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(广东卷)2013年高考试卷(文数)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)A 数学(文科)
本试卷共 21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相 应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点 涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案, 答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指 定区域相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。 漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

1 参考公式:锥体的体积公式为 V = Sh ,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。 3
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 S ? {x | x ? 2 x ? 0, x ? R} , T ? {x | x ? 2 x ? 0, x ? R} ,则 S ? T ?
2 2

A. {0}

B. {0, 2}

C. {?2,0}

D. {?2, 0, 2}

开始 输入n i=1, s=1

【解析】 :先解两个一元二次方程,再取交集,选 A,5 分到手,妙!

lg( x ? 1) 2.函数 f ( x) ? 的定义域是 x ?1
A. ?1, ??) ( B. ?1, ??) C. ?1,1) ? (1, ??) ( [ D. ?1,1) ? (1, ??) [

【解析】 :对数真数大于零,分母不等于零,目测 C! 3.若 i( x ? yi) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是 A.2 B.3 C.4 D.5

i≤n 是 s=s+(i-1) i=i +1

否 输出s 结束

【解析】 :复数的运算、复数相等,目测 x ? 4, y ? ?3 ,模为 5,选 D. 4.已知 sin(

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5
1

图 1

A. ? 【 解

2 5


B. ? 】

1 5


C. 查

1 5
三 角

D. 函

2 5
数 诱 导 公 式 ,



sin(

5? ? 1 ?? ? ? ? ) ? sin(2? + ? ? ) ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ,选 C. 2 2 5 ?2 ?

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是 A.1 B.2 C.4 D.7
2

【解析】选 C.本题只需细心按程序框图运行一下即可. 6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是 A.
1 正视图 1 侧视图

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1
俯视图 1 1 1 ?1 ?1 ? 图 2 , 2= 3 2 3

【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形,三棱锥的高为 2,则 V = ? 选 B. 7.垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x ? y ? 1相切于第一象限的直线方程是
2 2

A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

【解析】 本题考查直线与圆的位置关系, 直接由选项判断很快, 圆心到直线的距离等于 r ? 1 ,

y 排除 B、 相切于第一象限排除 D, A.直接法可设所求的直线方程为: ? ? x ? k ? k ? 0 ? , C; 选
再利用圆心到直线的距离等于 r ? 1 ,求得 k ? 2 . 8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

【解析】基础题,在脑海里把线面可能性一想,就知道选 B 了. 9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1,0) ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是 2
D.

A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 3

【解析】基础题, c ? 1, a ? 2, b ? 3 ,选 D.

2

10.设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

【解析】 本题是选择题中的压轴题, 主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的;以

a 的终点作长度为 ? 的圆,这个圆必须和向量 ?b 有交点,这个不一定能满足,③是错的;
利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须

? b ? ? c =? +? ? a , 所以④是假命题.综上, 本题选 B.平面向量的基本定理考前还强调过,
不懂学生做得如何. 【品味选择题】文科选择题答案:ACDCC BABDB.选择题 3322 再次出现!今年的选择题很 基础,希望以后高考年年出基础题! 二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.设数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ? a3 ? | a4 |? 【解析】这题相当于直接给出答案了 15 12.若曲线 y ? ax ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ?
2



【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意 y ? 2ax ?
'

1 ' 1 , y x ?1 ? 2a ? 1 ? 0,? a ? x 2

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ? 1 ? x ? 1 ,则 z ? x ?y 的 ? y ?1 ?
最大值是 .

【解析】画出可行域如图,最优解为 ?1, 4 ? ,故填 5 ; (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)
3

已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐 标系,则曲线 C 的参数方程为 .

【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候,参数的意义要理解清楚.先化成

? x ? 1 ? cos ? 2 直角坐标方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,易的则曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? sin ?
15. (几何证明选讲选做题) 如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3, BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ? 【解析】 本题对数值要敏感, AB ? 3, BC ? 3 , 由 可知 ?BAC ? 60? 从而 AE ?
B


C

3 , ?CAD ? 30? , 2
A

E D 图 3

21 . DE ? AE 2 ? AD 2 ? 2 AE ? AD ? cos 30? ? 2
【品味填空题】选做题还是难了点,比理科还难些.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3?
3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

(2) 若 cos ? ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

【解析】(1) f ?

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ?3? ? 3 12 ? ?4? 3 4 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

(2)? cos ? ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?
【解析】这个题实在是太简单,两角差的余弦公式不要记错了.

4

17. (本小题满分 13 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个,其中重量在

[80,85) 的有几个?
(3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概 率. 【解析】 (1)苹果的重量在 ?90,95? 的频率为 (2)重量在 ?80,85? 的有 4 ?

20 =0.4 ; 50

5 =1个; 5+15

(3)设这 4 个苹果中 ?80,85? 分段的为 1, ?95,100? 分段的为 2、3、4,从中任取两个,可 能的情况有: (1, (1, (1, (2, (2, (3, 共 6 种; 2) 3) 4) 3) 4) 4) 设任取 2 个, 重量在 ?80,85? 和 ?95,100? 中各有 1 个的事件为 A, 则事件 A 包含有 (1, (1, (1, 共 3 种, 2) 3) 4) 所以 P (A) ? 【解析】这个基础题,我只强调:注意格式!

3 1 ? . 6 2

18. (本小题满分 13 分) 如图 4, 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D, E 分别是 AB, AC 边上的点,AD ? AE ,F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥

2 . A ? BCF ,其中 BC ? 2
(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

A

A

G

E

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . D 3
B

G

E

D F C

5

F 图 4

C

B

图 5

【解析】 (1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

?

AD AE ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中 ? DB EC

也成立,? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF ,

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ?

1 . 2

? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ? 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2
? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / /CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? ? 3 ? 324 ? 3 2 3 2 3 ? ?
【解析】这个题是入门级的题,除了立体几何的内容,还考查了平行线分线段成比例这个平 面几何的内容.

19. (本小题满分 14 分)

n 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 满 足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, ? N
2

?

, 且

a2 , a5 , a14 构成等比数列.
(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ? an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2
4a1 ? 5

2 2 【解析】 (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ?
2

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4 S n ?1 ? an ? 4 ? n ? 1? ? 1, 4an ? 4Sn ? 4Sn ?1 ? an ?1 ? an ? 4
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an ?1 ? an ? 2 2

?当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
6

2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,? a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,? a1 ? 1
2

? a2 ? a1 ? 3 ? 1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

?数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

? ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? 2 ?

【解析】本题考查很常规,第(1) (2)两问是已知 S n 求 an ,? an ? 是等差数列,第(3) 问只需裂项求和即可,估计不少学生猜出通项公式,跳过第(2)问,作出第(3)问.本题 易错点在分成 n ? 1 , n ? 2 来做后,不会求 a1 ,没有证明 a1 也满足通项公式. 20. (本小题满分 14 分) 已 知 抛 物 线 C 的 顶 点 为 原 点 , 其 焦 点 F ? 0, c?? c? 0? 到 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0的 距 离 为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. 2
(1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 【解析】 (1)依题意 d ?

0?c?2 2

?

3 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去) 2

?抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ;
(2)设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y 0 ) , 由x
2

? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y ? ? x . 4 2

7

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

x1 ( x ? x1 ) , 2

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 2 4
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y 0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

综合①、②得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . 2

x x0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2

(3)由抛物线的定义可知 AF ? y1 ? 1, BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1

? x2 ? 4 y 2 2 2 联立 ? ,消去 x 得 y ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 ? 0 , ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

? x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? =2 y ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
2 0

2

1 9 ?当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值为 2 2
【解析】2013 广州一模直接命中了这一题,广一模 20 题解法 2 正是本科第(2)问的解法, 并且广一模大题结构和高考完全一致.

8

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? kx ? x
3 2

?k ? R? .

(1) 当 k ? 1时,求函数 f (x) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f (x) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M . 【解析】 f :
'

? x ? ? 3x 2 ? 2kx ? 1
'

(1)当 k ? 1 时 f

? x ? ? 3x 2 ? 2 x ? 1, ? ? 4 ? 12 ? ?8 ? 0

? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
(2)当 k ? 0 时, f
2

'

? x ? ? 3x 2 ? 2kx ? 1,其开口向上,对称轴 x ? k

(i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3

?

?? k ? 3 ? ? 0 ,即

3

1? ,且过 ? 0,

' ? 3 ? k ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上单调递增,

从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k , 当 x ? ?k 时, f ? x ? 取得最大值

k

-k

x?

M ? f ? ?k ? ? ?k 3 ? k 3 ? k ? ?2k 3 ? k .
( ii ) 当

k 3

k

?

4k 2 ?

1 2 ?

?

?4 k

??

? k 3

?

? ,3 即 ? 0 ? ? 3 k

时 , 令

f ' ? x ? ? 3x 2 ? 2kx ? 1 ? 0
解得: x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k 2 ? 3 ,注意到 k ? x ? x ? 0 , , x2 ? 2 1 3 3

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x2 ? 合图像判断)

1 2k ? k ,从而 k ? x2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结 , x1 ? x2 ? 3 3

? m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ?? , M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ??
? f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0

? f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,
3 2 ? f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ?k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 2

9

? f ? x ? 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k
3

解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ?x ? ? k , ?k ? ,都有

f ( x) ? f (k ) ? x3 ? kx 2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x 2 ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故 f ? x ? ? f ? k ? f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx 2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x 2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k ) 2 ? k 2 ? 1] ? 0
3 故 f ? x ? ? f ? ?k ? ,而 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k ? k ? 0

所以 f ( x) max ? f (?k ) ? ?2k ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k
3

【解析】 :看着容易,做着难!常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了: 结合图像感知 x ? k 时最小, x ? ?k 时最大,只需证

f ? k ? ? f ? x ? ? f ? ?k ?

即可,避免

分类讨论.本题第二问关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力,这也正符合了 2012 年 高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.

10


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