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最新第三章《数系的扩充与复数的引入》章末总结课件

①复数的分类 ?实数(b=0) ? a+bi???虚数(b≠0)?????非纯纯虚虚数数(a=(a≠0) 0) ? ②处理有关复数概念的问题,首先可找准 复数的实部与虚部(若复数为非标准代数形 式,则应通过代数运算化为代数形式),然 后根据定义解题. [例 1] 复数 z=m2m++m2-6+(m2-3m-10)i, 求实数 m 使得 (1)z 是实数; (2)z 是纯虚数; (3)z 所对应的点在复平面的第二象限; (4)z 是复数. [解析] 实部为m2m++m2-6=(m+m3+)(m2-2) 虚部为 m2-3m-10=(m+2)(m-5). (1)要使 z 为实数,则?????(mm++22≠)(m0 -5)=0 即?????mm=≠--22或m=5 ∴当 m=5 时,z 是实数. (2)要使 z 为纯虚数,则???(m+m3+)(m2-2)=0 ??(m+2)(m-5)≠0 即?????mm=≠--32或且mm=≠25 , ∴当 m=-3 或 m=2 时,z 是纯虚数. (3)由复数 z 所对应的点在复平面上第二象限的充 要条件知 ???(m+m3+)(m2-2)<0 ??(m+2)(m-5)>0 即?????mm<>5-或3或m<--22<m<2 , ∴m<-3. ∴当 m<-3 时,z 对应的点在第二象限. (4)要使 z 为复数,则 ???(m+m3+)(m2-2)∈R ??(m+2)(m-5)∈R ∴当 m≠-2 时,z 为复数. ①a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)??????ab= =cd . ②利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化,解 题时可把等号两边的复数化为标准的代数形式. ? [例2] 已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8}, 集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}同时满足 M∩N M,M∩N≠?,求整数a,b. [解析] 依题意得(a+3)+(b2-1)i=3i ① 或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i ② 或 8=(a2-1)+(b+2)i ③ 由①得 a=-3,b=±2,经检验 b=-2.不合题意, 舍去.∴a=-3,b=2. 由②得?????ab+2-31==ab2-+12 即?????ab22--ab--43==00 此方程组无整数解. 由③得 a=±3,b=-2, 又 a=-3,b=-2 不合题意,舍去,∴a=3,b= -2. 综上得 a=-3,b=2 或 a=3,b=-2. (1)在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计 算速度. ①(1+i)2=2i;②(1-i)2=-2i;③11+-ii=i;④11-+ii=-i; ⑤-b+ai=i(a+bi);⑥i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3= -i(n∈N). ? (2)复数的四则运算类似于多项式的四则运 算,此时含有虚数单位i的看作一类同类项, 不含i的看作另一类同类项,分别合并即可, 但要注意把i的幂写成最简形式,两个复数 相除,类似于根式分母有理数. [例 3] ? 计算:?? ? 2+3-2ii????7-????12+-23ii????7. [解析] 原式=????2i(31--ii)????7-????i2( (13--ii))????7 =????2i(31--ii)????7+????2i(31--ii)????7 ? =2?? ? 2+3-2ii????7=2????(1+i)(2 3+i)??7 ?? =2[(1+i)2]3(1+i)(-i)7????-12+ 23i????7 =2(-8i)·(1+i)·i·-1+2 3i =-8-8 3+(-8+8 3)i. [例 4] 已知 z=1+i, (1)设 ω=z2+3 z -4,求 ω; (2)如果zz22+-azz++1b=1-i,求实数 a、b 的值. [解析] (1)∵z=1+i, ∴ω=z2+3 z -4=(1+i)2+3 (1+i) -4=-1-i. (2)由zz22+-azz++1b=1-i,把 z=1+i 代入得((11++ii))22+-a((11++ii))++1b=1-i, ∴(a+b)+i (a+2)i=1-i ∴(a+b)+(a+2)i=(1-i)i=1+i, ∴?????aa+ +2b= =11 得?????ab= =- 2 1 . (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点 Z(a,b)向量O→Z =(a,b). (2)设 z=a+bi(a,b∈R),|z|= a2+b2. [例 5] 已知复平面内点 A,B 对应的复数分别是 z1=sin2θ +i,z2=-cos2θ+icos2θ,其中 θ∈(0,2π),设A→B对应的复数 为 z. (1)求 z; (2)若复数 z 对应的点 P 在 y=12x 上,求 θ 的值. [例 6] 设复数 z 的共轭复数为 z ,且 4z+2 z =3 3+ i,ω=sinθ-icosθ.复数 z-ω 对应复平面内的向量为O→M, 求 z 的值和|O→M|的取值范围. [解析] 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi, 由 4z+2 z =3 3+i 得 4(a+bi)+2(a-bi)=3 3+i 即 6a+2bi=3 3+i,根据复数相等的充要条件有 ??6a=3 ???2b=1 3 ??a= ?? 3 2 ??b=12 ,∴z= 23+12i. ∴z-ω=???? 23+12i????-(sinθ-icosθ) =???? 23-sinθ????+???12+cosθ???i ∴|O→M|= ?? ?? 23-sinθ????2+???12+cosθ???2 = 2- 3sinθ+cosθ= 2-2sin???θ-6π??? ∵-1≤sin???θ-π6???≤1 ∴0

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