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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):9.6随机数与几何概型


课时跟踪检测(六十三) 随机数与几何概型

π π 1 1 1.(2012· 北京模拟)在区间?-2,2?上随机取一个 x,sin x 的值介于- 与 之间的概率 ? ? 2 2 为( ) 1 A. 3 1 C. 2 2 B. π 2 D. 3

2.(2012· 辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等 于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积小于 32 cm2 的概率为( 1 A. 6 2 C. 3 1 B. 3 4 D. 5 )

3.(2012· 滨州模拟)在区间[0,1]上任取两个数 a,b,则函数 f(x)=x2+ax+b2 无零点的概 率为( 1 A. 2 3 C. 4 ) 2 B. 3 1 D. 4

4.(2012· 北京西城二模)已知函数 f(x)=kx+1,其中实数 k 随机选自区间[-2,1].任意 x ∈[0,1],f(x)≥0 的概率是( 1 A. 3 2 C. 3 ) 1 B. 2 3 D. 4

5.在 Rt△ABC 中,AB=1,BC=2,在斜边 BC 上任取一点 M,则△AMC 为钝角三角 形的概率为( 1 A. 2 2 C. 3 ) 1 B. 3 3 D. 4

6.(2012· 沈阳四校联考)一只昆虫在边长分别为 6,8,10 的三角形区域内随机爬行,则其 到三角形任一顶点的距离小于 2 的概率为( π A. 12 π C. 6 ) π B. 10 π D. 24

?y≤x, ? 7.(2012· 郑州模拟)若不等式组?y≥-x, ?2x-y-3≤0 ?

表示的平面区域为 M,x2+y2≤1 所表示

的平面区域为 N,现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为________. 8.(2012· 孝感统考)如图所示,图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图,其 中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若向图 2 中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它 1 落在长方体的平面展开图内的概率是 ,则此长方体的体积是________. 4

? ? ? ??0<x<2,? ? 9 . 在 区 域 M = ??x,y??? ??0<y<4,? ? ? ?

内随机抛一粒黄豆,落在区域 N=

? ??x+y<4,? ? ? ??x,y???y>x, ? ? ? ? ??x>0, ?
的概率.

内的概率是________.

10. 已知|x|≤2, |y|≤2, P 的坐标为(x, 求当 x, 点 y), y∈R 时, 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 P

11.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个 圆柱内随机取一点 P,求点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率.

12.(2012· 长沙模拟)已知向量 a=(-2,1),b=(x,y). (1)若 x,y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后 抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a· b=-1 的概率; (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 a· b<0 的概率.

1.在区间[0,π]上随机取一个数 x,则事件“sin x+ 3cos x≤1”发生的概率为(

)

1 A. 4 1 C. 2

1 B. 3 2 D. 3

? ?0≤x≤2, 2.(2012· 北京高考)设不等式组? 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一 ?0≤y≤2 ?

个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( π A. 4 π C. 6

)

π-2 B. 2 4-π D. 4

3.(2012· 晋中模拟)设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将线段 AB 分 成了三条线段. (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率.





课时跟踪检测(六十三) A级 π π 1 1 1.选 A 由- <sin x< ,x∈?-2,2?, ? ? 2 2 π π 得- <x< . 6 6 π ? π? - - 6 ? 6? 1 所求概率为 = . π ? π? 3 -?-2? 2 2.选 C 设 AC=x cm,CB=(12-x)cm,0<x<12,所以矩形面积小于 32 cm2 即为 x(12 8 2 -x)<32?0<x<4 或 8<x<12,故所求概率为 = . 12 3 3.选 C 要使该函数无零点,只需 a2-4b2<0,即(a+2b)(a- 2b)<0. ∵a,b∈[0,1],a+2b>0, ∴a-2b<0.

?0≤a≤1, ? 作出?0≤b≤1, ?a-2b<0 ?

1 1 1- ×1× 2 2 3 的可行域,易得该函数无零点的概率 P= = . 4 1×1

?f?0?≥0, ? 1-?-1? 4. C 由任意 x∈[0,1], 选 f(x)≥0 得? 有-1≤k≤1, 所以所求概率为 1-?-2? ? ?f?1?≥0,

2 = . 3 1 3 5.选 D 作 AD⊥BC,D 为垂足,由题意可得 BD= ,DC= . 2 2 当 M 落在线段 DC 上时,△AMC 为钝角三角形,故所求概率 P 3 2 3 = = . 2 4 6.选 A 记昆虫所在三角形区域为△ABC,且 AB=6,BC=8,CA=10,则有 AB2+ 1 BC2=CA2,AB⊥BC,该三角形是一个直角三角形,其面积等于 ×6×8=24.在该三角形区 2 A+B+C 1 域内,到三角形任一顶点的距离小于 2 的区域的面积等于 ×π×22= π×22=2π, 2π 2

2π π 因此所求的概率等于 = . 24 12 π 7.解析:∵y=x 与 y=-x 互相垂直,∴M 内区域 N 的面积为 ,而 M 的面积为 3,所 4 π 4 π 以概率为 = . 3 12 π 答案: 12 8.解析:设题图 1 长方体的高为 h,由几何概型的概率计算公式可知,质点落在长方 2+4h 1 1 体的平面展开图内的概率 P= = ,解得 h=3 或 h=- (舍去), 2 ?2h+2??2h+1? 4 故长方体的体积为 1×1×3=3. 答案:3 9.解析:画出区域 M、N,如图,区域 M 为矩形 OABC,区域 N 为图中阴影部分. 1 S 阴影= ×4×2=4, 2 4 1 故所求概率 P= = . 4×2 2 1 答案: 2 10.解:如图,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界), 满足(x-2)2+(y-2)2≤4 的点的区域为以(2,2)为圆心, 为半径的圆面 2 (含边界). 1 π×22 4 π 故所求的概率 P1= = . 4×4 16 11.解:圆柱的体积 V 圆柱=π×12×2=2π,以 O 为球心,1 为半径且在圆柱内部的半球 1 4 2π 的体积 V 半球= × π×13= . 2 3 3 2π 3 1 则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为 = , 2π 3 1 2 故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1- = . 3 3 12. (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次, 解: 所包含的基本事件总数为 6×6 =36 个; 由 a· b=-1 有-2x+y=-1, 所以满足 a· b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5)共 3 个.

3 1 故满足 a· b=-1 的概率为 = . 36 12 (2) 若 x , y 在 连 续 区 间 [1,6] 上 取 值 , 则 全 部 基 本 事 件 的 结 果 为 Ω = {(x , y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足 a· b<0 的基本事件的结果为 A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6,且-2x+y<0}; 画出图形, 矩形的面积为 S =21, 21 故满足 a· b<0 的概率为 . 25 B级 π 1.选 C 由 sin x+ 3cos x≤1 得 2sin?x+3?≤1, ? ? π 1 即 sin?x+3?≤ . ? ? 2 π π 4π 由于 x∈[0,π],故 x+ ∈?3, 3 ?, ? 3 ? π 1 π π 5π 4π 因此当 sin?x+3?≤ 时,x+ ∈? 6 , 3 ?,于是 x∈?2,π?. ? ? 2 ? ? ? 3 ? π π- 2 1 由几何概型公式知事件“sin x+ 3cos x≤1”发生的概率为 P= = . π-0 2
?0≤x≤2, ? 2.选 D 不等式组? 表示坐标平面内的一个正方形区域, ? ?0≤y≤2
矩形

=25,阴影部分的面积为 S

阴影

1 =25- ×2×4 2

设区域内点的坐标为(x,y),则随机事件:在区域 D 内取点,此点到坐标 原点的距离大于 2 表示的区域就是圆 x2+y2=4 的外部,即图中的阴影部 4-π 分,故所求的概率为 . 4 3.解:(1)若分成的三条线段的长度均为正整数,则三条线段的长度的所有可能情况是 1,1,4;1,2,3;2,2,2 共 3 种情况,其中只有三条线段长为 2,2,2 时,能构成三角形,故构成三 1 角形的概率为 P= . 3 (2)设其中两条线段长度分别为 x,y,则第三条线段长度为 6-x

?0<x<6, ? -y,故全部试验结果所构成的区域为?0<y<6, ?0<6-x-y<6, ?

?0<x<6, ? 即?0<y<6, 所表示的平面区域为△OAB. ?0<x+y<6 ?
若三条线段 x,y,6-x-y 能构成三角形,

?x+y>6-x-y, ?x+y>3, ? ? 则还要满足?x+6-x-y>y, 即为?y<3, ?y+6-x-y>x, ?x<3 ? ?
由几何概型知,所求概率为 S△DEF 1 P= = . S△AOB 4

所表示的平面区域为△DEF,


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