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【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:6.7数学归纳法(人教A版·数学理)

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课时提能演练(三十九)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1-an+2 1.利用数学归纳法证明“1+a+a +?+a = (a≠1, 1-a
2 n+1

100 分)

n∈N*)”时,在验证 n=1 成立时,左边应该是( (A)1 (C)1+a+a2 (B)1+a (D)1+a+a2+a3

)

n4+n2 2.(2012·杭州模拟)用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = , 则 2
2

当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上( (A)k2+1 (B)(k+1)2 (k+1)4+(k+1)2 (C) 2 (D)(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2 3.下列代数式(k∈N*)能被 9 整除的是( (A)6+6×7k (C)2(2+2×7k+1) (B)2+6×7k-1 (D)3(2+7k) )

)

4.某个命题与正整数 n 有关,如果当 n=k(k∈N*)时命题成立,那么 可推得当 n=k+1 时命题也成立.现已知当 n=7 时该命题不成立, 那

么可推得(

)

(A)当 n=6 时该命题不成立 (B)当 n=6 时该命题成立 (C)当 n=8 时该命题不成立 (D)当 n=8 时该命题成立 5.(易错题)若 Sk=1+2+3+?+(2k+1),则 Sk+1=( (A)Sk+(2k+2) (B)Sk+(2k+3) (C)Sk+(2k+2)+(2k+3) (D)Sk+(2k+2)+(2k+3)+(2k+4) 6.已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n-1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立,则 a、b、c 的值为( 1 1 (A)a= ,b=c= 2 4 1 (B)a=b=c= 4 1 (C)a=0,b=c= 4 (D)不存在这样的 a、b、c 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2012·徐州模拟)用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能 被 x+y 整除”,当第二步假设 n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需 证 n= 时,命题亦真. ) )

8.f(n+1)= 为

2f(n) ,f(1)=1(n∈N*),猜想 f(n)的表达式 f(n)+2 .

9.用数学归纳法证明: 12 22 n2 n(n+1) + +?+ = ; 当推证当 n=k+1 等 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 2(2n+1) 式也成立时,用上归纳假设后需要证明的等式是 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 2 10.(2012·赣州模拟)数列{an}中, a1=- ,当 n>1,n∈N*时,Sn+ 3 1 =an-2, Sn (1)求 S1,S2,S3 的值; (2)猜想 Sn 的表达式,并证明你的猜想. 1 1 1 a 11.(2012·丽水模拟)若不等式 + +?+ > 对一切正 n+1 n+2 3n+1 24 整数 n 都成立,猜想正整数 a 的最大值,并证明结论. 【探究创新】 (16 分)设函数 y=f(x), 对任意实数 x, 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) y +2xy. (1)求 f(0)的值; (2)若 f(1)=1,求 f(2),f(3),f(4)的值; (3)在(2)的条件下, 猜想 f(n)(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明. .

答案解析
1.【解析】选 C.当 n=1 时,左边=1+a+a2,故选 C. 2.【解析】选 D.当 n=k 时,左端=1+2+3+…+k2, 当 n=k+1 时,左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k +1)2, 故当 n=k+1 时, 左端应在 n=k 的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+… +(k+1)2,故选 D. 3.【解析】选 D.通过验证 k=1 可否定 A、B、C. 4.【解析】选 A.命题“n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当 n=k +1 时命题也成立”的逆否命题为“n=k+1(k∈N*)时命题不成立, 那么可推得当 n=k(k∈N*)时命题也不成立” ,故选 A. 【变式备选】f(x)是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的 k,若 f(k)≥k2 成立,则 f(k+1)≥(k+1)2 成立,下列命题成立的是 ( )

(A)若 f(3)≥9 成立,则对定义域内任意的 k≥1,均有 f(k)≥k2 成立 (B)若 f(4)≥16 成立,则对定义域内任意的 k≥4,均有 f(k)<k2 成立 (C)若 f(7)≥49 成立,则对定义域内任意的 k<7,均有 f(k)<k2 成立 (D)若 f(4)≥16 成立,则对定义域内任意的 k≥4,均有 f(k)≥k2 成 立 【解析】选 D.命题 n=k 时成立,则 n=k+1 时就成立,故若 n=4 时,f(4)≥16,则 k≥4 时,f(k)≥k2 成立. 5.【解析】选 C.Sk+1=1+2+3+…+[2(k+1)+1]=1+2+3+…+

(2k+3)=1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3)=Sk+(2k+2) +(2k+3). 6.【解题指南】由题意知,等式对一切 n∈N*都成立,可取 n=1,2,3, 代入后构成关于 a、b、c 的方程组,求解即得. 【解析】选 A.令 n=1,2,3 分别代入已知得

?1=3(a-b)+c ? ?1+2×3=3 (2a-b)+c ?1+2×3+3×3 =3 (3a-b)+c ?
2 2 3



?3a-3b+c=1 ? 即?18a-9b+c=7 ?81a-27b+c=34 ?

.

1 1 1 解得:a= ,b= ,c= . 2 4 4 7.【解析】因为 n 为正奇数,所以与 2k-1 相邻的下一个奇数是 2k +1. 答案:2k+1 2f(1) 2 8.【解析】f(2)= = ; f(1)+2 3 2 3 2 2f(2) f(3)= = = ; f(2)+2 2 4 +2 3 2× 2 4 2 2f(3) 2 f(4)= = = ;…;猜想 f(n)= . f(3)+2 2 5 n+1 +2 4 2× 答案:f(n)= 2 n+1

12 22 9.【解析】当 n=k+1 时, + +…+ 1×3 3×5 k2 (k+1)2 + (2k-1)(2k+1) (2k+1)(2k+3) k(k+1) (k+1)2 = + 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) k(k+1) (k+1)2 故只需证明 + 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) (k+1)(k+2) = 即可. 2(2k+3) k(k+1) (k+1)2 (k+1)(k+2) 答案: + = 2(2k+1) (2k+1)(2k+3) 2(2k+3) 10.【解析】(1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1, 1 ∴Sn+ =Sn-Sn-1-2, Sn ∴Sn=- 1 (n≥2). Sn-1+2

2 1 3 ∴S1=a1=- ,S2=- =- , 3 S1+2 4 S3=- 1 4 =- . S2+2 5

n+1 (2)猜想 Sn=- ,下面用数学归纳法证明: n+2 2 1+1 ①当 n=1 时,S1=- =- ,猜想正确; 3 1+2 k+1 ②假设当 n=k 时猜想正确,即 Sk=- , k+2

1 1 那么当 n=k+1 时,Sk+1=- =- Sk+2 k+1 - +2 k+2 (k+1)+1 =- , (k+1)+2 即当 n=k+1 时猜想也正确. 根据①、②可知,对任意 n∈N*,都有 Sn=- n+1 . n+2

【方法技巧】解“归纳——猜想——证明”题的关键环节 (1)准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础. (2)通过观察、分析、比较、联想,猜想出一般结论. (3)对一般结论用数学归纳法进行证明. 【变式备选】在各项均为正数的数列{an}中,数列的前 n 项和为 Sn, 1 1 满足 Sn= (an+ ). 2 an (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)由(1)猜想出数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜 想. 1 1 【解析】(1)a1=S1= (a1+ ), 2 a1 ∴a2=1,∵a1>0,∴a1=1, 1 1 1 S2=a1+a2=1+a2= (a2+ ), 2 a2 得 a2+2a2-1=0, 2 ∵a2>0,∴a2= 2-1, 同理可求得 a3= 3- 2.

(2)由(1)猜想 an= n- n-1(n∈N*) 用数学归纳法证明如下: ①当 n=1 时,由(1)知猜想正确. ②假设当 n=k 时,ak= k- k-1(k∈N*), 那么当 n=k+1 时, 1 1 1 1 ak+1=Sk+1-Sk= (ak+1+ )- (ak+ ) 2 ak+1 2 ak 1 1 1 1 = (ak+1+ )- ( k- k-1+ ) 2 ak+1 2 k- k-1 1 1 = (ak+1+ )- k 2 ak+1 ∴a2 +2 kak+1-1=0, k+1 ∵ak+1>0, ∴ak+1= k+1- k, 即当 n=k+1 时,猜想也成立, 由①、②可知,对一切 n∈N*,猜想都成立. 1 1 1 a 26 a 11.【解析】当 n=1 时, + + > ,即 > , 1+1 1+2 3+1 24 24 24 所以 a<26. 1 1 而 a 是正整数,所以取 a=25,下面用数学归纳法证明: + n+1 n+2 1 25 +…+ > . 3n+1 24 (1)当 n=1 时,已证; 1 1 1 25 (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 + +…+ > , k+1 k+2 3k+1 24

则当 n=k+1 时, 1 1 1 有 + +…+ (k+1)+1 (k+1)+2 3(k+1)+1 1 1 1 1 1 1 1 25 = + +…+ + + + - > + k+1 k+2 3k+1 3k+2 3k+3 3k+4 k+1 24 1 1 2 [ + - ]. 3k+2 3k+4 3(k+1) 1 1 6(k+1) 2 因为 + = 2 > , 3k+2 3k+4 9k +18k+8 3(k+1) 1 1 2 所以 + - >0, 3k+2 3k+4 3(k+1) 所以当 n=k+1 时,不等式也成立, 1 1 1 25 由(1)(2)知,对一切正整数 n,都有 + +…+ > , n+1 n+2 3n+1 24 所以 a 的最大值等于 25. 【探究创新】 【解题指南】(1)令 x,y 均为 0 可得 f(0); (2)利用递推条件可得 f(2),f(3),f(4); (3)证明时要利用 n=k 时的假设及已知条件进行等式转化. 【解析】 (1)令 x=y=0, f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0, f(0) 得 得 =0. (2)由 f(1)=1, 得 f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=4. f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=9. f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+2×3×1=16.

(3)由(2)可猜想 f(n)=n2, 用数学归纳法证明: (ⅰ)当 n=1 时,f(1)=12=1 显然成立. (ⅱ)假设当 n=k 时,命题成立,即 f(k)=k2, 则当 n=k+1 时, f(k+1)=f(k)+f(1)+2×k×1 =k2+1+2k=(k+1)2, 故当 n=k+1 时命题也成立, 由(ⅰ),(ⅱ)可得,对一切 n∈N*都有 f(n)=n2 成立.


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