当前位置:首页 >> 数学 >> 浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第15章15.3 柯西不等式与排序不等式_图文

浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第15章15.3 柯西不等式与排序不等式_图文

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c 1.已知a,b,c ? R,求证: ? . 3 3

证明:因为?1 ? 1 ? 1
2 2

2

?? a

2

?b ?c
2

2

? ? ?a ? b ? c? ,
2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? a ? b ? c ?2 所以 ? , 3 9 a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c 即 ? . 3 3

2.已知a,b,c ? R ?,求证: 2 ? a 3 ? b3 ? c 3 ? ? a 2
2 2 b ? c ? b a ? c ? c ? ? ? ? ? a ? b ?.

证明:不妨设0 ? a ? b ? c,则a 2 ? b 2 ? c 2 . 于是a 2 a ? b 2b ? c 2 c ? a 2c ? b 2 a ? c 2b, a 2 a ? b 2b ? c 2 c ? a 2b ? b 2 c ? c 2 a, 上面两式相加,得 2 ? a 3 ? b 3 ? c 3 ? ? a 2 ? b ? c ? ? b 2 ? a ? c ? ? c 2 ? a ? b ?.

3.已知x,y,z ? R, 且x ? 2 y ? 2 z ? 5,求x 2 ? y 2 ? z 2的最小值.

解析:根据柯西不等式有,
2 2 2 2? ? ? x ? y ? z ? ?1 ? ? ?2 ? ? 2 ? ? ? ? x ? ? ?2 y ? ? 2 z ? ? , x y z 当且仅当 ? ? , 1 ?2 2 5 10 10 即x ? ,y ? ? ,z ? 时等号成立. 9 9 9 因为x ? 2 y ? 2 z ? 5, 2 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2 z ? 25 2 2 2 所以x ? y ? z ? ? . 9 9 25 2 2 2 因此,x ? y ? z 的最小值为 . 9

4.(2009 ? 浙江绍兴)设x,y,z ? R,x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1.

?1? 求x ? y ? z的最大值; ? 2 ? 求x ? y的取值范围.
解析: ?1?因为?12 ? 12 ? 12 ?? x 2 ? y 2 ? z 2 ? ?

?x ? y ? z?

2

,x ? y ? z ? 1,所以 ? x ? y ? z ? ? 3,
2 2 2 2

3 等号当且仅当x ? y ? z ? 时取到, 3 故x ? y ? z有最大值 3.

2 2 2 2 解法 1 : 因为 x ? y ? z ? 1, ? ?

所以2 ? 2 x ? 2 y ? 2 z ? x ? y ? 2 xy ? 2 z ?
2 2 2 2 2 2

? x ? y?

2

? 2z ? ? x ? y ? ,
2 2

得 ? 2 ? x ? y ? 2. 解法2:因为x 2 ? y 2 ? 1 ? z 2,
2 ? x ? 1 ? z cos? ? 所以可设 ? , 2 y ? 1 ? z sin? ? ?

则x ? y ? 1 ? z (sin a ? cos a)
2

? 2 1 ? z sin(? ? ), 4 得 ? 2 ? x ? y ? 2.
2

?

几个著名的不等式: 1.柯西不等式:设a1,a2, ?,an,b1,b2, ?,
2 2 bn ? R,则(a12 ? a2 ??? an )(b12 ? b22 ??? bn2 ) ?  

(a1b1 ? a2b2 ??? anbn ) 2   . an a1 a2 当且仅当 ? ? ? ? 或b1 ? b2 ? ? ? bn b1 b2 bn ? 0时等号成立.

2.排序不等式:设有两组实数a1,a2, ?,an与 b1,b2, ?,bn,且a1 ? a2 ? ? ? an,b1 ? b2 ? ? ? bn,c1,c2, ?,cn为b1,b2, ?,bn的任意一个排列, 则 a1bn ? a2bn ?1 ??? anb1 (反序) ? a1c1 ? a2 c2 ??? an cn   (乱序) ? a1b1 ? a2b2 ??? anbn (顺序) 等号当且仅当a1 ? a2 ? ? ? an或b1 ? b2 ? ? ? bn时 成立,即反序和等于顺序和.

例题1:设a,b,c为正数且各不相等,求证: 2 2 2 9 ? ? ? . a?b b?c c?a a?b?c

分析: 因为a,b,c均为正数,所以为证结论正 1 1 1 确,只需证2 ? a ? b ? c ? [ ? ? ] ? 9, a?b b?c c?a 为此,我们利用9与2这两个常数进行巧拆, 9?

?1 ? 1 ? 1?

2

, 2 ? a ? b ? c ? ? ? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ?,

这样就给我们运用柯西不等式提供了条件.

1 1 1 证明:因为2 ? a ? b ? c ? ( ? ? ) a?b b?c c?a 1 1 1 ?? ?? a ? b ? ? ? b ? c ? ? ? c ? a ? ? ? (a ? b ? b ? c ? c ? a) 1 2 ? [( a ? b ) ? ( b ? c ) ? ( c ? a ) ] ? [( ) ? a?b
2 2 2

1 2 1 2 ( ) ?( ) ] b?c c?a

1 1 1 2 ? ( a?b ? ? b?c? ? c?a? ) a?b b?c c?a ? ?1 ? 1 ? 1? ? 9.
2

又a,b,c各不相等,故等号不能成立, 所以原不等式成立.

点评:利用柯西不等式证明不等式,要使用 拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式 的形式和条件,这是应用柯西不等式证明不 等式的关键.

22 拓展训练:求证: ? ? 2

22 ? . 2 x2 ? 2 y 2 ? z 2

2x ? y ? z

1 2 2 证明:由[ x ? ( 2 y ) ? z ] ? [2 ? ( ) ? ? ?1? ] 2
2 2 2 2

? ? 2x ? y ? z ?
2 2

2

11 2 ? ? x ? 2 y ? z ? ? ? ? 2x ? y ? z ? 2 ? 2 x ? y ? z ?2 11 ? 2 ? 2 2 x ? 2y ? z 2
2

22 ?? ? 2

22 ? . 2 x2 ? 2 y 2 ? z 2

2x ? y ? z

例题2: (2009 ? 浙江选考卷)已知实数x,y,z满足 x ? y ? 2 z ? 1,且t ? x 2 ? y 2 ? 2 z 2 .

?1? 求t的最小值;
1 ? 2 ?当t ? 时,求z的取值范围. 2

分析: ?1? 根据x 2 ? y 2 ? 2 z 2的形式特征及x ? y ? 2 z ? 1这个特殊条件,结合柯西不等式的结构 特征,从x ? y ? 2 z ? 1入手构造适合柯西不等 式的两组数; ? 2 ? 构造关于z的不等式.

解析: ?1? 根据柯西不等式有,

?x

2

? y ? 2 z ? ? [1 ? 1 ? ( 2) ] ? ? x ? y ? 2 z ? ? 1,
2 2 2 2 2 2

1 所以t ? , 4 2z 1 当且仅当x ? y ? ,即x ? y ? z ? 时取等号, 4 2 1 因此t的最小值为 . 4

因为? x ? y
2 2

1 2 2 由题意得, x ? y ? 1 ? 2 z , x ? y ? ? 2 z , ? ? 2
2 2 2

? ?1 ? 1? ? ? x ? y ? ,
2 2

1 所以1 ? 4 z ? ?1 ? 2 z ? .解得0 ? z ? . 2

点评:运用柯西不等式解题的关键在于构造 适当的两组数,并依照柯西不等式的形式进 行探索.

拓展训练: ?1?已知x,y,z ? R,且x ? 2 y ? 2 z ? 5, 求 ? x ? 5? ? ? y ? 1? ? ? z ? 3? 的最小值.
2 2 2

? 2 ?已知实数a,b,c,d,e满足a ? b ? c ? d ? e ? 8,
a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? e2 ? 16,求e的取值范围.

解析: ; , ?1? 两组数可分别取为x ? 5,y ? 1,z ? 31 ?2, 2.利用柯西不等式有, ?? x ? 5 ?2 ? ? y ? 1?2 ? ? z ? 3?2 ? ? ?12 ? ? ?2 ?2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? x ? 5 ? ? ?2 ?? y ? 1? ? 2 ? z ? 3? ? ? ,
2

即 ? x ? 5 ? ? ? y ? 1? ? ? z ? 3? ? 36,
2 2 2

x ? 5 y ?1 z ? 3 当且仅当x ? 2 y ? 2 z ? 5,且 ? ? 1 ?2 2 时取等号,即x ? ?3,y ? ?3,z ? 1时取等号.

所以 ? x ? 5 ? ? ? y ? 1? ? ? z ? 3? 的最小值为36.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 因为 4 a ? b ? c ? d ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ( a ? ? ? ? ? ? ?

b ? c ? d ) ? ?a ? b ? c ? d ? .
2 2 2 2

即4 ?16 ? e
2

2

2 2 ? 8 ? e , 64 ? 4 e ? 64 ? 16 e ? e , ? ? ? 2

16 即5e ? 16e ? 0,所以e ? 5e ? 16 ? ? 0,故0 ? e ? . 5

例题3:设a1,a2, ?,an是n个互不相同的正整 an a2 a3 1 1 1 数.求证: 1 ? ? ??? ? a1 ? 2 ? 2 ??? 2 . 2 3 n 2 3 n

证明:设b1,b2, ?,bn是a1,a2, ?,an的一个排 列,且满足b1 ? b2 ? ? ? bn, 因为b1,b2, ?,bn是互不相同的正整数, 故b1 ? 1,b2 ? 2, ?,bn ? n,

1 1 1 又因为1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 , 2 3 n 故由排序不等式得, an bn a2 a3 b2 b3 a1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? b1 ? 2 ? 2 ??? 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ??? n ? 2 2 3 n 1 1 1 ? 1 ? ? ??? , 2 3 n 所以原不等式得证.

点评:应用排序不等式的技巧在于构造两个 便于排序的数组,而数组的构造应根据需要 设计,根据所要证的式子的结构观察分析, 特别注意变量呈 " 对齐 " 和" 齐次 "的不等式.

拓展训练:设a,b,c为2,3,5的任一个排列,且
n ?1 n ?1 n ?1 a b c n ? N*,求证: n ? n ? n ? 10. 2 3 5

证明:因为a n ?1,b n ?1,c n ?1从小到大的顺序是 1 1 1 n ?1 n ?1 n ?1 2 ,3 ,5 ,而 n ? n ? n , 2 3 5 a n ?1 b n ?1 c n ?1 1 n ?1 1 n ?1 1 n ?1 所以 n ? n ? n ? n a ? n b ? n c 2 3 5 2 3 5 1 n ?1 1 n ?1 1 n ?1 ? n ? 2 ? n ?3 ? n ?5 2 3 5 ? 2 ? 3 ? 5 ? 10.

x2 备选题:设正数x,y,z满足xyz ? 1,求证 y?z y2 z2 3 ? ? ? . z?x x? y 2

分析:因为x,y,z是正实数,且不等式的条 件与结论都具有对称性,所以不妨设x ? y ? z, 然后只要根据题中的式子构造两组有序的数, 就可以应用排序不等式证明.也可考虑运用 柯西不等式或均值不等式证明.

证明:解法1: 不妨设x ? y ? z,则x ? y ? x ? z ? y ? z ? 0, x y z 于是 ? ? . y?z z?x x? y 由排序不等式得, x2 y2 z2 x y z ? ? ? z? ? x? ? y? , y?z z?x x? y y?z z?x x? y x2 y2 z2 x y z ? ? ? y? ? z? ? x? . y?z z?x x? y y?z z?x x? y

两式相加并化简得, x y z 2( ? ? ) ? x ? y ? z. y?z z?x x? y 由均值不等式及xyz ? 1得,x ? y ? z ? 3 3 xyz ? 3, x2 y2 z2 3 所以 ? ? ? . y?z z?x x? y 2
2 2 2

解法2:由柯西不等式得, x2 y2 z2 ( ? ? )? ? y ? z ? ? ? z ? x ? ? ? x ? y ?? ? ? y?z z?x x? y ? ? x ? y ? z? ,
2

x y z 1 化简得, ? ? ? ? x ? y ? z ?. y?z z?x x? y 2 由均值不等式及xyz ? 1得, x ? y ? z ? 3 3 xyz ? 3, x2 y2 z2 3 所以 ? ? ? . y?z z?x x? y 2

2

2

2

解法3:由均值不等式得, x2 y?z y2 z?x z2 x? y ? ? x, ? ? y, ? ? z. y?z 4 z?x 4 x? y 4 三式相加,化简得, x2 y2 z2 1 ? ? ? ? x ? y ? z ?. y?z z?x x? y 2 由均值不等式及xyz ? 1得,x ? y ? z ? 3 3 xyz ? 3, x2 y2 z2 3 所以 ? ? ? . y?z z?x x? y 2

1.应用柯西不等式时,常常需要根据柯西不 等式的特定结构,对相关式子适当变形,如 添、拆、分解、组合等. 2.运用柯西不等式解决最大值或最小值问题, 要注意验证等号能否成立;多次利用柯西不 等式求最值,每一次运用前后等号成立的条 件必须一致,不能自相矛盾,否则就会出现 错误.

3.对于包含具有明确大小顺序关系、数目相 同的两组数的题目,当考虑它们的对应项乘 积之和的大小时,排序不等式是很有用的工 具.在证明不等式时,将 " n个互不相同的数 " 按大小关系进行排序,是证明中常常使用的 一个重要技巧.

例题:求函数y ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3x的最 大值.
错解:由柯西不等式得, 3 2 [( x ? ) ? ( 2 x ) 2 ? ( 7 ? 3 x ) 2 ] ? [( 2) 2 ? 12 ? 12 ] 2 ? ( 2 x ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 x ) 2, 即( 2 x ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 x ) ? 22,
2

所以 2 x ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 x ? 22. 故ymax ? 22.

错解分析:应用柯西不等式的关键在于构造 两组数(式).应用柯西不等式求最大(小)值, 一要注意通过配凑出现定值,二要注意等号 能够成立.错解中虽然得出了定值,但等号 3 x? 2x 7 ? 3x 2 成立的条件是 ? ? ?x 1 1 2 无解.所以最大值无法取得.

?2 x ? 3 ? 0 3 7 ? 正解:由 ?2 x ? 0 ,得函数的定义域为[ , ]. 2 3 ?7 ? 3 x ? 0 ? 根据柯西不等式有, [( 2 x ? 3) 2 ? ( x ) 2 ? ( 7 ? 3 x ) 2 ] ? [12 ? ( 2) 2 ? 12 ] ? ( 2 x ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 x ) 2, 即( 2 x ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 x ) 2 ? 16.

所以 2 x ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3x ? 4. x 当且仅当 2 x ? 3 ? ? 7 ? 3x, 2 即x ? 2时等号成立, 故当x ? 2时,ymax ? 4.


更多相关文档:

浙江省杭州市塘栖中学2018届高三数学上学期滚动练习卷(....doc

浙江省杭州市塘栖中学2018届高三数学上学期滚动练习卷(一)理(无答案)_数学_

浙江省杭州市塘栖中学2015届高三高考化学一轮复习学案....doc

浙江省杭州市塘栖中学2015届高三高考化学一轮复习学案§31糖类、油脂、蛋白质_理化生_高中教育_教育专区。浙江省杭州市塘栖中学2015届高三高考化学一轮复习学案§31...

2018届高考数学一轮复习《柯西不等式排序不等式及应用....ppt

2018高考数学一轮复习柯西不等式排序不等式及应用》课件理新人教A版_高考_高中教育_教育专区。2018 柯西不等式、排序不等式及应用 1.已知 m2+n2=2,t2+s2=...

【高考调研】2014届高考数学总复习 12-4-5-2 不等式的....ppt

【高考调研】2014届高考数学总复习 12-4-5-2 不等式的证明与柯西不等式配套课件 理 新人教A版_教学案例/设计_教学研究_教育专区。第 2 课时 不等式的证明与...

2019届高三数学(理)第一轮复习教学进度表.doc

2019 届高三数学(理)第一轮复习教学进度表 第一轮....15-10.21) 3.三角函数的图像与性质 第三章: ...(12.03-12.09) 第六章: 不等式、 推理与证 ...

2019届高三数学课标一轮复习课件:7.3 基本不等式与绝对....ppt

2019届高三数学课标一轮复习课件:7.3 基本不等式与绝对值不等式_数学_高中教育_教育专区。7.3 基本不等式与绝对值不等式 第七章 7.3 基本不等式与绝对值不...

2019届高三数学一轮复习方案(定稿版).doc

2019 届高三数学一轮复习方案 为备战 2019 年高考,...柯西不等式与 均值不等式 2、文科 日期 一轮复习...

浙江省杭州市塘栖中学2018届高三数学上学期周末滚动练....doc

浙江省杭州市塘栖中学2018届高三数学上学期周末滚动练习(10)理(无答案)_数学_...的等差数列,则面积是( ) A.10 3 B.15 3 C. 20 3 D. 25 3 2、已知...

浙江省杭州市塘栖中学2017届高三数学一模模拟卷7 文(无....doc

浙江省杭州市塘栖中学 2017 届高三数学一模模拟卷 7 文(无答案) 一、选择题(...x ? ? 成立是不等式 (x ?1)tanx ? 0 成立的 2 ( ) -1- 借鉴借鉴 ...

2020届高三数学一轮复习(理科)通用版7.1不等关系与一元....ppt

2020届高三数学一轮复习(理科)通用版7.1不等关系与一元二次不等式课件_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2020届高三数学一轮复习(理科)通用版选修课件 ...

2019年高三理科数学一轮复习课件:不等式与不等关系.ppt

2019年高三理科数学一轮复习课件:不等式与不等关系_... 湖南箴言中学一模)设a,b∈R,则“(a-b)a2<...B.1 D.3 5.(2016 北京,理)已知x,y∈R,且...

2019版高考数学(理)一轮总复习课件:第七章 不等式及推....ppt

2019版高考数学(理)一轮总复习课件:第七章 不等式及推理与证明 7-3 - 第3课时 简单的线性规划 …2018 考纲下载… 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组...

高三数学第一轮复习章节测试.pdf

高三数学第一轮复习章节测试_数学_高中教育_教育专区。第4章 第4节 一、选择题 1.(2010四川理)将函数y=sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位 长度,再把...

2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第9讲 对数与....ppt

2013高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第9讲 对数与对数函数_数学_高中教育...(2)对于[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f(x)>(2) +m 恒成 1x ...

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com