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炜昊教育2015年暑期高一数学讲义


炜昊教育 2015 年暑期高一数学讲义(一) (一)集合的有关概念 1. 一般地,一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成一个集合。集合中每一个对象称为集合的元素。 例如:young 中的字母构成一个集合,该集合的元素就是 y,o,u,n,g 这五个字母。 例 1:判断下列一组对象是否属于一个集合呢?若不能,请说明理由。 (1)所有 3 的倍数() (2)很大的数的全体() (3)中国的直辖市() (4)young 中的字母() (5)平面上到点 O 的距离等于 5 的点的全体() (6)所有的偶数() (7)所有直角三角形() (8)满足 3x-2>x+3 的全体实数() (9)方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的实数解() (10)π 的近似值() 评注:判断集合要注意有三点:范围是否确定;元素是否明确;能不能指出它的属性 2 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素, 两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此,同一集合中不 应重复出现同一元素。 (3)无序性:在一个集合中,不考虑它与元素之间的顺序,即集合与元素的排列次序无关。 3 元素与集合的关系; (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作 a∈A (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作 a ? A(或 a A) 4 常用集及表示方法 非负整数集(或自然数集)记作 N, 正整数集记作 N*或 N+; 整数集记作 Z; 有理数集记作 Q; 实数集记作 R. (二)集合的表示方法 (1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。 如:{1,2,3,4,5}, 说明:集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 (2) 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形},?; 强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。 下列写法{实数集},{R}也是错误的。 (三)例题讲解

例1

表示出下列集合: (2)中国国旗上的颜色.

(1) 中国的直辖市;

小结:集合的确定性和无序性 例2 准确表示出下列集合:

[来源:学*科*网]

(1)方程 x2―2x-3=0 的解集; (2)不等式 2-x<0 的解集;

[来源:学科网]

?2 x +3 ? 5 (3)不等式组 ? 的解集; 1 ? x ? 1 ?

[来源:学科网 ZXXK]

?2x-1≤-3 ? (4)不等式组? 的解集. ? ?3x+1≥0

例3

将下列用描述法表示的集合 改为列举法表示: (2){(x,y)| y = x2-1,|x |≤2,x ?Z }
[来源:学科网

(1){(x,y)| x+y = 3,x ?N,y ?N }
ZXXK]

(3){y| x+y = 3,x ?N,y ?N }

(4){ x ?R | x3-2x2+x=0}

例4

完成下列各题:

(1)若集合 A={ x|ax+1=0}={1,4},求实数 a 的值

(2)若-3?{ a-3,2a-1 ,a2-4},求实数 a.

三.巩固练习:
1、用符合“∈”或“?”填空: (1)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则:中国 (2)若 A={x|x2=x}, 则-1 A;美国 A;印度 A;英国 A。 C,9.1 C;

A;(3)若 B={x|x2+x-6=0},则 3 B;(4)若 C={x∈N|1≤x≤10},则 8

2.用列举法表示下列集合: ①{ x|x+1=0} ②{ x|x 为 15 的正约数};

③{ x|x 为不大于 10 的正偶数};

④{(x,y)|x+y=2 且 x -2y=4};

⑤{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,3}}; .

⑥{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}

3.下列结论不正确的是( A.O∈N B.

)

2 ?Q
)

C.O ? Q

D.-1∈Z

4.下列结论中,不正确的是( A.若 a∈N,则-a ? N

B.若 a∈Z,则 a ∈Z

2

[来源:Z#xx#k.Com]

C.若 a∈Q,则|a|∈Q

D.若 a∈R,则 3 a ? R


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