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对称分布下次序统计量有关期望和方差性质的两种证明


第3 1卷 第 6期  2 0 1 1年 6 月       成 宁 学 院 学 报  Vo . 131, No.   6 J u md o 【 n i g Un v r i   o r   f)i n n   ie st a y J n 2 1  u 。0 l 文章 编号 :06— 32 2 1 )6— 0 6一 2 10 54 (0 10 0 5 O   对称分布 下次序统计量有关期望  和方差性质 的两种证 明  黄  欣  ( 珠海市夏湾中学, 广东 珠海 592 ) 100  摘 要: 次序 统计量在非参数估计 以及 在近 年来 兴起 的排 序集抽 样理论 中有着 重要 的作 用. 中一 个重要 的性  其 一   质: 首末 对称 位置次序 统计量的期望和 的一半等 于总体 均值 , 末对称位 置次序统 计量的方 差相等 即  首 = ; =6 + 本 文给 出两种 证 明 .      r l     , 关键词 : 期望 ; 方差 ; 次序统计量 ; 对称分布  中图分类号 : 2  01 文献标 识码 :   A 在证明之前 以定义 和引理 的形 式给出一些基本事 实.   1 对 称分布的定义  3 定理的证明  定理  随 机 变 量 x 是 关 于 a对 称 , 分 布 函数 为  其 FO ) 密度 函数 为  ) 设 E l, =E ( ,, . X=z  x  =1 … , , , , 则  l =Vr( ’ axf i )  定义 设 a为常数 , V 若  ∈R, 有  p x一口 - )= ( 一 ≥   ( ≤ x p   口  ) 则称随机变 量  是关 于直线 = 的对称 的随机变量? 称  口 简 随机变量  是关 于 a 对称.   ( )  1: = ;     ( )  = 一+. 2 :   i1   ∞   利用分 布函数 , 定义可写为  , 口一 ) — (   变换 得:   (   =l F a+ ), F( ):1一 2  ) F(a~ ;   证明 ( ) 1  + =』 。   ∞  ( d   ) x 当  为连续 随机变 量有密度函数为, ) 则定义 可 以写为  ( , , a— (  )= (  ) 变换得  , a+ , 2 几个引理  )= ( a—   , 2  ) !   一( n—i !( 一1 ! ) i )  一   』   一( , ) 1 ( ) ,ix   ) ( 【 一F x -d  记 『  = 二 引理 14 : [ ]若随机变量  是关于 a 称 , E 口 对 则 X= ;   引理 2 4 若 随机变 量  是关 于 a对称 的充 要 条件  [ ]: d   为A 令 = 。 t , 2 一 则  l Af(a t ( - ) 2 — )1 F2 tr t =   2 —)   t (a t[ - ( ) d   f a-   因为 , 2 t   t ; ()=1 ( a— )= ) F t 一F(a—t 2 )   所 以  一   是  —a=a—    ; 引理 3 3 : { ,≤J X, d于 F ) 其 密 度为  [ 】设   1 j } ≤n   , ( , ) 。, ,( 为其 次序统计量 ,   ,( …    ) ) 则 (的密度为 : )   ( )=     (   州 1 州 训   += ( 一)1 Ft  ) ‘)t IA 2

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