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直线的参数方程及应用


直线的参数方程及应用 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点 P0( x0 , y0 ),倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程是

? ? x ? x0 ? t c o s ? ? ? y ? y0 ? t s i n
P0P=t

(t 为参数)t 的几何意义:t 表示有向线段 P0 P 的数量,P( x , y )为直线上任意一点.

∣P0P∣=t y h P0 h?

(2)若 P1、P2 是直线上两点,所对应的参数分别为 t1、t2,则 P1P2=t2-t1,∣P1P2∣=∣t 2-t 1∣ (3) 若 P1、P2、P3 是直线上的点,所对应的参数分别为 t1、t2、t3 则 P1P2 中点 P3 的参数为 t3= t1 ? t 2 ,∣P0P3∣= t1 ? t 2
2
2

l
P( x , y )

2.直线参数方程的一般式 x ? x 0 ? at 过点 P0( x0 , y0 ),斜率为 k ? b 的直线的参数方程是: ? ?

Q

0 a ? y ? y 0 ? bt h 例 1:化直线 l1 的普通方程 x ? 3 y ? 1 =0 为参数方程,并说明参数的几何意 义,说明∣t∣的几何意义.

(t 为参数)

x

例 2:化直线 l 2 的参数方程 ? x ? ?3 ? t (t 为参数)为普通方程,并求倾斜角, 说明∣t∣的几何意义.
? ?y ? 1? 3 t

例 3:已知直线 l 过点 M0(1,3) ,倾斜角为

? ? ,判断方程 ? ? ? 3 ?

1 t 2 (t 3 y ? 3? t ? 2 ? x ? 1?

x ? 1 ? t (t 为参数)是否 为参数)和方程 ? ? ?y ? 3 ? 3 t

为直线 l 的参数方程?如果是直线 l 的参数方程,指出方程中的参数 t 是否具有标准形式中参数 t 的几何意义.

例 4:写出经过点 M0(-2,3) ,倾斜角为 坐标.

3? 的直线 l 的标准参数方程,并且求出直线 l 上与点 M0 相距为 2 的点的 4

例 5:已知直线 l 过点 P(2,0) ,斜率为 4 ,直线 l 和抛物线 y ? 2 x 相交于 A、B 两点, 设线段 AB 的中点为 M, 3 求:(1)P、M 两点间的距离|PM|;(2)M 点的坐标; (3)线段 AB 的长|AB|
2

? , (1)求直线 l 与直线 l ? : y ? x ? 2 3 的交点 Q 与 P 点的距离 3 2 2 | PQ|; (2)求直线 l 和圆 x ? y =16 的两个交点 A,B 与 P 点的距离之积.
例 6:已知直线 l 经过点 P(1,-3 3 ),倾斜角为

例 7:设抛物线过两点 A(-1,6)和 B(-1,-2),对称轴与 x 轴平行,开口向右,直线 y=2 x +7 被抛物线截得的线段 长是 4 10 ,求抛物线方程.

1

例 8:已知椭圆

( x ? 1) 2 y 2 ? ? 1 ,AB 是通过左焦点 F1 的弦,F2 为右焦点, 求| F2A|·| F2B|的最大值. 4 3

方法总结:利用直线 l 的参数方程 ?

? x ? x 0 ? t cos ? ? y ? y 0 ? t sin ?

(t 为参数) ,给研究直线与圆锥曲线 C:F( x, y )=0 的位置关

系提供了简便的方法. 一般地,把 l 的参数方程代入圆锥曲线 C:F( x, y )=0 后,可得一个关于 t 的一元二次方程, f (t ) =0, 1、(1)当Δ <0 时, l 与 C 相离;(2) 当Δ =0 时, l 与 C 相切;(3) 当Δ >0 时,

l 与 C 相交有两个交点; 2、 当Δ >0 时,方程 f (t ) =0 的两个根分别记为 t1、t2,把 t1、t2 分别代入 l 的参数方程即可求的 l 与 C 的两个交点 A
和 B 的坐标. 3、 l 被 C 截得的弦 AB 的长|AB|=|t1-t2|; P0A· P0B= t1· t2; 弦 AB 中点 M 点对应的参数为 基础知识测试 1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是 3 的直线 l 的标准参数方程. 2 ? ? x ? 1 ? t sin 25 2、 直线 l 的方程: ? (t 为参数) ,那么直线 l 的倾斜角( ? y ? 2 ? t cos 25 ? A 65° B 25° C 155° D 115° )
1 ? 3、 直线 ? ? x ?1? 5 t ? 2 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?

t1 ? t 2 t1 ? t 2 ; | P0M |= 2 2

)

(t 为参数)的斜率和倾斜角分别是(

A) -2 和 arctg(-2)

B) - 1 和 arctg(- 1 ) 2 2

C) -2 和 ? -arctg2

D) - 1 和 ? -arctg 1 2 2

x ? x 0 ? t cos ? (t 为参数) 4、 已知直线 ? 上的点 A、 B 所对应的参数分别为 t1,t2, 点 P 分线段 BA 所成的比为 ? ( ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

≠-1) ,则 P 所对应的参数是 . 5、直线 l : ? x ? x 0 ? at (t 为参数)A、B 是直线 l 上的两个点,分别对应参数值 t1、t2,那么|AB|等于(
? ? y ? y 0 ? bt

)

A

∣t 1-t 2∣ B

a 2 ? b 2 ∣t 1-t 2∣

C

t1 ? t 2 a ?b
2 2

D ∣t 1∣+∣t 2∣

6、 已知直线 l : ? x ? 1 ? t (t 为参数)与直线 m: x ? ? ? y ? ?5 ? 3 t

y ? 2 3 ? 0 交于 P 点,求点 M(1,-5)到点 P 的距离.
)

x ? 1? t 7、 直线 ? (t 为参数)与椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 8 交于 A、B 两点,则|AB|等于( ? ? y ? ?2 ? t 8、直线 ? x ? x0 ? t cos ? (t 为参数)与二次曲线 A、B 两点,则|AB|等于( )
? ? y ? y 0 ? t sin ?

A

|t1+t2|

B |t1|+|t2|
2 2

C |t1-t2|

D

t1 ? t 2 2

9、 直线 ? x ? 2 ? 1 t (t ? 2 ? 1 ? y ? ?1 ? t 2 ? 10、过点 P(6,
7 2

为参数)与圆 x ? y ? 1 有两个交点 A、B,若 P 点的坐标为(2,-1),则|PA|·|PB|=

? 2t ?x ? 6 )的直线 ? 与抛物线 y2=2 x 相交于 A、B 两点,则点 P 到 A,B 距离之积为 7 ?y ? ?t ? 2 ?

11.直线 ?

? x ? 3 ? t sin 20 ? ? y ? 4 ? t cos 20
?

(t 为参数)的倾斜角

.

2


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