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正弦函数、余弦函数图象和性质(3)导学案


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正弦余弦函数的图象和性质( 4-13 正弦余弦函数的图象和性质(3) 姓名 :

1 理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、奇偶性的意义; 2 会求简单函数的定义域、值域和单调区间;
新疆 王新敞
奎屯

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学习重点 1.正、余弦函数的性质 。 学习难点 1. 正、余弦函数性质的理解与应用 学习导航 导学案 一.复习引入 : 1.正弦曲线和余弦曲线.
1 -6π -5π -4π -3π -2π -π -1 y 0 π 2π 3π 4π 5π 6π x

f(x) = sin(x)
1 -6π -5π -4π -3π -2π -π -1 y 0 π 2π 3π 4π 5π 6π x

f(x) = cos(x)
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : (1)正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点 关键点是: 关键点 _____________________________________________________________ (2)余弦函数 y=cosx x∈[0,2π]的五个点关键是 ___________________________________________________________________ (3)y=cosx, x∈R 与函数 y=sinx ,x∈R 的图象关系 _____________________________________________________________________ 新课讲解: 二.新课讲解: (1)定义域: 正弦函数 y=sinx,的定义域是_________________. 余弦函数 y=cosx 的定义域是___________________。 (2)值域
1

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以|sinx| ≤1,|cosx|≤1,即 -1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1,正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1] 其中正弦函数 y=sinx,x∈R R ①当且仅当_________________时,取得最大值 1 ②当且仅当_________________时,取得最小值-1 而余弦函数 y=cosx,x∈R R ①当且仅当________________时,取得最大值 1 ②当且仅当________________时,取得最小值-1 (3)周期性 由 sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx (k∈Z)知: Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的 一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的 每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期 由此可知,2π,4π,……,-2π,-4π,……2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是 Z 这两个函数的周期 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那 么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 注意: 1°周期函数 x∈定义域 M,则必有 x+T∈M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义域无下界; 2°“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)≠f (x0)) 3°T 往往是多值的(如 y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期)周期 T 中最 小的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) 根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z 且 k Z ≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π (4)奇偶性 正弦函数是____________________ 余弦函数是____________________ 正弦曲线关于________对称,对称中心是__________对称轴是__________ 余弦曲线关于________对称, 对称中心是_________对称轴是___________ (5)单调性 π 3π 从 y=sinx,x∈[- , ]的图象上可看出: 2 2
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π

π

当 x∈[-


2 2

]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1
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3π ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1 2 2 正弦函数在每一个闭区间___________________上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一个闭区间__________________________上都是减函数,其值从 1 减小到-1 余弦函数在每一个闭区间___________________上都是增函数,其值从-1 增加到 1;在每一个闭区间__________________________上都是减函数,其值从

π

当 x∈[



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2

1 减小到-1 典例讲解: 三.典例讲解: 例 1 求使下列函数取得最大值的自变量 x 的集合,并说出最大值是什么 (1)y=cosx+1,x∈R; R (2)y=sin2x,x∈R R
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例 2 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小; π π 23π 17π (1) sin(? )与 sin(? ) (2) cos(? )与 cos(? ) 18 10 5 4

1 π 例 3 求函数 y = sin( x + ).x ∈ [ ?2π , 2π ] 的单调区间。 2 3

练习案 1.P40 练习 1

2.P40 练习 3
3

3. 直接写出下列函数的定义域、值域: 1° y=
1 1 + sin x

2° y= ? 2 cos x

4.

求下列函数的最值: 1° y=sin(3x+
π
4

)-1

2° y=sin2x-4sinx+5

5.函数 y=ksinx+b 的最大值为 2,

最小值为-4,求 k,b 的值

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五.课堂小结 知识:

六.课后作业活页作业 P67 ※自我评价 你完成本节导学案的情况为( A.很好 B.较好 C.一般 D.较差 七.课后反思



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