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《2.1.2 指数函数及其性质》教学设计


人教 A 版必修一第二章《2.1.2 指数函数及其性质》教学设计 湖南师大附中 谢美丽

一、教学结构体系: 本节内容选自人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学必修(1)》第二章第 一节第二小节.第一小节是《指数与指数幂的运算》,它把整数幂运算扩充到了整个实数 范围,为本节研究指数函数打下了基础.指数函数作为重要的基本初等函数之一,它在生 产生活中有着广泛的应用,是对学生进行情感价值观教育的好素材,其性质的研究为接 下来研究对数函数与幂函数提供了方法与参照,应作重点研究. 根据教材结构与教学目 标,我将本节内容划分为如下两课时完成: 第一课时:指数函数概念、图象及其性质探究 第二课时:指数函数图象、性质的初步应用 二、教学设计 本节两课时分别设计如下:

第一课时:指数函数概念、图象及其性质
(一)教学流程 创设情景、启迪思维 → 深入剖析、加深理解 → 自主探究、合作交流 → 理论迁移、初步应用 → 巩固练习、深化反馈 → 释疑解惑、反思提高 → 归纳小结、提炼升华 → 课外探究、分层落实 (二)每个环节的具体教学设计 (1) “创设情境、启迪思维”环节
问题 1.情景引入: 折纸问题: 有一张面积为 1 的矩形纸, 将其 连续对折 x 次后, 纸的层数和每层纸的面积 将变为多少? (1)写出对折后页(层)数 y 与对折次数 x 的关系式: y ? 2 ( x ? N ) .
x

师生互动 设计意图 1.动手操作: 1.本环节中,我从学生熟悉的折纸实 学生各拿矩形白纸一张, 例着手,引出分别以 1 ? a ? 1 和 a ? 1 的 按同样方式连续对折,并 1 x x 思考屏幕上的问题. 两个数为底的函数: y ? 2 , y ? ( ) ,

2

(2)设这页纸的面积为 1 个单位,则对折 后每一层纸的面积 s 与对折次数的关系怎 样?( y ? ( ) ( x ? N ) )
x

1 2

2.学生在老师的引导下观 察两个函数解析式,不难 发现均是幂的形式,底数 是常数,自变量处在指数 位置.

不仅激发了学生的学习兴趣,让学生体会 到数学来源于生活实际,而且为顺利引出 指数函数定义作了铺垫,达到从特殊到一 般、 感性认识到抽象思维过渡.指导学生积 极思维,主动获取知识.

2.继续思考: (1)上述 2 个关系式是函数吗? ( 2)这 2 个函数在其结构上有何共同特 点?其一般形式如何?
1

2.类比初中所学的3种函数, 引导学生联系 已学知识,有利于合理构建知识体系.

3. 抽 象 出 概 念 : 我 们 把 形 如

y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的 函 数 叫 做 指 数 函
数,其中 x 是自变量. 函数的定义域为 R. 4.回顾、联系 (1) y ? kx ? b,(k ? 0) (2) y ? 一次函数 反比例函数 二次函数

3. 按“概念的引入→定义→联系→剖析 →辨析→运用”顺序,揭示概念的内涵和 外延.

x , ( k ? 0) k

(3) y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) (4) y ? a x (a ? 0, a ? 1)

指数函数

(2) “深入剖析、加深理解” 环节
问题 问题 1.规定“ a ? 0且a ? 1 ”,还有别的 表达形式吗? 问题 2:为什么规定“ a ? 0且a ? 1 ”?如果 不这样规定会出现什么情况? 问题 1、 2 由学生自主思 考、探究,自由讨论、完 善. 师生互动 设计意图 1.通过引导学生用区间表示问 1 中的规 定,是为后续按 a ? 1和0<a ? 1 两种情况 探究指数函数性质作铺垫. 2.问题 2 的设置突出对底数 a 的进一步 讨论,这是本节课的一个难点,为突破难 点,采取学生自由讨论的形式,达到互相 启发, 补充, 活跃气氛, 激发兴趣的目的, 培养学生思维的严谨性. 3.练习 1 实际是教材例 6 的改编,目的是 加深学生对指数函数呈现形式的理解,同 时也复习了待定系数法求解析式,让学生 明白,确定一个指数函数的解析式,只需 要 1 个独立的条件.

练习 1.已知 y=f(x)是指数函数, 且其图象过

(3, ? ) ,求函数 y=f(x)的解析式.

练习 1 采用学生口述解题 过程,老师板书示范.

(3) “自主探究、合作交流” 环节
问题 1.回顾研究基本初等函数性质的基本方法和 步骤: (1)先给出函数的定义 (2)作出函数图象 研究函数性质(以下几方面):①定义域②值 域③单调性④奇偶性⑤其他 师生互动 1. 老 师 引 导 学 生 用 描 点法作图,回顾列表、 描点、连线作图,老师 全班巡视,根据需要帮 助后进生. 2.展示学生作品:组内
2

设计意图 1、让学生经历描点法作图,通过动手 操作激发学生的探索兴趣,激发学习新知 的欲望,促使学生进入最佳状态,并在动 手操作的过程中感受到学习数学的乐趣 . 它能有效地帮助学生在兴趣盎然的操作

2. 描点法作 图 : 请 1-4 组 学生画 y ? 2x 和

1 y ? ( ) x 的 图 象 , 5-9 组 学 生 画 y ? 3x 和 2 1 y ? ( ) x 的图象. 3

比较、交流所画图象, 每大组选一个代表上 台展示自己所画图象 像.如发现与 x 轴相交的 图象,应特别拿出分 析.

中,掌握数学规律,获取知识,发展能力.

2、在理解指数函数定义的基础上掌握指 数函数的图象与性质,是本节的重点.关 键在于弄清底数 a 对于函数值变化的影 响 . 对于 a ? 1和0<a ? 1 时函数值变化的 不同情况,学生往往容易混淆,这是教学 中的一个难点.为此,必须利结合图像.学 生在课前准备好的坐标纸里画图,目的是 使学生进一步加深研究一般函数方法的 印象,并为以后通过画图解题,采用数形 结合思想方法打下基础. 3.把图象画成与 x 轴相交是学生易犯的 错误,要把错误控制在萌芽状态. 4.在分析图象与 x 轴无限接近时,联系 “庄子名言:一尺之棰,日取其半,则万 世不竭”,使学生更加容易理解无限接近 之意,适时渗透极限思想.

问题组(一) : 问题 1: 是否所有的指数函数图象形状大致都 如同上述 4 种函数图象呢? 问题 2: 你会按什么标准分类来研究指数函数 图象及其性质? 画面定格在同一系下的 4 个特殊函数图象:

1. 学生观看动画演 示:由一学生上台,利 用几何画板动态演示, 当底数 a 连续变化时, 指数函数的图象变化 情况.

1 1 y ? 2x , y ? ( ) x , y ? 3x , y ? ( ) x 3 2
思考如下问题组(二) : 问题 3:图象分别位于哪几个象限?与 x 轴的 相对位置关系如何? 问题 4:图象中有哪些特殊的点? 问题 5:图象在 y 轴左、右两侧的分布情况如 何?

2.边观看动画演示,边 自主思考、组内合作探 究、派代表汇报结果, 师生共同完成黑板上 2. 指数函数是学完函数概念及基本性质 的表格. 之后研究的第一个重要的基本函数,让学 生学会研究一个新的具体函数的方法更 重要.
3. 让学生自主动手展示自己制作的几何

1.函数图象是函数的灵魂,是讨论函数性 质的重要载体 .图象作为一种数学语言具 有其他数学语言无法替代的直观性,这里 借助几何画板强大的作图功能 ,动态展现 图像的变化过程, 使学生能方便地观察 函数图像的形状、位置随底数 a 的变化而 变化的比较完整的过程,这样可以帮助学 生发现规律,达到突破难点与提高学习效 率的目的.

画板课件,让几何画板成为学生研究数学 的有力工具,同时也渗透了“实践-认识 -再实践-再认识”的辩证唯物主义观 点. 思考如下问题组(三) 问题 6:就单个指数函数图象而言,它具有对 称性吗?
x 问题 7:分别比较函数 y ? 2 与 y ? ( ) ,
x

1 2

边观看动画演示,自主 1.有比较才有鉴别,问题 6,7 分别从横 思考、组内合作探究、 向、纵向两个方面引导学生观察图象、进 派代表汇报结果. 一步探究指数函数性质,为下节课性质的 初步应用打好基础.
3

1 它们各有何位置关 y ? 3x 与 y ? ( ) x 的图象, 3
系?一般结论是什么? 问题 8:分别比较函数 y ? 3x 与 y ? ( ) ,
x

1 2

1 y ? 2x 与 y ? ( ) x 的图象,它们相对于坐标 3
轴的位置各有何特点? (在第一象限内: 底大图高, 即底数越大图象 越靠近 y 轴.)

2. 指数函数性质的总结利用了归纳的思 想方法,由具体到一般是解决一些问题的 常用方法.引导学生从不同角度观察思考 问题,领会归纳演绎等数学想方法, 以培养 学生发现问题、解决问题能力,把学习知 识与培养能力结合起来. 3. 性质是对图象的理论刻画,图象是对 性质的直观反映,这里逐条设置的对图象 特点的概括都对应对指数函数不同的性 质.

附加图象特征和函数性质对比说明:
图象特征 (1)图象都位于 x 轴上方; (2)图象交于点(0,1); (3)从左向右看, a ? 1 时,图象呈上升趋势; 函数性质 (1) 对x ? R,y ? 0 ; (2) x ? 0时,y ? 1 ; (3) a ? 1 时,是增函数; 0 ? a ? 1 时,是减函

数; 0 ? a ? 1 时,图象呈下降趋势; (4) a ? 1 时,图象在第一象限内部分都在直线 y=1 的上方, 第二象限内部分都在直线 y=1 的下方

0 ? a ? 1 时,图 象 在第一象限内部分都在直线
y=1 的下方 方; (5) 就单个指数函数图象而言, 它既不关于 y 轴对 称,也不关于原点对称. 第二象限内部分都在直线 y=1 的上

(4) a ? 1 时, ?

? x ? 0, y ? 1 ? x ? 0, 0 ? y ? 1

? x ? 0, 0 ? y ? 1 0 ? a ? 1 时, ? ; ? x ? 0, y ? 1
(5)指数函数既不是奇函数也不是偶函数.

(4) “理论迁移、初步应用” 环节
问题 例 1. 比较下列各题中两个值的大小: 师生互动 1. 引 导 学 生 观 察 ( 1 ) (2) ,不难发现,两个 幂同底不同指,可以作 某一指数函数两个不 同的函数值,再利用函 数单调性来比较。 2.对于例 1,学生先自 主思考,再在老师启发 下完成分析过程,然后 阅读教材规范的解题 过程. 设计意图 1. 例 1 可采用不同方法解决,如直接用 计算器计算,但应用函数单调性判断大小 关系的意义在于使学生形成用函数观点 解决问题.构造指数函数来比较两个幂的 大小是指数函数的一个典型应用,这里涉 及到用函数思想来解决问题,并让学生体 会数形结合方法的好处,进一步加深对指 数函数图像的理解. 2.让学生掌握如下解题方法:当底同指不 同时,构造一个指数函数即可,当底和指 都不同时,可以借助中间量进行比较,这

(1)1.72.5 ,1.73 ; (3)1.70.3 , 0.93.1 ;

(2)0.8?0.1 , 0.80.2 ; (4)4.54.1 ,3.73.6

.

4

个中间量往往是 0 和 1. 3、例 1 的第(4)问是补充的,可借助中 3.6 间量 4.5 进行比较, 目的在于训练学生 克服思维定势,满足不同层次学生的要 求.

(5) “巩固练习、深化反馈” 环节
问题 练习 2. 《自主学习册.必 修 1. 训练案 1》P17 页 3.如图是指数函数① 学生自主完成. 喊 1 个学生上讲台分析 讲解练习 1; 对于练习 2,喊一个学 生上讲台,利用实物投 影仪展示并解说自己 的解题过程.
m

师生互动

设计意图 1. 引导学生利用指数函数单调性即可解 决,使学生在解题过程中加深对指数函数图 象分布规律的理解.
2. 对于练习3,不仅复习了作商法比大小,

y ? a x , ② y ? b x ,③ y ? c x ,④ y ? d x 的图象,则正数
a, b, c, d 与 1 的大小关系为(
A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d
m n

)

B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c
n

而且巩固了指数函数函数值的分布规律,估 计有同学忘记对参数 m,n 大小关系进行讨 论,是个易错点,在此应重点强调,适时渗 透分类讨论思想.
3. 让学生上讲台,训练学生的数学表达能

练习 3.设 a ? 0.9 ? 0.8 , b ? 0.9 ? 0.8 , 其中 m,n 为实数,试比较 a 与 b 的大小.

力,培养学生的胆量、口才.

对第六个环节“释疑解惑、反思提高” ,具体教学设计如下:
问题 1. 展示学生在预习过程中提出的比较有 代表性的 3 个问题.(见课件) 问题 1(熊思宇): y ? 4 是指数函数吗?
3x

师生互动 学生讨论、回 答. 老师适时点 拨.

设计意图 “学起于思,思源于疑”,我将他们提出的比较有代表性 的原始问题拿到课堂进行探讨, 一方面是对学生的尊重, 另 一方面是表扬提问的学生, 鼓励学生多提问, 主动大胆质疑, 唤起学生的创新意识.爱因斯坦曾经说过:“提出一个问题 比解决一个问题更重要.”世界上许多创造都源于“质疑”, “质疑”是开启创新之门的钥匙.

y ? 43 x ?1 呢?
问题 2(余博涛):当 x ? 0 时,一定有

5

2 x ? x 2 吗?
问题 3(达毅婷):指数函数图象为何不与 x 轴相交? 2.老师问:就本节课的内容,你还有什么疑 问?

对第七个环节“归纳小结、提炼升华” ,具体教学设计如下:
问题 通过本节课的学习: (1)你学到了哪些知识? (2)你掌握了哪些数学解 题方法? (3)你用到了哪些数学思 想方法? 学生构建知识框架,于是我设置了学生课堂自主小结. 师生互动 学生自主小结,相互补充. 设计意图 课堂小结是对一节课的简要归结, 是对学习过程的归纳反 思,是从总体上对知识的把握,它是对“教”的一种回顾, 对“学”的一种深化.及时小结可以发挥近因效应,有助于

对第八个环节“课外探究、分层落实” ,具体教学设计如下:
问题 作业布置: 必做题: ① 《自主学习册.必修 1. 训练案 1》 第 3 课时 I 类题; ②请每个学习小组利用网络或结合 生活实际找寻有关指数函数应用的 实例 2 个,下节课展示. 选作题: 《自主学习册.必修 1. 训 练案 1》第 3 课时 II 类题、III 类 题. 围绕提高学习效率, 减轻学生负担这一核心, 结合教材练习习题、 相关高考题编制而成,每个课时都是顶格设计、学生有选择性的 分层完成. 《自主学习册》 对于学生学习的基础落实和能力培养都 有很好的督促作用,因此,我选择了其中的课时练习来作为学生 师生互动
学生独立 思考、自 主完成.

设计意图 1.华罗庚曾说过, “学数学如果不做习题, 就等于入宝山而空返” , 而设计有针对性的好练习则成为必要,《自主学习册》是我校在 现代教育实验学校建设过程中的一大研究成果,是我们数学教研 组的集体智慧结晶,它是各位数学老师在教研组长带领下,从学 生实际出发,遵循因材施教、学思结合、知行统一的育人原则,

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巩固所学、提升能力的作业. 2.设计必做题和选作题,意在既巩固所学知识,又给学有余力的 学生以更大的发展空间,体现了因材施教的原则. 3.布置网络作业,充分利用网络平台挖掘优质学习资源,不仅让 学生体会到指数(型)函数应用之广泛,而且培养了学生的信息 素养.

第二课时:指数函数性质的初步应用 (一)教学流程 温故知新 → 小试牛刀 → 释疑解惑 → 生活应用 → 小结与布置作业 (二)每个环节的具体教学设计 (1) “温故知新”环节.
问题 指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象和性质: 师生互动 课前发给学生表 格,自主填写. 设计意图 复习巩固,唤起学生对前一 节课所学知识的回忆,为本 节课问题的顺利解决作准 备,承上启下.

0 ? a ?1
图象

a ?1

定义域 值域 性质 1.单调性 2.过定点性 3.函数值的变化 4 .奇偶性

(2) “小试牛刀”环节.
问题 例1. 函数 f ( x) ? a x ?2 ? 1 (a ? 0, 且 a ? 1) 的图象 恒过定点( ).A. (0,1) B. (0, 2) C. (2,1) D. (2, 2) 师生互动 学生经历猜想、思 考、验证等过程. 当参数 a 变化时, 老师通过几何画板 动态演示验证.
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设计意图 例 1 考查学生对指数函数过 定点的性质的运用.

例 2.解不等式: a

2 x ?7

? a 4 x ?1. (教材 60 页 第一题)

例 2 引导学生利用指数函数

单调性解决,同时培养学生 的分类讨论意识.

(3) “释疑解惑”环节.
设计意图 1. 这是一道求有关指数函数合 从一道作业题谈起: 《自主学习册.必修 观察动画演示,探究变换作图的一般规 型函数定义域、 值域问题, 属于 1. 训练案 1》 第 3 课时 II 类题 第 7 题: 律,在老师引导下通过图形变换作图, 基础题型,但根据作业批改情 求下列函数的定义域和值域: ( 3 ) 并通过实物投影仪展示学生作品. 况, 大部分学生不能全部做对本 x 题, 特别是求值域错得多, 老师 y ? 2 ? 1 (学生大部分是利用基本函 有必要及时讲解. 数的值域,分步求得结果.) 通过几何画板动态演示,学生不难看出 设问:能否画出其图像,利用图像法求 2.让学生犯错或遇挫, 引发认知 其位置关系,共同总结一般规律: 值域呢?由此引入例 3. 冲突, 这样老师能针对不同的错
x 例 3 画出 y ? 2 ? 1 的大致图象.
王新敞
奎屯 新疆

问题

师生互动

(1)平移变换:将函数 y ? f ( x ) 的图 象向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 a

法一:化成分段函数作图. 法二:图象变换来作图. ★变式练习 1:已知关于 x 的方程

2 x ? 1 ? 2m ? 1 有实根, 求实数 m 的取 个单位,即得函数 y ? f ( x ? a ) 的图
值范围. (通过几何画板动态演示 m 的取值对 图像交点个数的影响.) 象 ; 将 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 向 上

误, 有的放矢进行剖析, 把学生 的个体差异变成一种教学资源, 学生就会积极参与到学习中去, 更有利于知识的掌握. 3.渗透整体思想和数换元法, 加 深对基本指数函数图象的印象, 培养学生做到“心中有图”.

4.问题是数学的心脏,数学课 堂教学应从问题开始, 精心设计 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 a 个单位, 问题情境, 便于学生从中挖掘一 般规律. 即得函数 y ? f ( x ) ? a 的图象; 5. 通过化成分段函数和函数的 (2)对称变换:只保留 y ? f ( x ) 在 y 轴 奇偶性方面来理论解释为何可 以通过对称变换,联系前面所 右侧的图象,并将其关于 y 轴翻折至 y 学,同时渗透分类讨论思想. 轴左侧,一起构成 y ? f ( x ) 的图象; 6. 通过几何画板动态演示, 学 保留 y ? f ( x ) 在 x 轴上方的图像,并 生更容易发现隐藏于特殊现象 的一般规律. 将其在 x 轴下方的图像关于 x 轴翻折至 x 轴上方,一起构成 y ? f ( x ) 的图象. 7.动手作图, 加深对规律的理解 与应用,培养学生的作图能力, 特别强调渐进线的参照作用, 这 是易忽略之处. 8.对于变式练习 1,通过构造两 个不同的函数, 转化成利用图像 的交点个数来解决, 强调数形结 合思想,培养学生用图的能力.

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(4)“生活应用”环节.
问题 师生互动

设计意图 1.例 3 实际上是第三章 3.2.2 节 【环节一】 :从一道教材例题谈起: 中的一个例 4,都属于人口问题, 动脑 原题呈现:<教材 P57 例 8> 截止到 1999 年底,我国人口约为 1.阅读材料, 将其整合在一起, 更符合学生的 动手演算 , 13 亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%, 那么经过 20 思考, 认知规律. 观看演示. 年后,我国人口数量最多为多少(精确到亿)? 2. 指数函数模型与我们的日常 学生不难通过列式逐年计算每年人口来找规律,发现 20 后, 生产、 生活和科学研究有着紧密 20 的联系,尤其体现在细胞分裂、 (即 2019 年底)人口最多为 13 ?1.01 ? 16 亿. 贷款利率的计算、股市的涨跌、 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,如果不控制人 2.每班正好 9 个学 人口增长、生物体内 14 的衰变 习小组, 请每个组 等规律研究方面.涉及到指数型 口,自然状态下的人口增长模型到底怎样?请阅读以下材料: 使用科学计算器 函数模型的实际运用, 让学生熟 材料 1 两个世纪以前, 英国经济学家马尔萨斯 (Thomas 求一个年增长率, 悉这一模型, 为学下一章 《函数 再一起求其平均 的应用》打下坚实基础. Malthus)指出, 中国历史上的人口增长是一种没有节制的自然 值、 写出具体函数 3. 应用题的教学是培养学生分 增长,它将导致粮食的短缺、生存条件的恶化和人民的贫困. 模型. 析问题、 解决问题能力的最好手 段, 要让学生身临其境, 努力使 马尔萨斯认为:由于一对夫妻在生育没有控制时不止生两个子 学生多动脑、 动笔, 要学生感受 女,人口将以几何级数增长;而土地面积的扩大和农作物产量 到数学即来源于生活, 又必将服 务生活、 体会数学在实际问题中 的提高都是缓慢和有限的,粮食只能以算术级数增长.因此,一 的应用价值、 体验函数是描述客 个社会要避免粮食和人口关系的危机,只有抑制人口的增长. 观世界变化规律的基本数学模 型. 在马尔萨斯看来,17 至 18 世纪西欧人通过晚婚和独身对婚姻 4. 学生对函数应用题常常会产 进行了限制,减缓了人口的生育,形成了从人口体系内部来对 生恐惧感, 如果能提高兴趣, 他 们做应用题可以克服这种恐惧 人口增长的自愿的、有道德的“预防性抑制”(Preventive 感.因此在教学中,对应用题的 check) ;而中国不仅存在着没有限制的婚姻,而且还存在着没 背景要作说明, 教师要收集一些 材料作进一步地补充, 来提高学 有节制的生育,因此,对中国人口增长的抑制主要是来自于人 生学习的热情, 激发他们的求知 口体系外部非自愿的、罪恶性的“现实性抑制”,例如战争、饥 欲望. 5.让学生了解人口增长的马尔萨 荒和传染病. 斯函数模型,学会探索函数的模 材料 2 早在 1798 年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自 型以及检验模型,培养他们的科 rt 学探究态度和理性思维能力.同时, 然状态下的人口增长模型:y ? y0e , 其中 t 表示经过的时间, ,适时挖掘教材中的人文教育因素, yo 表示 t ? 0 时的人口人数,r 表示人口年平均增长率. 生进行思想教育, 让学生知道我国控 口的重要性, 知晓我国实行计划生育 材料 3 下表是我国 1950——1959 年的人口数据资料: 要性,积极拥护基本国策. 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 年份 6. 关于人口增长的马尔萨斯函 数模型应用的例子加以改造、 补 5.519 5.630 5.748 5.879 6.026 6.1456 6.282 6.456 6.599 6.720 人数 充, 更好地提出了分层次的四个 学生 0 2 6 6 8 3 4 问题, 7 这样就分散了难点, (亿) 6 探究就比较轻松. 例 4.阅读上面材料 1、2、3、请解决下面几个问题.(1)用

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计算器计算: 在材料 3 中, 以 1950 年为基数, 从 1951 年到 1959 年求出这 9 年的各年人口增长率的平均值 r?(精确到 0.0001) (答案:约为 2.21%) (2) 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期人口增 长率 (精确到 0.0001) ,建立我国这一时期的马尔萨斯人口增长 函数模型. (3)如果按照上表中的增长趋势, 根据图象预测, 大约在哪一年 我国的人口数达到 13 亿? (4)如果按照上表中的增长趋势, 请计算 1950 年至 2010 年期 间,每隔 10 年相应的人口数各是多少,你有何感想?(考虑到 学生没学对数,只要求通过看图估计即可). 【环节二】小组展示网络搜集的指数(型)函数模型展示. 3. 学 生 自 主 展 示 各组所收集的指 数型函数模型应 用实例. 7.学生通过利用网络搜集资料, 不仅可体会到指数 (型) 函数应 用之广泛, 而且提高了自己的信 息素养.

(5)“小结与布置作业” 环节.
问题 1.通过本节课的学习: (1) 你学到了哪些数学规律? (2) 你掌握了哪些数学解题方 法? (3) 你用到了哪些数学思想方 法? 学生自主小结,相互 补充 师生互动 设计意图 引导学生从总体上对知识的把握 , 对新知识是一次很重要的记忆和理 解,有助于学生构建知识框架.

2.作业布置: (1)必做题:《自主学习册. 必修 1. 训练案 1》 第 2 课时 I 类题 (2)选作题: 《自主学习册. 必修 1. 训练案 1》第 2 课 时 II 类题、III 类题.

学生独立思考、 自主完成.

拓展延伸,巩固所学、提升能力. 分层布置作业,意在既巩固所学知 识,又给学有余力的学生以更大的 发展空间, 体现了因材施教的原则.

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三、教学资源整合与运用说明: 在资源整合与运用方面,本节设计有以下6大创新之处: 创新之一:巧妙创设课题情境 建构主义认为:活动是第一位的,在做数学中学数学 .因此,在第一课时,我设置了 折纸活动来导入新课, 引导学生从特殊到一般归纳出指数函数概念,从而激发学生的学习 兴趣,让学生体会到数学来源于生活实际,为学生架起一条“从生活走向知识”的桥梁, 帮助学生从特殊到一般、从感性认识到抽象思维过渡. 创新之二:灵活运用教材资源 叶圣陶老先生说过:“要教得好,使学生受益,还要靠教师善于运用”,因此,我对 教材资源进行了如下合理整合. 1、拓展例题,提升能力 比如第一课时的例 1, 为了强调中间量法和满足不同层次学生的要求, 我在原有基础上 增设了(4) ,引导学生克服思维定势,寻找中间量“ 4.53.6 ” ,或“ 3.7 4.1 ”解决,着眼培 养学生思维的灵活性及应变能力,进而培育学生的创新精神、创新能力与创新人格. 2、典型习题例题化 比如第二课时的例 2,来源于教材习题,引导学生利用指数函数单调性来解决,使学生 进一步加深对指数函数性质的理解. 比如第二课时的例 3,来源于自主学习册中的习题,目的是通过此例的学习,使学生掌 握利用变换法作图.先让让学生犯错或遇挫,引发认知冲突,把学生的个体差异变成一种 教学资源,学生就会积极参与到学习中去,更有利于知识的掌握. 3、变式教学,创新培养 马登认为:教学设计中离不开对问题的设计,为充分发挥问题变式的作用,教学中就 要适度重视“变式教学”. 因此,在第二课时学完例 3 后,我设置了变式练习 2,引导学生 通过构造两个函数图象来解决,着眼培养学生思维的灵活性与广阔性,进而培养创新能 力. 4、回归生活,学以致用 应用题的教学是培养学生分析问题、解决问题能力的最好手段,要让学生身临其境, 努力使学生多动脑、动笔,要学生感受到数学即来源于生活,又必将服务生活、体会数 学在实际问题中的应用价值、 体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型. 但是学 生对函数应用题常常会产生恐惧感,因此,我将教材第三章例 4 和本节教材中的例 8 加 以整合、改造,更好地分层次提出了四个问题,分散了难点,更有利于学生探究.学生通 过建立马尔萨斯模型,深刻体验到数学的应用价值. 创新之三:优化课堂教学方法 1、主动实践,合作探究 现代教育实验学校建设倡导学生的自主合作探究学习模式, 我们年级每一个班的座位 都排成 “互动探究式” , 学生平时的学习也都按学习小组形式进行.在第一课时指数函数图 象、性质探究教学过程中,我坚持以学生为主体,学生思维为主线,让学生经历描点画 图、分组展示、动态演示、图形观察、合作探究、成果分享等过程,体现了学生学习的 主体性,有利于学生养成自主、合作、探究的学习习惯.
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2、对比学习,把握本质 对比和类比是非常好的学习方式,有助于学生把握新知和构建知识体系 .因此,在学 生通过指数函数图象挖掘指数函数性质时,我设计了一个表格,让学生通过将图象特征 与函数性质逐条对比,深刻体会到函数图象是研究函数性质的重要载体,性质是图象的 理论刻画,二者相辅相成. 3、提炼规律,寓教于乐 新课标指出: “学生的数学学习活动,应该是一个生动活泼的过程”.为了打造出充满 活力的高效课堂,我在引导学生寻求规律来掌握指数函数图象及性质时,借助“顺口溜” 通俗易懂的语言特性,成功活跃课堂气氛,提高学生兴趣. 4、鼓励质疑,自主释疑 爱因斯坦曾经说过: “提出一个问题比解决一个问题更重要.” 我将学生在预习过程中提 出的比较有代表性的问题拿到课堂进行探讨,一方面是对学生的尊重,另一方面是表扬 提问的学生,鼓励学生主动大胆质疑,主动释疑,相互学习,从而唤起学生的创新意识. 5、自主小结、构建体系 课堂小结是对一节课的简要归结,是对学习过程的归纳反思,是从总体上对知识的把 握,它是对“教”的一种回顾,对“学”的一种深化.在自主小结环节,我通过引导学生从 数学规律、解题方法、数学思想三个层面交流一节课的收获,有利于学生知识体系的构 建. 创新之四:运用现代教学手段 1、运用数学软件,探究数学问题 本设计中多处借助几何画板强大的作图功能,将数学知识的呈现更直观.比如在第一课 时探究指数函数图象及性质时,学生上台利用几何画板动态展示指数函数图象随底数 a 的变化过程,有助于学生从特殊到一般把握指数函数图象特点.又如第二课时的例 3,老 师通过动态演示图象的变换过程,帮助学生发现并掌握其中的变换规律,从而更好地运 用图象法解决问题. 2、借助现代手段,反馈即时信息 在本设计中,师生多次借助实物投影仪展示学生的作品,如学生的描点画图作品、课 堂练习解答和预习过程中的“疑惑摘要”典型问题,小组通过交流解法、分享成果,达 到及时反馈学生认知水平、进一步提高课堂效率的目的. 3、借助现代手段,高效处理数据 在解决人口问题时,学生借助科学计算器快速处理数据,为马尔萨斯人口模型的建立 打下基础,与高效课堂理念相吻合. 4、利用网络平台,拓展数学视野 学完第一课时后,我让学生利用网络搜集有关指数函数应用的资料,不仅使学生体会 到指数(型)函数应用之广泛,而且提高了学生的信息素养. 创新之五:渗透数学思想方法

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J.S 布鲁纳指出:领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路” .因此,我将多 种数学思想贯穿于本设计中的各个环节. 比如第一课时的例 1 和第二课时的变式练习 1, 我引导学生通过构造指数函数图象来解决, 及时渗透数形结合的思想. 又比如第二课时例 2,我引导学生利用指数函数单调性来解不等式,适时渗透分类讨论思想. 分类讨论的思想: 创新之六:培养学生人文素养 新课标指出, “高中数学课程提倡体现数学的文化价值”,因此,我适时挖掘教材中的 人文教育因素.比如在探究 x 轴为指数函数图象的渐近线时, 我联系庄子名言: “一尺之棰, 日取其半,则万世不竭” ,使学生容易理解无限接近之意,使课堂显得更有人情味、更具 趣味性;又比如在马尔萨斯人口增长模型问题中,我增加了有关马尔萨斯的相关背景资 料, 通过让学生了解科学家马尔萨斯,培养学生的科学人文精神和理性探究精神,达到 “挖掘潜能、完善人格”的目的需求.同时,我适时对学生进行思想教育,让学生知晓我国 实行计划生育的重要性,从而自觉拥护基本国策.

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