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【新导学案】高中数学人教版必修四:2.3.1《平面向量的基本定理》


2.3.1《平面向量的基本定理》导学案 【学习目标】 1、知道平面向量基本定理; 2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步应用向量解决实际问 题; 3、能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示. 【重点难点】 1. 教学重点:平面向量基本定理 2. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用 【学法指导 】:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫. 【知识链接】 (一)复习回顾 ? ? 1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a ? ? ? ? ? (1)|λ a |= ;(2)λ >0 时λ a 与 a 方向 ;λ <0 时λ a 与 a 方向 ;λ =0 时λ ? a= 2.运算定律 [来源:Z.xx.k.Com] [来源:学科网] 结合律:λ (μ a )= ? ? ? 3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要 条件是:有且只有一个非零实数λ , 使 . (二)阅读教材,提出疑惑: 如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量? ;分配律:(λ +μ) a = ? , λ ( a + b )= ? ? . 【学习过程】 (一)定理探究: 平面向量基本定理: 探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做 表示这一平面内所有向量的 (2) 基底不惟一,关键是 ; (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e 2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式 (二)例 题讲解 例 1 已知向量 e1 , e2 求作向量? 2.5 e1 +3 e2 . ; . 即λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量 ? 例 2、如图 ABCD 的两条对角线交于点 M,且 AB = a , AD = b ,用 a , b 表示 MA , MB , ? ? ? ? MC 和 MD 例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,求证: OA + OB + OC + OD =4 OE 例 4(1)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t ? R)用 OA , OB 表示 OP . ??? ? ?? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) .求证:A、B、P 三点共线. (2)设 OA、 OB 不共线, 点 P 在 O、A、B 所在的平面内,且 例 5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数 ?、?, 使d ? ? a ? ?b 与 c 共线. ? ? ? ? 【学习反思】 [来源:学科网 ZXXK] 【拓展提升】 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知向量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向 量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y

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