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学生~第1讲


第1讲

合情推理与演绎推理
基础梳理

1.合情推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由 部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再 进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

2.演绎推理 (1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎 推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

考向一
【例 1】观察下列等式: ① cos2a=2 cos a -1; ② cos4a=8 cos a - 8 cos a + 1; ③ cos6a=32 cos a - 48 cos a + 18 cos a - 1;
6 4 2 4 2 2

归纳推理

④ cos8a=128 cos a - 256 cos a + 160 cos a - 32 cos a + 1; ⑤ cos10a= m cos a - 12 80 cos a + 1120 cos a + n cos a + p cos a - 1. 可以推测,m – n + p = .
10

8

6

4

2

8

6

4

2

练习:1 观察下列等式:

可以推测:13+23+33+?+n3=________(n∈N*,用含有 n 的代数式表示).

2. 已知经过计算和验证有下列正确的不等式: 3+ 17<2 10, 7.5+ 12.5<2 10, 8+ 2+ 12- 2<2 10,根据以上不等式的规律,请写出一个对正实数 m,n 都成立的条 件不等式________.

3.观察 ( x2 )' ? 2 x , ( x 4 )' ? 4 x3 , (cos x)' ? ? sin x ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足

f (? x) ? f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g (? x) =(
(A) f ( x ) (B) ? f ( x) (C) g ( x)

) (D) ? g ( x)

考向二

类比推理

【例 2】?在平面几何里,有“若△ABC 的三边长分别为 a,b,c,内切圆半径为 r,则三角 1 形面积为 S△ABC=2(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体 ABCD 的四个面的 面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r,则四面体的体积为________”.

练习:已知命题:“若数列{an}为等差数列,且 am=a,an=b(m<n,m,n∈N*),则 am+n= b· n-a· m ”.现已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且 bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N*), n-m 若类比上述结论,则可得到 bm+n=________.

考向三

演绎推理

n+2 【例 3】?数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= n Sn(n∈N+).证明:
?Sn? (1)数列? n ?是等比数列; ? ?

(2)Sn+1=4an.

【例 4】设 n ? 2, n ? N , (2 x ? ) ? (3 x ? ) ? a0 ? a1x ? a2 x2 ???? ? an xn ,
n n

1 2

1 3

将 ak (0 ? k ? n) 的最小值记为 Tn ,则 T2 ? 0, T3 ? 其中 Tn =__________________ .

1 1 1 1 ? 3 , T4 ? 0, T5 ? 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 3 2 3 2 3

2x-1 【训练 3】 已知函数 f(x)= x (x∈R). 2 +1 (1)判定函数 f(x)的奇偶性; (2)判定函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明.


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