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高三数学三角函数错题专题


三角函数
一、选择题:
1.为了得到函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图象,可以将函数 y ? cos2 x 的图象( 6?



A 向右平移

? 6

B 向右平移

? 3

C 向左平移

? 6

D 向左平移

? 3

错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 答案: B 2.函数 y ? sin x?1 ? tan x ? tan ? 的最小正周期为

? ?

x? 2?

(

)

A

?

B 2?

C

? 2

D

3? 2

错误分析:将函数解析式化为 y ? tan x 后得到周期 T ? ? ,而忽视了定义域的限制,导致 出错. 答案: 3. B

? ? 1 曲线 y=2sin(x+ ) cos(x- )和直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 2 4 4 次记为 P1、P2、P3??,则?P2P4?等于 ( ) A.? B.2? C.3? D.4? 正确答案:A 错因:学生对该解析式不能变形,化简为 Asin( ? x+ ? )的形式,从
而借助函数图象和函数的周期性求出?P2P 4 ?。

4.下列四个函数 y=tan2x,y=cos2x,y=sin4x,y=cot(x+

? ? ),其中以点( ,0)为中心对称 4 4

的三角函数有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 正确答案:D 错因:学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。 5.函数 y=Asin(?x+?)(?>0,A?0)的图象与函数 y=Acos(?x+?)(?>0, A?0)的图象在区间 (x0,x0+
? )上( ?



A.至少有两个交点 B.至多有两个交点 C.至多有一个交点 D.至少有一个交点 正确答案:C 错因:学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。 6. 在?ABC 中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA= 3 ,则?C 的大小应为( A.
? 6

)

B.

? 3

C.

? 5 或 ? 6 6

D.

? 2? 或 3 3

正确答案:A 错因:学生求?C 有两解后不代入检验。

7.已知 tan? tan?是方程 x +3 3 x+4=0 的两根,若?,??(A.
? 3

2

? ?

, ),则?+?=( 2 2



B.

? 2 或- ? 3 3

C.-

? 2 或 ? 3 3

D.- ?

2 3

正确答案:D 错因:学生不能准确限制角的范围。 8. 若 sin? ? cos? ? 1 ,则对任意实数 n,sin ? ? cos ? 的取值为(
n n



A. 1 C.

B. 区间(0,1)

1 2 n?1

D. 不能确定

解一:设点(sin?,co,则此点满足 )

?x ? y ? 1 ? 2 2 ?x ? y ? 1
解得 ?

?x ? 0 ?x ? 1 或? ?y ? 1 ?y ? 0

即?

?sin? ? 0 ?sin? ? 1 或? ?cos? ? 1 ?cos? ? 0

? sin n ? ? cosn ? ? 1

?选 A
解二:用赋值法, 令 sin? ? 0, cos? ? 1 同样有 sin ? ? cos ? ? 1
n n

?选 A 说明: 此题极易认为答案 A 最不可能, 怎么能会与 n 无关呢?其实这是我们忽略了一个
隐含条件 sin ? ? cos ? ? 1 ,导致了错选为 C 或 D。
2 2

9. 在 ?ABC 中, 3sin A ? 4 cos B ? 6, 3cos A ? 4 sin B ? 1 ,则 ?C 的大小为( A.



?
6

B.

5 ? 6

C.

?

5 或 ? 6 6

D.

?

2 或 ? 3 3

解:由 ?

?3sin A ? 4 cos B ? 6 平方相加得 ?3cos A ? 4 sin B ? 1

sin( A ? B ) ? ? sin C ? ?C ? 1 2

1 2

?

5 或 ? 6 6

若C ? ? 则 A? B ?

5 6

?
6


?1 ? 3cos A ? 4 sin B ? 0 1 ? cos A ? 3
?A?

1 1 ? 3 2

?

3 5 ?C ? ? 6 ?C ?

?

6

?选 A
说明:此题极易错选为 C ,条件 cos A ? 对题目条件的挖掘。 10. ?ABC 中, A 、 B 、C 对应边分别为 a 、 b 、 c .若 a ? x , b ? 2 , B ? 45? ,且此三角形有 两解,则 x 的取值范围为 ( A. ( 2,2 2 ) 正确答案:A 错因:不知利用数形结合寻找突破口。 11.已知函数 y=sin( ? x+ ? )与直线 y= 数的周期是( A ) B. 2 2 ) C. ( 2 ,??) D. ( 2,2 2 ]

1 比较隐蔽,不易发现。这里提示我们要注意 3

1 ? 的交点中距离最近的两点距离为 ,那么此函 2 3

? 3

B

?

C

2?

D

4?

正确答案:B 错因:不会利用范围快速解题。 12. 函数 y ? 2 sin(

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是?????????? (

)

A. [0,

?
3

]

B. [

?

12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6

正确答案:C 错因:不注意内函数的单调性。 13.已知 ? , ? ? ?

?? ? , ? ? 且 cos? ? sin ? ? 0 ,这下列各式中成立的是( ?2 ?



A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? 正确答案(D)

3? 2

C. ? ? ? ?

3? 2

D. ? ? ? ?

3? 2

错因:难以抓住三角函数的单调性。

14. 函数 是()

的图象的一条对称轴的方程

正确答案 A 错因:没能观察表达式的整体构造,盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。 15.ω 是正实数,函数 f ( x) ? 2 sin ?x 在 [? A. 0 ? ? ? 正确答案 A 错因:大部分学生无法从正面解决,即使解对也是利用的特殊值法。 16.在(0,2π )内,使 cosx>sinx>tanx 的成立的 x 的取值范围是 A、 ( ( )

? ?

3 2

B. 0 ? ? ? 2

, ] 上是增函数,那么( ) 3 4 24 C. 0 ? ? ? D. ? ? 2 7

? 3?
4 4 ,

)

B、 (

5? 3? , ) 4 2

C、 (

3? ,2? ) 2

D、(

3? 7? ) , 2 4

正确答案:C 17.设 f ( x) ? sin( x ?

?
4

) ,若在 x ? ? 0, 2? ? 上关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不等的实根

x1 , x2 ,则 x1 ? x2 为
A、

? 5? 或 2 2

B、

? 2

C、

5? 2

D、不确定

正确答案:A 18.△ABC 中,已知 cosA=

16 65 答案:A
A、

3 5 ,sinB= ,则 cosC 的值为( 5 13 56 16 56 B、 C、 或 65 65 65

) D、 ?

16 65

点评:易误选 C。忽略对题中隐含条件的挖掘。 19.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C 的大小为( A、



? 6

B、

5? 6

C、

? 5? 或 6 6

D、

? 2? 或 3 3

答案:A 点评:易误选 C,忽略 A+B 的范围。 20.设 cos1000=k,则 tan800 是( ) A、

1? k2 k

B、

? 1? k2 k

C、 ?

1? k2 k

D、 ?

k 1? k2

答案:B 点评:误选 C,忽略三角函数符号的选择。 21.已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin A、

5? 6

B、

2? 3

C、

5? 3

2? 2? ) ,则角 ? 的最小值为( , cos 3 3 11? D、 6

) 。

正解:D

2 3 5 11 2? 2? tan ? ? cos ? ? ? ,? ? ? ?或? ? ? ,而 sin ? 0 cos ?0 3 3 6 6 3 3
所以,角 ? 的终边在第四象限,所以选 D, ? ? 误解: tan? ? tan ? , ? ?

11 ? 6

2 ? ,选 B 3 ? 22.将函数 y ? f ( x) sin x 的图像向右移 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换得到的函数 4
y ? 1? 2 sin 2 x 的图像,则 f (x) 可以是(
A、 ? 2 cos x 正解:B B、 2 cos x ) 。 D、 2 sin x

2 3

C、 ? 2 sin x

y ? 1 ? 2 sin 2 x ? cos 2 x ,作关于 x 轴的对称变换得 y ? ? cos 2 x ,然后向左平移
个单位得函数 y ? ? cos 2( x ?

?
4

? 4

) ? sin 2 x ? f ( x) ? sin x 可得 f ( x) ? 2 cos x

误解:未想到逆推,或在某一步骤时未逆推,最终导致错解。 23. A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x ? 5x ? 1 ? 0 的两个实数根,
2

则 ? ABC 是( ) A、钝角三角形 正解:A

B、锐角三角形

C、等腰三角形

D、等边三角形

3 ? ?tan A ? tan B ? 5 ? 由韦达定理得: ? ?tan A tan B ? 1 ? 3 ?

5 tan A ? tan B 5 ? tan(A ? B) ? ? 3 ? 1 ? tan A tan B 2 2 3
在 ?ABC 中, tan C ? tan[? ? ( A ? B)] ? ? tan(A ? B) ? ?

? ?C 是钝角,? ?ABC 是钝角三角形。
24.曲线 ?

5 ?0 2

? x ? cos? (? 为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( ) 。 ? y ? sin?

A、

1 2

B、

2 2

C、1

D、 2

正解:D。

d ? cos? ? sin ?
由于 ?

? x ? co s? 所表示的曲线是圆,又由其对称性,可考虑 ? ? I 的情况,即 ? y ? s in?

d ? sin? ? cos?
则d ?

?? ? 2 sin?? ? ? ∴ d max ? 2 4? ?


误解:计算错误所致。 25.在锐角⊿ABC 中,若 tan A ? t ? 1, tan B ? t ? 1 ,则 t 的取值范围为( A、 ( 2 ,??) B、 (1,??) C、 (1, 2 ) D、 (?1,1)

错解: B. 错因:只注意到 tan A ? 0, tan B ? 0, 而未注意 tan C 也必须为正. 正解: A. 26.已知 sin ? ?

m?3 4 ? 2m ? , cos? ? ( ?? ?? ) ,则 tan? ? (C) m?5 m?5 2 4 ? 2m m?3 5 3 5 A、 B、 ? C、 ? D、 ? 或 ? m?3 4 ? 2m 12 4 12
2 2

错解:A 错因:忽略 sin ? ? cos ? ? 1,而不解出 m 正解:C π 27. 先将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度, 再将所得图象作关于 y 轴的对称变换, 3 则所得函数图象对应的解析式为 π A.y=sin(-2x+ ) 3 ( B. ) π y=sin(-2x- ) 3

C.y=sin(-2x+ 错解:B

2π ) 3

D.

2π y=sin(-2x- ) 3

π ? 错因:将函数 y=sin2x 的图象向右平移 3 个单位长度时,写成了 y ? sin(2 x ? )

3

正解:D 28.如果 log 1 | x ?
2

π π |? log 1 ,那么 sin x 的取值范围是( 3 2 2



A. [?

3 3 1 1 1 1 1 1 1 )?( , ] B. [? , 1] C. [? , ) ? ( , 1] D. [? , , 1] 2 2 2 2 2 2 2 2 2

错解: D. 错因:只注意到定义域 x ? 正解: B. 29.函数 y ? A、 [k? ?

?
3

,而忽视解集中包含 x ?

2? . 3

sin x cos x 的单调减区间是(

) B、 [k? ?

?
4

, k? ?

?
4

] (k ?z)

?

C、 [2k? ?

?
4

,2k? ?

?
2

]( k ? z )

D、 [k? ?

?
4

, k? ?

?
2

3 , k? ? ? ]( k ? z ) 4 4 ]( k ? z )

答案:D 错解:B 错因:没有考虑根号里的表达式非负。 30.已知 sin x cos y ?

1 ) , 则 cos x sin y 的取值范围是( 2 1 1 3 1 1 3 A、 [? , ] B、 [? , ] C、 [? , ] D、 [?1,1] 2 2 2 2 2 2 1 答案:A 设 cos x sin y ? t , 则(sin x cos y )(cos x sin y ) ? t ,可得 sin2x sin2y=2t,由 2 1 1 sin 2 x sin 2 y ? 1即 2t ? 1? ? ? t ? 。 2 2
错解:B、C 错因:将 sin x cos y ?

1 1 与 cos x sin y ? t相加得 sin(x ? y) ? ? t 由 2 2 1 3 1 ? 1 ? sin(x ? y) ? 1得 ? 1 ? ? t ? 1得 ? ? t ? 选 B,相减时选 C,没有考虑上述两种 2 2 2
情况均须满足。 31.在锐角 ? ABC 中,若 C=2B,则 A、 (0,2) 答案:C B、 ( 2 ,2)

c 的范围是( b
C、 ( 2 , 3 )

) D、 (1, 3 )

错解:B 错因:没有精确角 B 的范围 32.函数 y ? sin x和y ? tan x的图象在?? 2?, ?上交点的个数是 2? A、3 正确答案:B B、5 C、7 D、9 ( )

错误原因:在画图时,0< x <

? 时, tan x > sin x 意识性较差。 2


33.在△ABC 中, 3 sin A ? 4 cos B ? 6,4 sin B ? 3 cos A ? 1, 则∠C 的大小为 ( A、30° 正确答案:A B、150° C、30°或 150°

D、60°或 150°

错 误 原 因 : 易 选 C , 无 讨 论 意 识 , 事 实 上 如 果 C=150 ° 则 A=30 ° ∴ s inA ?

1 ,∴ 2

3s inA ? 4 co sB <

11 <6 和题设矛盾 2
( )

34. 函数f ?x ? ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的最小正周期为 A、 2? B、 ? C、

? 2

D、

? 4

正确答案:C 错误原因:利用周期函数的定义求周期,这往往是容易忽视的,本题直接检验得

?? ? ? f ? x ? ? ? f ?x ?, 故T ? 2? 2 ?
35. 函数y ? sin x?1 ? tan x ? tan ?的最小正周期为 A、 ? B、 2?

? ?

x? 2?





C、

? 2

D、

3? 2

正确答案:B 错误原因:忽视三角函数定义域对周期的影响。

, 36.已知奇函数 f ?x ?在?? 1 0?上为 等调减函数,又α ,β 为锐角三角形内角,则(
A、f(cosα )> f(cosβ ) B、f(sinα )> f(sinβ ) C、f(sinα )<f(cosβ ) D、f(sinα )> f(cosβ ) 正确答案: (C) 错误原因:综合运用函数的有关性质的能力不强。
? = 37.设 ? ? 0,函数f ?x ? sin ?x在?? ? 3 ,4 ?上为增函数, 那么ω 的取值范围为(





A、 0 ? ? ? 2

B、 0 ? ? ?

3

2

C、 0 ? ? ? 24 7

D、 ? ? 2

正确答案:(B) 错误原因:对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚。

二填空题:
1.已知方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan? , tan ? ,
2

且? 、 ? ? ? ?

? ?? ? ? ?? , ? ,则 tan 的值是_________________. 2 ? 2 2?
2

错误分析:忽略了隐含限制 tan? , tan ? 是方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根,从而 导致错误. 正确解法:? a ? 1

? ? ? t a n ? t a n ? ?4a ? 0 , tan? ? tan ? ? 3a ? 1 ? o

? tan? , tan ? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根
又? , ? ? ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ,0 ? 即 ? ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

由 tan ?? ? ? ? = 答案: -2 .

tan? ? tan ? ? 4a 4 ? ?? = = 可得 tan ? ?2. 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3 2

2.已知 5 cos ? ? 4 cos ? ? 4 cos? ,则 cos ? ? cos ? 的取值范围是_______________.错
2 2 2 2

2 误分析:由 5 cos ? ? 4 cos ? ? 4 cos? 得 cos ? ? cos? ?
2 2

5 cos2 ? 代入 cos2 ? ? cos2 ? 4

中,化为关于 cos? 的二次函数在 ?? 1,1? 上的范围,而忽视了 cos? 的隐含限制,导致错误. 答案: ?0, ? . 25
2 略解: 由 5 cos ? ? 4 cos ? ? 4 cos? 得 cos ? ? cos? ?
2 2

? 16 ? ? ?

5 cos2 ? 4

?1?

? c o 2s? ? ?0,1?

? 4? ? c o ? ? ?0, ? s ? 5?
2 2 2 2

将(1)代入 cos ? ? cos ? 得 cos ? ? cos ? = ? 3.若 A ? ?0, ? ? ,且 sin A ? cos A ?

1 ?cos? ? 2?2 ? 1 ? ?0, 16 ? . ? 25 ? 4 ? ?

7 5 sin A ? 4 cos A ,则 ? _______________. 13 15 sin A ? 7 cos A 7 2 2 错误分析:直接由 sin A ? cos A ? ,及 sin A ? cos A ? 1 求 sin A, cos A 的值代入求 13

得两解,忽略隐含限制 A ? ?

?? ? , ? ? 出错. ?2 ?

答案:

8 . 43

4.函数 f ( x ) ? a sin x ? b 的最大值为 3,最小值为 2,则 a ? ______, b ? _______。 解:若 a ? 0

1 ? a? ? ?a ? b ? 3 ? 2 则? ?? ?a ? b ? 2 ? ?b ? 5 ? ? 2
若a ? 0

1 ? a?? ?a ? b ? 3 ? ? ? 2 则? ?? ?a ? b ? 2 ?b ? 5 ? 2 ?
说明:此题容易误认为 a ? 0 ,而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。 5.若 Sin

?
2

?

3 5

cos

?

4 ? ? ,则α 角的终边在第_____象限。 2 5

正确答案:四 错误原因:注意角

? 的范围,从而限制α 的范围。 2
A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值为_________. 2 2 2 2

6. 在△ABC 中, 已知 A、 、 成等差数列, tan B C 则 正确答案: 3 错因:看不出是两角和的正切公式的变形。 7.函数 y ? sin x(sin x ? cos x) ( x ? [0, 正确答案: ? 0,

?
2

]) 的值域是



? ?

2 ? 1? ? 2 ?

8.若函数 y ? a cos x ? b 的最大值是 1,最小值是 ?7 ,则函数 y ? a cos x ? b sin x 的最大 值是 .正确答案:5

9.定义运算 a ? b 为: a ? b ? ?

?a ?a ? b ? , 例如,1 ? 2 ? 1 ,则函数 f(x)= sin x ? cos x 的值域为 ?b?a ? b ?

.正确答案: [ ?1,

2 ] 2

10.若 sin ? ? 答案:5

5 ? ,α 是第二象限角,则 tan =__________ 13 2

? 2 tan ? 2 得 tan ? =5 或 1 。 点评:易忽略 的范围,由 sin ? ? ? 5 2 2 1 ? tan 2
2
11.设ω >0,函数 f(x)=2sinω x 在 [? 答案:0<ω ≤ 点评: [?

? ?

, ] 上为增函数,那么ω 的取值范围是_____ 3 4

2 3

?? ??
3 , 4

] ? [?

? ?

, ] 2 2 31 ,则 cosC=__________ 32

12.在△ABC 中,已知 a=5,b=4,cos(A-B)= 答案:

1 8 点评:未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化。 13 . 在 ?ABC 中 , 已 知 a , b , c 是 角 A 、 B 、 C 的 对 应 边 , 则 ① 若 a ? b , 则

f ( x) ? ( s i n ? s i nB) ? x 在 R 上是增函数;②若 a 2 ? b 2 ? (a cos B ? b cos A) 2 ,则 ? ABC A
是 Rt? ; ③ c o s ? s in 的 最 小 值 为 ? 2 ; ④ 若 c o s ? c o s B , 则 A=B ; ⑤ 若 C C A 2

3 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,则 A ? B ? ? ,其中错误命题的序号是_____。 4
正解:错误命题③⑤。 ① a ? b ? sin A ? sin B,? sin A ? sin B ? 0

? f ( x) ? (sin A ? sin B) x在R上是增函数。
② a ? b ? c , a ? b ? c , 则?ABC是Rt? 。
2 2 2 2 2 2

③ sin c ? cos c ?

2 sin(c ?

?
4

), 当sin(c ?

?
4

) ? ?1时最小值为 ? 2 ,

显然 0 ? c ? ? , 得不到最小值 ? 2 。 ④ cos 2 A ? cos 2B ? i ? 2 A ? 2B A ? B

ii ?

2 A ? 2? ? 2B, A ? ? ? B, A ? B ? ? (舍) ,? A ? B 。

⑤ 1 ? tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 2,1 ? tan A ? tan B ? tan A ? tan B

?

tan A ? tan B ? ? 1,即 tan(A ? B) ? 1, A ? B ? ? 1 ? tan A ? tan B 4

?错误命题是③⑤。
误解:③④⑤中未考虑 0 ? C ? ? ,④中未检验。 14.已知 tan? ? 的值为_____。 正解: 60 ,令 m ? 0, 得 ? ? 60 , 代入已知,可得 ? ? 0 , ?? ? ? ? 60
?
? ? ?

3 (1 ? m) ,且 3 (tan ? , tan ? ? m) ? tan ? ? 0,? , ? 为锐角,则 ? ? ?

误解:通过计算求得 ? ? ? , 计算错误. 15. 给出四个命题: ①存在实数 ? , n 使s i ③ y ? sin( ②存在实数 ? , n ? ? cs ? ? 使s i o ? cs ? ? 1 ; o

5? ? 5? ? 2 x) 是偶函数;④ x ? 是函数 y ? sin(2 x ? ) 的一条对称轴方程;⑤ 2 8 4

3 ; 2

若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? 。其中所有的正确命题的序号是_____。 正解:③④

1 1 1 sin 2? ? [? , ],? sin ? cos? ? 1 不成立。 2 2 2 ? 3 ② sin ? ? cos? ? 2 sin(? ? ) ? [? 2 , 2 ], ? [? 2 , 2 ],? 不成立。 4 2 5? ? ③ y ? sin( ? 2 x) ? sin( ? 2 x) ? cos 2 x 是偶函数,成立。 2 2 ? 5? 3? ? ④ 将 x ? 代入 2 x ? 得 ,? x ? 是对称轴,成立。 4 2 8 8
① sin ? cos? ? ⑤ 若 ? ? 390 , ? ? 60 , ? ? ? , 但 sin ? ? sin ? ,不成立。
?
?

误解:①②没有对题目所给形式进行化简,直接计算,不易找出错误。 ⑤没有注意到第一象限角的特点, 可能会认为是 (0 ,90 ) 的角, 从而根据 y ? sin x
? ?

做出了错误的判断。 16.函数 y ?| sin(2 x ? 错解:

?

? 2

1 ) ? | 的最小正周期是 3 3

错因:与函数 y ?| sin(2 x ? 正解: ? 17.设

?
3

) 的最小正周期的混淆。

1 ? sin ? =tan ? ? sec? 成立,则 ? 的取值范围是_______________ 1 ? sin ?

错解: ? ? [2k? ?

?

3 ,2k? ? ? ] 2 2

错因:由 tan ? ? sec? ? 0 不考虑 tan ? , sec? 不存在的情况。

3 ,2k? ? ? ) 2 2 18.①函数 y ? tan x 在它的定义域内是增函数。
正解: ? ? (2k? ? ②若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? , 则 tan? ? tan ? 。 ③函数 y ? A sin(?x ? ? ) 一定是奇函数。 ④函数 y ? cos(2 x ?

?

?
3

) 的最小正周期为

? 。 2

上述四个命题中,正确的命题是 ④ 错解:①② 错因:忽视函数 y ? tan x 是一个周期函数 正解:④ 19.函数 f(x)= 错解: ? ?

sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x

? ?

2 1 2 1? ? , ? ? 2 2 2 2?

错因:令 t ? sin x ? cos x 后忽视 t ? ?1 ,从而 g (t ) ? 正解: ??

t ?1 ? ?1 2

? ?

? ? 2 1 2 1? ? ,?1? ? ? ? 1, ? ? ? ? 2 2 2 2? ? ?
2 2 2

20.若 2sin2α ? sin ? ? 3 sin ? , 则 sin ? ? sin ? 的取值范围是 错解: [?4,2] 错因:由 sin ? ? sin ? ? ? sin ? ? 3 sin ? ? 1, (1) 其中 ? 1 ? sin? ? 1 ,得错误结果;由
2 2 2

0 ? sin 2 ? ? 3 sin ? ? 2 sin 2 ? ? 1
得 sin? ? 1 或 0 ? sin ? ? 正解:[0 ,

1 结合(1)式得正确结果。 2

5 ] ? ?2? 4

21.关于函数 f ( x) ? 4 sin(2 x ?

?
3

1 )( x ? R) 有下列命题,○y=f(x)图象关于直线 x ? ?

?
6

对称

2 ○ y=f(x)的表达式可改写为 y ? 4 cos(2 x ?

?
6

3 ) ○ y=f(x)的图象关于点 ( ?

?
6

4 ,0) 对称 ○ 由

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0可得x1 ? x2 必是 ? 的整数倍。其中正确命题的序号是
2 3 答案:○○ 2 3 4 错解:○○○



错因:忽视 f(x) 的周期是 ? ,相邻两零点的距离为 22.函数 y ? 2 sin(? x) 的单调递增区间是 。

T ? ? 。 2 2

3 ,2k? ? ? ]( k ? z ) 2 2 ? 1 错解: [2k? ? ,2k? ? ? ]( k ? z ) 2 2
答案: [2k? ? 错因:忽视这是一个复合函数。 23.已知? ? ? ?

?

?
3

,且 3 ?tan? ? tan ? ? C ? ? tan? ? 0?C为常数?,那么


tan ? ?

正确答案: 3 ?1 ? C ? 错误原因:两角和的正切公式使用比较呆板。 24. 函数y ? sin x?sin x ? cos x ?? x ? ?0, ? ?的值域 是 ? ?

? ?

? ? ?? ? 2 ??



正确答案: ?0,

? 1? 2 ? ? 2 ? ?

错误原因:如何求三角函数的值域,方向性不明确

三、解答题:
1. 已知定义在区间[-?, ? ]
2 3

上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= -

? ? 对称, x?[- , 当 6 6

? ? 2 ? ]时,函数 f(x)=Asin(?x+?)(A>0, ?>0,- <?< ),其图象如图所示。 3 2 2
2 (1)求函数 y=f(x)在[-?, ? ]的表达式; 3

(2)求方程 f(x)=

2 的解。 2

解:(1)由图象知 A=1,T=4( ?=
2? ?1 T

2? ? ? )=2?, 3 6

在 x?[将(

2? ? , ]时 3 6

? ,1)代入 f(x)得 6

f(

? ? )=sin( +?)=1 6 6

∵-

? ? <?< 2 2
? 3
2? ? , ]时 3 6

∴?=

∴在[-

f(x)=sin(x+

? ) 3
? 对称 6

∴y=f(x)关于直线 x=∴在[-?,? ]时 6

f(x)=-sinx

? ? ?sin(x ? ) 综上 f(x)= ? 3 ?? sin x ?
(2)f(x)=
2 2

x ? [?

? 2?
6 , 3

]

x ? [?? ,? ] 6

?

在区间[可得 x1=
5x 12

2? ? , ]内 3 6

x2= -

? 12

∵y=f(x)关于 x= ∴x3=?
4

? 对称 6

x4= -

3? 4

∴f(x)=

2 ? 5? 3? ? 的解为 x?{,- ,- , } 2 12 12 4 4
4 4

2. 求函数 y ? sin x ? cos x ?

3 的相位和初相。 4 3 2 2 2 2 2 解: y ? (sin x ? cos x ) ? 2 sin x cos x ? 4

1 1 ? ? sin 2 2 x ? 2 4 1 1 ? cos4 x 1 ?? ? ? 2 2 4 1 ? cos4 x 4 1 ? ? sin( 4 x ? ) 4 2
? 原函数的相位为 4 x ?

?
2

,初相为

?
2

说明:部分同学可能看不懂题目的意思,不知道什么是相位,而无从下手。应将所给函数式 变形为 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0) 的形式(注意必须是正弦) 。 3. 若 sin? cos ? ?

1 ,求 sin ? cos? 的取值范围。 2

解:令 ? ? sin ? cos? ,则有

?1 ? 2 ? a ? sin(? ? ? ) ? ?? ? 1 ? a ? sin(? ? ? ) ?2 ? 1 ? ?1 ? ? a ? 1 ? ? 2 ?? ??1 ? 1 ? a ?.1 ? 2 ? 1 1 ?? ? a ? 2 2

(1)

( 2)

说明:此题极易只用方程组(1)中的一个条件,从而得出 ?

3 1 1 3 ? a ? 或? ? a ? 。 2 2 2 2

原因是忽视了正弦函数的有界性。另外不等式组(2)的求解中,容易让两式相减,这样做 也是错误的,因为两式中的等号成立的条件不一定相同。这两点应引起我们的重视。 4.求函数 y ? 16 ? x ? sin x 的定义域。
2

解:由题意有

?2 k? ? x ? 2 k? ? ? ? ? ?4 ? x ? 4
当 k ? ?1 时,?2??x; 当 k ? 0 时, 0 ? x ? ? ; 当 k ? 1 时, 2? ? x ? 3?

(*)

? 函数的定义域是 [ ?4 , ? ? ]?[0,? ]

说明:可能会有部分同学认为不等式组(*)两者没有公共部分,所以定义域为空集, 原因是没有正确理解弧度与实数的关系,总认为二者格格不入,事实上弧度也是实数。 5 .已知 ?? ? ? ? ? ,求 y ? cos ? ? 6 sin? 的最小值及最大值。 解:?2? ? ? ? ?

? ? ? ? ? 2? 3 11 ? y ? 2 sin 2 ? ? 6 sin? ? 1 ? 2(sin? ? ) 2 ? 2 2
令 t ? sin? 则 |t |? 1

3 11 ? y ? 2( t ? ) 2 ? 2 2 3 而对称轴为 t ? 2
? 当 t ? ?1 时, y max ? 7 ;
当 t ? 1 时, y min ? ?5 说 明 : 此 题 易 认 为 sin? ?

3 ?11 时 , y min ? ,最大值不存在,这是忽略了条件 2 2

3 |sin? |? 1, 不在正弦函数的值域之内。 2
6.若 0 ? x ?

?

2

,求函数 y ? 4tgx ? 9ctg x 的最大值。
2

解:?0 ? x ?

?
2

? tgx ? 0 ? y ? 4tgx ? 9ctg 2 x ? 2tgx ? 2tgx ? 9ctg 2 x ? 33 2tgx ? 2tgx ? 9ctg 2 x ? 33 36
当且仅当 2tgx ? 9ctg x
2

即 tgx ? 3

9 时,等号成立 2

? y min ? 33 36
说明:此题容易这样做: y ? 4tgx ? 9ctg x ? tgx ? 3tgx ? 9ctg x ?
2 2

33 tgx ? 3tgx ? 9ctg 2 x ? 9 ,但此时等号成立的条件是 tgx ? 3tgx ? 9ctg 2 x ,这样的 x 是不存
在的。这是忽略了利用不等式求极值时要平均分析的原则。 7. 求函数 f ( x ) ?

2tgx 的最小正周期。 1 ? tg 2 x 2tgx 的定义域要满足两个条件; 1 ? tg 2 x

解:函数 f ( x ) ?

tgx 要有意义且 tg 2 x ? 1 ? 0

? x ? k? ?

?
2

,且 x ?

k? ? ? ( k ?Z ) 2 4

当原函数式变为 f ( x ) ? tg 2 x 时, 此时定义域为 x ?

k? ? ? ( k ?Z ) 2 4

显然作了这样的变换之后,定义域扩大了,两式并不等价 所以周期未必相同,那么怎么求其周期呢?首先作出 y ? tg 2 x 的图象:
y

? ??

? ?? ? ? ? ? ?

0? ? ? ?

?? ?

? ? ? ? ?? ?? ??

x

而原函数的图象与 y ? tg 2 x 的图象大致相同 只是在上图中去掉 x ? k? ?

?
2

( k ? Z ) 所对应的点

从去掉的几个零值点看,原函数的周期应为 ? 说明:此题极易由 y ? tg 2 x 的周期是

?
2

而得出原函数的周期也是

?
2

,这是错误的,原

因正如上所述。 那么是不是说非等价变换周期就不同呢?也不一定, 如函数 y ?

1 ? tg 2 2 x 的 1 ? tg 2 2 x

最小正周期是( 为

) 。A.

?
4

B.

?
2

C. ?

D. 2? 。 此题就可以由 y ? cos4 x 的周期

?
2

而得原函数的周期也是

?
2

。但这个解法并不严密,最好是先求定义域,再画出图象,

通过空点来观察,从而求得周期。 8.已知 Sinα =

5 5

Sinβ =

10 ,且α ,β 为锐角,求α +β 的值。 10

正确答案:α +β =

? 4

错误原因:要挖掘特征数值来缩小角的范围

? —3x)的单调增区间: 4 2 ? 2 7 正确答案:增区间[ k? ? , k? ? ? ]( k ? Z ) 3 4 3 12 ? 错误原因:忽视 t= —3x 为减函数 4 tan x 10.求函数 y= 的最小正周期 1 ? tan 2 x
9.求函数 y=Sin( 正确答案:最小正周期π 错误原因:忽略对函数定义域的讨论。 11.已知 Sinx+Siny= 正确答案:

1 ,求 Siny—cos2x 的最大值。 3

4 9

错误原因:挖掘隐含条件

12. (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? 2(log 2 x) 2 ? 2a log 2
1 1 ? b ,已知 x ? 时 f (x) 有最小值-8。 2 x

(1)、求 a 与 b 的值。 (2)求满足 f ( x) ? 0 的 x 的集合 A。
?a 1 ?a ? 1 ?2 ? 2 a 2 a ? ? 错解: f ( x) ? 2(log 2 x ? ) ? b ? ,当 ? 时,得 ? 15 2 2 2 ?b ? ? 2 ?b ? a ? ?8 ? ? 2 ?
2

错因:没有注意到应是 log 2

1 a ? 时, f (x) 取最大值。 2 2
2

1 a ? ?log 2 2 ? 2 ? a ? ?2 a 2 a ? 正解: f ( x) ? 2(log 2 x ? ) ? b ? ,当 ? 时,得 ? 2 2 2 ?b ? ?6 ?b ? a ? ?8 ? 2 ?
13.求函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos( ? x) ? 3 的值域

?

4



















f ( x) ? s 2 x ? 2( c x ? s sx) ? 3, i n o i n



cos x ? sin x ? t , t ? [? 2 , 2 ]
则 sin 2 x ? 1 ? t
2

2

则 f ( x) ? ?t ? 2t ? 4 ? ?(t ? 1) ? 5 ?当t ? 1时, f ( x) max ? 5 ,
2

当 t ? ? 2时, f ( x) min ? 2 ? 2 2

错解: (??,5] 错因:不考虑换元后新元 t 的范围。 14.已知函数 f(x)=-sin2x+sinx+a, (1)当 f(x)=0 有实数解时,求 a 的取值范围; (2)若 x∈R,有 1≤f(x)≤

17 ,求 a 的取值范围。 4
1 2 1 )- 2 4

解: (1)f(x)=0,即 a=sin2x-sinx=(sinx- ∴当 sinx= ∴a∈[ ?

1 1 时,amin= ,当 sinx=-1 时,amax=2, 2 4

1 ,2]为所求 4

17 ? 2 7 ?a ? sin x ? sin x ? (2)由 1≤f(x)≤ 得 ? 4 4 ? 2 ?a ? sin x ? sin x ? 1

17 1 ? (sin x ? ) 2 +4≥4 4 2 1 3 u2=sin2x-sinx+1= (sin x ? ) 2 ? ≤3 2 4 ∴ 3≤a≤4 点评:本题的易错点是盲目运用“△”判别式。
∵ u1=sin2x-sinx+ 15.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间[0,

3 4

? ]上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 2

正解:由 f (x) 是偶函数,得 f (? x) ? f ( x) 故 sin(??x ? ?) ? sin(?x ? ?) ,? ? cos ? sin ?x ? cos ? sin ?x 对任意 x 都成立,且 ? ? 0,? cos ? ? 0 依题设 0≤ ? ≤ ? ,? ? ?

?
2

由 f (x) 的图像关于点 M 对称,得 f ( ? ? x) ? ? f ( ? ? x)

3 4

3 4

3 4 3 3?x ? 3?x 3?x ? ) ? cos( ),? cos( )?0 ? f ( ? ) ? sin( 4 4 2 4 4 3?x ? 又 ? ? 0 ,得 ? ? k? , k ? 0,1,2...... 4 2 2 ? ? ? (2k ? 1), k ? 0,1,2... 3
取 x ? 0得f ( ? ) ? ? f ( ? ),? f ( ? ) ? 0

3 4

3 4

当 k ? 0 时, ? ?

2 2 ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) 在 [0, ] 上是减函数。 2 3 3 2

当 k ? 1 时, ? ? 2, f ( x) ? sin(2 x ? 当 k ≥2 时, ? ?

?

10 ? ? , f ( x) ? sin(?x ? ) 在 [0, ] 上不是单调函数。 2 3 2 2 所以,综合得 ? ? 或 ? ? 2 。 3
误解:①常见错误是未对 K 进行讨论,最后 ? 只得一解。 ②对题目条件在区间 [0,

) 在 [0, ] 上是减函数。 2 2

?

?

2

] 上是单调函数,不进行讨论,故对 ? ≥

10 不能排除。 3


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