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福建省福州市2011届高三上学期期末质量检查(理数)


福建省福州市 2011 届高三上学期期末质量检查

数学试题(理科)
(满分:100 分;完卷时间:90 分钟) 友情提示:答案一律填写在答题卡上。 一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 M = { y | y = x 2 + 1, x ∈ R}, N = { y | y = x + 1, x ∈ R}, 则M ∩ N 等于( A. (0,1)(1,2) , C. { y | y = 1或y = 2} 2.设复数 z = 1 + B.{(0,1)(1,2)} , D. { y | y ≥ 1} ( ) )

2i则z 2 ? 2 z 等于

D. 3i A.-3 B.3 C. ?3i 3.如图是歌手大奖赛中,七位评委为甲,乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0 —9 中的一个) ,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为

a1 , a2 ,则一定有
A. a1 > a2 C. a1 = a2 B. a2 > a1 D. a1 , a2 的大小不确定





?x ≥ 1 ? 4.已知实数 x, y 满足 ? y ≤ 2 , 则x + y 的最小值为 ?x ? y ≤ 0 ?
A.2 5.若双曲线 B.3 C.4 D.5





x2 y2 ? = 1 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为 a2 b2
( )

A. 5

B.5

C. 2

D.2

6. 设函数 f ( x ) = sin(ω x + ? )(ω > 0, 0 < ? < 条对称轴,则函数 f ( x ) 的解析式为 A. f ( x ) = sin( x +

π
2

) 的部分图象如图所示,直线 x =

π
6

是它的一 )



π
3

) )

B. f ( x ) = sin(2 x ?

π
6

-1-

C. f ( x ) = sin(4 x + D. f ( x ) = sin(2 x +

π π
3 6

) )

7. 已知实数 a, b, c, d 成等比数列, 且函数 y = ln( x + 2) ? x当x = b 时取到极大值 c , ad 等 则 于 A.-1 ( B.0 C.1 D.2 )

8.如图所示,正方形的四个顶点分别为 O (0, 0), A(1, 0), B (1,1), C (0,1) , 曲线 y = x 经过点 B。现将一个质点随机投入正方形中,则质点落
2

在图中阴影区域的概率是 A.





1 2 1 C. 3

1 4 2 D. 5
B.

9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有 一棵树与两墙的距离分别是 am(0 < a < 12), 4m , 不 考虑树的粗细,现在用 16m 长的篱笆,借助墙角围 成一个矩形的花圃 ABCD。设此矩形花圃的面积为 S m2,S 的最大值为 f ( a ) ,若将这棵树围在花墙内, 则函数 a = f (a ) 的图象大致是 ( )

10.在 ?ABC 中, AB ? AC = BA ? BC ”是“ | AC |=| BC | ”的 “ A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

uuu uuur r

uuu uuu r r

uuur

uuu r





11.定义:平面内横坐标为整数的点称为“左整点” ,过函数 y = 整点”作直线,则倾斜角大于 45° 的直线条数为 A.10 B.11 C.12

9 ? x 2 图象上任意两个“左
( D.13 )

12 . 设 函 数 y = f ( x ) 的 定 义 域 为 实 数 集 R , 对 于 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数

-2-

? f ( x) f k ( x) = ? ?k

( f ( x) ≤ k ) 2 , 给 出 函 数 f ( x) = ? x + 2 , 若 对 于 任 意 的 ( f ( x) > k )
( B.k 的最小值为 2 D.k 的最小值为 1 )

x ∈ (?∞, +∞) ,恒有 f k ( x) = f ( x) ,则
A.k 的最大值为 2 C.k 的最大值为 1 二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分)
5

? 2 a? 13. 在二项式 ? x ? ? 的展开式中,x 纱数是-10, 则实数 a x? ?
的值为 。

14.在 ?ABC 中, BC =

5, AC = 3, sin C = 2sin A ,则

AB 的长为 。 15.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密 文(加密) ,接收方由 密文→明文(解密) ,已知加密规 则如图所示,例如,明文 1,2,3,4 对应密文 5,7, 18,16,当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密 。 得到的明文为 16. f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (2) = 0, 当x > 0 时, 设 且 有

xf ′( x) ? f ( x) < 0 恒成立,则不等式 x 2 f ( x) > 0 的 x2

解集为 。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列,其前 n 项的和为 S n . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an 及前 n 项和 Sn ; (Ⅱ)设 bn = 2 n ,求数列 {bn } 的通项公式 bn 及前 n 项和 Tn .
a

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2sin ω x + 2 3 sin ω x sin(
2

π
2

? ω x)(ω > 0) 的最小正周期为 π .

(Ⅰ)求 ω 的值;

-3-

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

2π ] 上的取值范围。 3

19. (本小题满分 12 分) 一个袋子内装有若干个黑球,3 个白球,2 个红球(所有的球除颜色外其它均相同) ,从 中一次性任取 2 个球,每取得一个黑球得 0 分,每取一个白球得 1 分,每取一个红球得 2 分,用随机变量 ξ 表示取 2 个球的总得分,已知得 0 分的概率为 . (Ⅰ)求袋子内黑球的个数; (Ⅱ)求 ξ 的分布列与期望。

1 6

20. (本小题满分 12 分) 某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其它 费用组成,已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为 0.5) , 其它费用为每小时 800 元,且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时。 (Ⅰ)请将从甲地到乙地的运输成本 y(元)表示为航行速度 x (海里/小时)的函数; (Ⅱ)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?

-4-

21. (本小题满分 12 分) (文题满分 14 分) 如图, ADB 为半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD ⊥ AB ,Q 为线段 OD 的中 点,已知|AB|=4,曲线 C 过 Q 点,动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)过点 B 的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点,与 OD 所在直线交于 E 点,若

uuuu r uuur uuur uuu r EM = λ1 MB, EN = λ2 NB, 求证 : λ1 + λ2 为定值。

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ? x3 + ax 2 + bx + c 在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数, 函数 f ( x ) 在 R 上有三个零点,且 1 是其中一个零点。 (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求 f (2) 的取值范围; (Ⅲ)设 g ( x ) = x ? 1 ,且 f ( x ) > g ( x ) 的解集为(-∞,1) ,求实数 a 的取值范围。

-5-

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 1.D 2.A 3.B 4.A 5.A 6.D 7.A 8.C 9.C 10.C 二、填空题(每小题 4 分,满分 16 分) 13.1 14. 2 5 15.6,4,1,7 16. (-∞,-2)∪(0,2)

11.B 12.B

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意: an = 2 + (n ? 1) = n + 1 2分

S n = 2n +

n(n ? 1) n 2 3n ×1 = + 2 2 2
a1

4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 b1 = 2

=4

5分

bn +1 = 2an +1 ? an = 21 = 2 ∴ {bn } 是首项为4,公比为2的等比数列 bn
∴ bn = 4 × 2n ?1 = 2 n +1 Tn = 4(1 ? 2n ) = 2n+ 2 ? 4 1? 2
9分

7分

12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)

f ( x ) = 1 ? cos 2ω x + 2 3 sin ω x cos ω x = 1 ? cos 2ω x + 3 sin 2ω x = 3 sin 2ω x ? cos 2ω x + 1 = 2sin(2ω x ? ) + 1 6
2分

π

5分

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ω > 0 , 所以

2π = π ,解得 ω = 1 . 2ω

7分

-6-

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) = 2 sin( 2 x ?

π
6

) +1

2π , 3 π π 7π 所以 ? ≤ 2 x ? ≤ , 6 6 6
因为 0 ≤ x ≤ 所以 ?

9分

1 π ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 , ? ? 2 6? ?

因此 0 ≤ 2 sin( 2 x ?

π
6

) + 1 ≤ 3 ,即 f ( x) 的取值范围为 [0,3] .

12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设袋中黑球的个数为 n,由条件知,当取得 2 个黑球时得 0 分,概率为:

p (ξ = 0) =
2

Cn2 1 = 2 Cn + 5 6

2分

,即袋子中有 4 个黑球 化简得: n ? 3n ? 4 = 0 ,解得 n = 4 或 n = ?1 (舍去) (Ⅱ)依题意: ξ =0,1,2,3,4

4分

C1 ? C1 1 1 p (ξ = 0) = , p (ξ = 1) = 4 2 3 = 6 3 C9 p (ξ = 2) =
1 1 C32 + C2 ? C4 11 = 36 C92

5分

6分

1 1 C3 ? C2 1 p (ξ = 3) = = 6 C92

7分

p (ξ = 4) =

C22 1 = C92 36

8分

∴ ξ 的分布列为

ξ
P

0

1 1 3

2 11 36

3 1 6

4 1 36

1 6

10 分

Eξ = 0 ×

1 1 11 1 1 14 + 1× + 2 × + 3× + 4× = 6 3 36 6 36 9

12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意,

-7-

300 每小时的燃料费用为 0.5 x (0 < x ≤ 50) ,从甲地到乙地所用的时间为 小时, 2 分
2

x

300 300 则从甲地到乙地的运输成本 y = 0.5 x 2 ? , (0 < x ≤ 50) + 800 ? x x 300 300 1600 故所求的函数为 y = 0.5 x 2 ? + 800 ? = 150( x + ) , (0 < x ≤ 50) . x x x
(Ⅱ)由(1) y = 150 ? x + 当且仅当 x =

6分 7分

? ?

1600 ? 1600 = 12000 , ? ≥ 150 × 2 x × x ? x

9分

1600 ,即 x = 40 时取等号.…11 分 x

故当货轮航行速度为40 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少. 12 分 21. (本小题满分 12 分) (文 22 题 满分 14 分) 解: (Ⅰ)以 AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴, O 为原点,建立平面直角坐标系, ∵动点 P 在曲线 C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.且点 Q 在曲线 C 上, ∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 2 2 + 12 = 2 5 >|AB|=4. ∴曲线 C 是为以原点为中心,A、B 为焦点的椭圆 设其长半轴为 a,短半轴为 b,半焦距为 c,则 2a=2 5 ,∴a= 5 ,c=2,b=1. ∴曲线 C 的方程为

x2 2 +y =1 5

5分

(Ⅱ)证法 1:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) , 又易知 B 点的坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. ∵ EM = λ1 MB ,∴ ( x1 , y1 ? y0 ) = λ1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) . ∴ x1 =

uuuu r

uuur

y0 2λ1 , y1 = . 1 + λ1 1 + λ1

7分

将 M 点坐标代入到椭圆方程中得: (

y 1 2λ1 2 ) + ( 0 )2 = 1, 5 1 + λ1 1 + λ1
2

去分母整理,得 λ1 + 10λ1 + 5 ? 5 y 0 = 0 .
2

10 分
2

同理,由 EN = λ2 NB 可得: λ 2 + 10λ 2 + 5 ? 5 y 0 = 0 .
2

uuur

uuu r

∴ ∴

λ1 , λ2 是方程 x 2 + 10 x + 5 ? 5 y 0 2 = 0 的两个根, λ1 + λ2 = ?10 .
12 分

(Ⅱ)证法 2:设 M , N , E 点的坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), E (0, y0 ) ,又易知 B 点的

-8-

坐标为 (2, 0) .且点 B 在椭圆 C 内,故过点 B 的直线 l 必与椭圆 C 相交. 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程是 y = k ( x ? 2) . 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 + 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x + 20k 2 ? 5 = 0 . 8 分 20k 2 20k 2 ? 5 ∴ x1 + x 2 = , x1 x 2 = . 1 + 5k 2 1 + 5k 2
又 ∵ EM = λ1 MB , 则 ( x1 , y1 ? y0 ) = λ1 ( 2 ? x1 , ? y1 ) .∴ λ1 =

uuuu r

uuur

x1 , 2 ? x1
10 分

同理,由 EN = λ2 NB ,∴ λ2 =

uuur

uuu r

x2 . 2 ? x2

∴ λ1 + λ2 =

x1 x 2( x1 + x2 ) ? 2 x1 x2 + 2 = = L = ?10 . 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 + x2 ) + x1 x2

12 分

22. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵f(x)=-x3+ax2+bx+c,∴ f ′ ( x ) = ?3 x + 2ax + b .
2

1分

∵f(x)在在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数, ∴当 x=0 时,f(x)取到极小值,即 f ′ ( 0 ) = 0 .∴b=0. (Ⅱ)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c, ∵1 是函数 f(x)的一个零点,即 f(1)=0,∴c=1-a. 5分 3分

2a 2 ∵ f ′ ( x ) = ?3 x + 2ax = 0 的两个根分别为 x1 = 0 , x2 = . 3 ∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数 f(x)在 R 上有三个零点, 2a 3 ∴ x2 = > 1 ,即 a > . 7分 3 2 5 ∴ f ( 2 ) = ?8 + 4a + (1 ? a ) = 3a ? 7 > ? . 2
故 f(2)的取值范围为 ? ?

? 5 ? , +∞ ? . ? 2 ?
3

9分

(Ⅲ)解法 1:由(Ⅱ)知 f ( x ) = ? x + ax + 1 ? a ,且 a >
2

3 . 2

∵1 是函数 f ( x ) 的一个零点,∴ f (1) = 0 ,

-9-

∵ g ( x ) = x ? 1, ∴ g (1) = 0 , ∴点 (1, 0) 是函数 f ( x ) 和函数 g ( x ) 的图像的一个交点. 10 分 结合函数 f ( x ) 和函数 g ( x ) 的图像及其增减特征可知,当且仅当函数 f ( x ) 和函数 g ( x ) 的图像只有一个交点 (1, 0) 时, f ( x ) > g ( x ) 的解集为 ( ?∞ ,1) . 即方程组 ?
3

? y = x ? 1,
3 2

? y = ? x + ax + 1 ? a
2

(1)只有一个解 ?

? x =1 . 11 分 ?y = 0

由 ? x + ax + 1 ? a = x ? 1 ,得 x 3 ? 1 ? a x 2 ? 1 + ( x ? 1) = 0 . 即 ( x ? 1) x + x + 1 ? a ( x ? 1)( x + 1) + ( x ? 1) = 0 .
2

(

) (

)

(

)

即 ( x ? 1) ? x + (1 ? a ) x + ( 2 ? a ) ? = 0 . ? ?
2

∴ x = 1 或 x + (1 ? a ) x + ( 2 ? a ) = 0 . 12 分
2

由方程 x + (1 ? a ) x + ( 2 ? a ) = 0 , (2)
2

得 ? = (1 ? a ) ? 4 ( 2 ? a ) = a + 2a ? 7 .∵ a >
2 2

3 , 2
13 分

当 ? < 0 ,即 a + 2a ? 7 < 0 ,解得
2

3 < a < 2 2 ?1 2

此时方程(2)无实数解,方程组(1)只有一个解 ?

? x =1 . ?y = 0
14 分

所以

3 < a < 2 2 ? 1 时, f ( x ) > g ( x ) 的解集为 ( ?∞ ,1) . 2
3 2

(Ⅲ)解法 2:由(Ⅱ)知 f ( x ) = ? x + ax + 1 ? a ,且 a > ∵1 是函数 f ( x ) 的一个零点

3 . 2

∴ f ( x) = ?( x ? 1) ? x 2 + (1 ? a ) x + 1 ? a ? ? ?
又 f ( x ) > g ( x ) 的解集为 ( ?∞ ,1) ,

∴ f ( x) ? g ( x) = ?( x ? 1) ? x 2 + (1 ? a ) x + 2 ? a ? > 0解集为 ( -∞,1) ? ?

10 分

∴ x 2 + (1 ? a ) x + 2 ? a > 0恒成立
∴ ? = (1 ? a ) ? 4 × 1 × ( 2 ? a ) < 0
2

11 分 12 分

∴ a 2 + 2a ? 7 < 0

∴ ( a + 1) < 8
2

3 3 ?3 ? 又 Q a > ∴ < a < 2 2 ? 1∴ a的取值范围为 ? , 2 ? 1? 2 2 2 ?2 ?

14 分

- 10 -

- 11 -


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