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高三文科数学二轮专题复习―立体几何


陕科大附中高三文科数学二轮专题复习――立体几何 陕科大附中数学组 吕健学
一、本章知识结构:

二、题型及典型例题

题型一:空间几何体的结构、三视图、直观图
【内容解读】了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结 构。能画出简单空间几何体的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图。能 用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建 筑物的视图与直观图。

,B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何体如图 2,则 例1、 (2008 广东)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A 该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( ) A A H G B B B B B B C C 侧视 I
E F 图1 D E F 图2 D E A. E B. E C. E D.

例 2、 (2008 江苏模拟)由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示,则该几何体中正方体木块的个数 是 .

主视图

左视图 俯视图

考点二:空间几何体的表面积和体积

【内容解读】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法,了解它们的侧面展开图,及其对计算侧面积的作 用,会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。例 3、 (2007 广东)已知某几何体的俯视图是 如图 5 所示的矩形,正视图(或称主 2 视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图(或 称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形. 3 (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

例 4、 (2008 山东)右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( A. 9 π 例 5、 (湖北卷 3)用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为( B. 10π C. 11π D. 12π

) )

8 2? 8? 3 A. 3 B. 考点三:点、线、面的位置关系

C. 8 2?

32? D. 3

【内容解读】理解空间中点、线、面的位置关系,了解四个公理及其推论;空间两直线的三种位置关系及其判定;异 面直线的定义及其所成角的求法。 例 6、如图 1,在空间四边形 ABCD 中,点 E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别

CF CG 2 是边 BC、CD 上的点,且 CB = CD = 3 ,则(



(A)EF 与 GH 互相平行 (B)EF 与 GH 异面 (C)EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上 (D)EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上 的中点,则 AE,SD 所成的角的余弦值为( )

例 7、 (2008 全国二 10)已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB

2 3 1 2 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 考点四:直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
例 8、 (2008 安徽)如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,

图1

【内容解读】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理,能用判定定理证明线面平行、面面平行,会 用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。 。

O M A B N C D

4 , OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点 (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;
(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

?ABC ?

?

例 9、一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M、N 分别是 AB、AC 的中点,G 是 DF 上的一动点. (1)求证: GN ? AC; (2)当 FG=GD 时,在棱 AD 上确定一点 P,使得 GP//平面 FMC,并给出证明.

考点五:直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
【内容解读】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理,能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、 面面垂直,会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。 例 10、 (2008 广东中山模拟)如图,四棱锥 P—ABCD 中, PA ? 平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD, CD⊥AD,CD=2AB,E 为 PC 中点. P (I) 求证:平面 PDC ? 平面 PAD; E (II) 求证:BE//平面 PAD. D A (1)求证:平面 EBD ? 平面 SAC ; B C

例 11、 (2008 广东深圳模拟)如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SA ? 底面 ABCD , E 是 SC 上一点. (2)设 SA ? 4 , AB ? 2 ,求点 A 到平面 SBD 的距离;
S

E A D C

考点六:立体几何中的综合问题

B

例 12、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB//DC, ?PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8, AB=2DC=4 5 。 (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

例 13、如图在五棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB//CD, AC//ED, AE//BC, ∠ABC=45°,AB ? 2 2, BC ? 2 AE ? 4, 三角形 PAB 是等腰三角形. (1)求证:平面 PCD⊥平面 PAC; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (3)求四棱锥 P-ACDE 的体积.

例 14、 如图,在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形, AB=2EF=2,EF//AB, EF⊥FB, ∠BFC=90°,BF=FC, H 为 BC 的中点. (1)求证:FH//平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 B—DEF 的体积.

【2012 高考江西文 19】 (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4 2 , DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合与点 G,得到多面体 CDEFG.

(1) 求证:平面 DEG⊥平面 CFG; 求多面体 CDEFG 的体积。

41.【2102 高考福建文 19】 (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点。

(1) 求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2) 当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC。 练习题;
(2013 年高考浙江卷(文) )设 m.n 是两条不同的直线,α .β 是两个不同的平面,





A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α 【答案】C

B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β

1 .( 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 )) 已 知 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 6 个 顶 点 都 在 球

O 的球面上,若


AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为
A.

( D. 3 10

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

【2012 高考安徽文 12】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于______。

(2013 年高考天津卷 (文) ) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为

9? , 则正方体的棱长为 ______. 2

【答案】 3 2. (2013 年高考辽宁卷(文) )某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.

【答案】 16?

? 16

【2012 高考浙江文 20】如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2 。 AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点。 (1)证明: (i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面 B1C1EF; (3) 求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值。

【2102 高考北京文 16】 (本小题共 14 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2。

(I)求证:DE∥平面 A1CB; (II)求证:A1F⊥BE; (III)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由。 (2013 年高考山东卷 (文) ) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , AB ? PA , AB∥CD, AB ? 2CD , E , F , G , M , N 分 别为 PB, AB, BC , PD, PC 的中点 (Ⅰ)求证: CE∥平面PAD ;(Ⅱ)求证: 平面EFG ? 平面EMN

(2013 年高考北京卷(文) )如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB / / CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面

ABCD , PA ? AD , E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:
(1) PA ? 底面 ABCD ;(2) BE / / 平面 PAD ;(3)平面 BEF ? 平面 PCD

(2013 年高考广东卷 (文) ) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ?

AE , F 是
2 . 2

BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ?
(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
A

A

G

E

D

G

D

E
F

C

B

F 图 4

C
B 图 5



如 图 , 在 四 棱 中, PD ? 面ABCD , AB / / DC , AB ? AD , BC ? 5 , DC ? 3 , AD ? 4 , ?PAD ? 60? .
2013 年 高 考 福 建 卷 ( 文 ) )



P ? ABCD

(1)当正视图方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证: DM / / 面PBC ; (3)求三棱锥 D ? PBC 的体积.

????

(2013 年高考浙江卷(文) )如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3,∠ABC=120°,G 为线

段 PC 上的点. (Ⅰ)证明:BD⊥面 PAC ; (Ⅱ)若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值; PG (Ⅲ)若 G 满足 PC⊥面 BGD,求 的值. GC


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