可能值为 0,

3

m,2m,3m.
当 X=0 时,表示顾客在三次抽奖中都没有获奖, 1 3 1 0 1 0 所以 P(X=0)=C3( ) ·( ) = , 2 2 8 1 2 3 1 1 1 同理可得 P(X=m)=C3( ) ·( ) = , 2 2 8

P(X=2m)=C2( )2·( )1= , 3 P(X=3m)=C3( )3·( )0= . 3
所以顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 1 2 1 2 1 8

1 2

1 2

3 8

E(X)=0× +m× +2m× +3m× =1.5 m.
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额, 所以 1.5m≤150,即 m≤100. 故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元,才能使促销方案对商场有利.

1 8

3 8

3 8

1 8

-6-


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