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求函数的值域的方法大全


求函数值域方法大全
(一) 、最值与值域的高考地位 传统高考数学中的应用题中凡涉及到利润最大(或最小) , 最少的人力、物力等,均可归结于最值与值域的求解;当今高考 数学中的求字母参数的取值范围问题很大一部分归结于最值与 值域的求解 通过求函数的最值与值域可大大的加深对一些数学思想的 领会,提高运用数学思想解题的能力。 (二) 、最值与值域的关系 1、有的函数知道值域就可以求最值 如:函数 y ? x 2 的值域是 ?y | y ? 0? ,可知 ymin ? 0 2、有的函数知道最值就可以求值域 3、有的函数有值域但无最值 如:函数 y ? 的值域是 ?y | y ? 0?,但 ymin ? 无 , ymax ? 无 4、有的函数有最大值但无最小值 如:函数 y ? ? x 2 , ymax ? 0 ,但 ymin ? 无 5、有的函数有最小值但无最大值 如:函数 y ? ?
2 1? x2 1 x

, ymin ? ?2 ,但 ymax ? 无

6、值域有可能是一个数,也可能是几个数构成的集合,但大多 是一个不等式构成的集合 如:常数函数 f ( x) ? 2 的值域是 ?2?

1

7、求最值与值域的方法大同小异 8、在由值域确定函数的最值时,需注意等号成立的条件下才能 取到。 如:已知值域 ?y | ?3 ? y ? 1?,只有 ymin ? ?3 ,而 ymax ? 无 9、最值存在定理:连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小 值 (三) 、基本初等函数的定义域与值域 函数名 一次函数 函数解析式
y ? kx ? b(k ? 0)

定义域 R

值域 R
a ? 0 时, { y | y ?

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

R

4ac ? b 2 } 4a

4ac ? b 2 a ? 0 时, { y | y ? } 4a
{ y | y ? 0}

反比例数 指数函数 对数函数 正弦函数 余弦函数 正切函数

y?

k ( k ? 0) x

{x | x ? 0}

y ? a x (0 ? a ? 1) y ? loga x(0 ? a ? 1)
y ? sin x
y ? cos x

R
{x | x ? 0}

{ y | y ? 0}

R 【-1,1】 【-1,1】
?
2 (k ? Z )} R

R R
{x | x ? k? ?

y ? tan x

(四) 、函数的最值与值域的求解技巧 即是求函数值的集合或是找到的 y 的不等式出来 (以后者为重)
2

如:已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 , x ? ?0,1,2,3,5?则此函数的值域是( A、 ?9,1,2,3,5?;B、 ?? 1,1,3? ;C、 ?9,1,?1,3,5? ;D、 ?x | ?1 ? x ? 9? 法(一) :观察法 【及时反馈】 1、函数 f ( x) ? 2 x ? 1 的值域是( )



A、 (??,?1) ;B、 [1,??) ;C、R;D、 (?1,??) 法(二) :反函数法 ⅰ、理论依据:巧妙根据原函数与它的反函数的定义域、值域的 互调性,如下表所示: 定义域 原函数 y ?
f ( x)

值域 C A

A C

反函数 y ? f ?1 ( x)

由上表知,求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤( “三步曲” ) ①求 x ? ?( y) ;②x、y 互换;③通过求原函数的值域得出反函数 的定义域 【及时反馈】 (1) 、求函数 f ( x) ? (2) 、求函数
2x ? 4 的值域 x ?1 3x f ( x) ? 的值域 5x ? 4

法(三) :分离变量法 常用于求形如 f ( x) ?
ax ? b (ac ? 0) 的函数的值域 cx ? d
3

求解技巧: “分子对分母说,我要变成你” ,即把 量+
常量 cx ? d

f ( x) 化成“常

”的形式来。

【及时反馈】 (1) 、求函数 f ( x) ? (2) 、求函数
2x ? 4 的值域 x ?1 3x f ( x) ? 的值域 5x ? 4

通过以上两题的值域的求解,你发现了什么? (形如 f ( x) ?
ax ? b a? ? (ac ? 0) 的函数的值域是 ? y | y ? ? ) cx ? d c? ?

(3) 、已知函数

3 ? a2x 1? f ( x) ? 的值域是 ? ? y | y ? ? ? ,则 2x ? 1 2? ?

a 的值是

法(四) :基本不等式法 若 a>0,b>0,则 a ? b ? 2 ab , 【及时反馈】 (1)、若 a、b 是正数且 a ? b ? 3 ? ab ,则 ab、a+b 的取值范围分别 是 (2) 、已知实数 m、n 满足
m2 ? n2 mn>0,则 mn
ab ? ( a?b 2 ) 2

的值( )

A、有最小值但没有最大值;B、有最大值但没有最小值; C、既有最大值也有最大值;D、没有最大值也没有最小值; ①y?
b k ? x2

型,可直接用不等式性质,

【及时反馈】
3 3 的值域(答: (0, ] ) 2 2 2? x bx ②y? 2 型,先化简,再用均值不等式, x ? mx ? n

求y?

4

【及时反馈】 (2)求函数 y ? ③y?
1 x?2 的值域(答: [0, ] ) 2 x?3

x 2 ? m?x ? n? 型,可用判别式法或均值不等式法, mx ? n

x2 ? x ? 1 【及时反馈】求 y ? 的值域(答: (??, ?3] ? [1, ??) ) x ?1

在使用均值不等式求函数的最值与值域时注意: “一正二定三 相等,和定积最大,积定和最小”这 17 字方针 法(五) :配方法 常用于二次型函数 y ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c(a ? 0) 的最值与值域的求解。 配方步骤: 1、把二次项系数化为 1; 2、在一次项之后加上又同时减去一次项的一半的平方; 3、把前三项凑成完全平方式。 (一) 、不带限制条件的二次型函数的最值与值域的求解
b 2 4ac ? b 2 技巧 1:通过配方后得到 y ? a( x ? ) ? 2a 4a

当 a ? 0 时, y min

? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? ;值域是 ? ,?? ? ? 4a ? 4a ? ? 4ac ? b 2 4ac ? b 2 ? ;值域是 ? ? ? , ? ? 4a 4a ? ?

当 a ? 0 时, y max ?

技巧 2:求出对称轴,然后把对称轴带入原函数即得 【及时反馈】
5

(1) 、求函数 y ? x 2 ? x ? 1的最值与值域。 (2) 、求函数 y ? ? 函数的图像) 。 (3) 、求函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 8 的最值与值域。
x2 ? x (4) 、求函数 y ? 2 的最值与值域。 (提示:分离变量后 x ? x ?1
1 2 x ? 2 x ? 1 的最值与值域(要求配方后作出 3

1 ? 用配方法,当然还可以用判别式法处理本题。答案: ? ?? ,1? ) ? 3 ?

(二) 、带有限制条件二次型函数的最值与值域的求解有两类: 1、是求具体函数(即不含字母参数的)在闭区间 [m, n] 上的最 值与值域; 技巧 1:通过配方后画出图形,由数形结合即可求解 带有限制条件的二次函数图像的画法须注意以下几 点: ①对称轴;②开口;③顶点;④与坐标轴的交点 注意:先画全图,后根据定义域加以取舍。 技巧 2:可不画图求出对称轴,看对称轴与区间的位置关系 若对称轴包含在区间内,则把端点及对称轴处的函数值 全求出来加以比较,最大者为最大值,最小者为最小值。 若对称轴在区间外,则只需把端点处的函数值求出来即 可最大者为最大值,最小者为最小值。 【及时反馈】 (1) 、求函数 y ? x 2 ? x ? 1( x ? 0) 的最值与值域。
6

(2) 、求函数 y ? x2 ? 2x ? 5, x ?[?1, 2] 的值域(答:[4,8]) ; (3) 、求函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 在如下区间中的的最值与值域。 ⅰ、 (?4,?2] ;ⅱ、 (?1,2] ;ⅲ、 (3,5) ;ⅳ、 (??,??) (4) 、求函数 y ? sin x ? cos2 x 的最值与值域。 (提示:先转化为 带有限制条件的二次型函数的最值与值域的求解) (5) 、若
1 x ? x ? 9 ,则函数 f ( x) ? log 3 ? log 3 (3x) ( ) 27 27 32 A、有最小值 ? ,最大值-3;B、有最小值 ? 4 ,最大值 12; 9 32 C、有最小值 ? ,无最大值;D、无最小值,有最大值 12; 9

2、是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题(即含字母参 数的) 。此时要分“轴在区间左;轴在区间右;轴在区间内”三 种情况加以讨论 【及时反馈】 (1) 、当 x ? (0,2] 时,函数 f ( x) ? ax2 ? 4(a ? 1) x ? 3 在 x ? 2 时取得最 大值,则 a 的取值范围是___(答: a ? ? ) ; (2) 、分别根据下列条件,求实数 a 的值: ⅰ、函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ? a 在区间 ?0,1? 上有最大值 2; (答案:a=-1 或 2) ⅱ、函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 在区间 ?? 3,2? 上有最大值 4; (答案:a=-3 或 ) ⅲ、函数 f ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 在区间 ? ?? (答案:a= 或 ? )
1 2 3 8 1 2

3 ? ,2 上有最大值 ? 2 ? ?

3;

2 3

7

(3) 、求函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2ax ? 1 ? a 在区间 ?0,1? 上的最大值。 小结:求二次函数的最值与值域问题,勿忘数形结合,注 意“两看” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关 系。 法(六) :换元法 通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数, 其函数特征一般是函数解析式含有根式或三角函数公式模型 代数换元法 【及时反馈】 1、 (1) 、求函数 y ? x ? x ? 1 的最值与值域。 解: y ? x ? x ? 1 ? ( x ? 1) ? x ? 1 ? 1 令 x ? 1 ? t (运用换元法时,要特别要注意新元 t 的范围) , 易知 t ? 0(why ?) 所以 x ? 1 ? t 2 ,所以 y ? t 2 ? t ? 1(t ? 0) ,欲求原函数的值域,只需求 ) 。 y ? t 2 ? t ? 1(t ? 0) 的最值与值域即可(解法同上面的【及时反馈】 (2) 、求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的最值与值域。 (答案: ? ? ? ?,
? 1? ) 2? ?

2、 y ? 2sin 2 x ? 3cos x ?1的值域为_____(答: [?4,

17 ]) ; 8

3、 y ? 2x ?1? x ?1 的值域为_____(答:(3, ??) ) (令 x ?1 ? t ,t ? 0 。 运用换元法时,要特别要注意新元 t 的范围) ; 4、 y ? sin ? ? cos? ? sin ? cos? 的值域为____(答: [?1, 5、求函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 4 x ? 2 x 2 ? 14 的最值与值域。
1 ? 2] ) ; 2

8

三角换元法 【及时反馈】

思考:此题同上面的【及时反馈 5】 )有何区别与联系? 解:定义域优先考虑: 由1? x2 ? 0 得 ?1 ? x ? 1 联想到 三角函数中的 sin ? , cos? 的范围

不就也是 ? 1 ? sin ? , cos? ? 1吗?所以令 cos ? ? x ,其中 x ? ?0, ? ?(why ?) , 则 1 ? x 2 ? 1 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ?| sin ? |? sin ? ( why ?) 所 以 求 函 数 y ? x ? 1? x2 的 最 值 与 值 域 问 题 就 转 化 为 求 函 数 (下略) y ? sin ? ? cos? ,? ? ?0, ? ?最值与值域。

(1 ) 、求函数 y ? x ? 1 ? x 2 的最值与值域。
2 2 (2 ) 、已知变量 x, y 满足 x ? y ? 1 ,求 3x ? 4 y 的最值。

(3 ) 、已知变量 x, y 满足16x2 ? 25y2 ? 400,求 3x ? 4 y 的最值。 (4 ) 、已知 x ? (0,1), ab ? 0 ,则 f ( x) ? A、(a ? b) 2 B、(a ? b) 2
a2 b2 ? x 1? x

的最小值为(

)

C、a 2 ? b 2

D、2( a 2 ? b 2 )

(5) y ? x ? 4 ? 9 ? x2 的值域为____(答: [1,3 2 ? 4] ) ; 法(七) :单调性法 若函数 f ( x) 在区间 ?a, b? 内单调递增,则 ymin ? f (a) , ymax ? f (b) ; 若函数 f ( x) 在区间 ?a, b? 内单调递减,则 ymin ? f (b) , ymax ? f (a) ; 【及时反馈】 1、求函数 y ? x ? x ? 1 的最值与值域。 易知此函数的定义域为 ?1,??? ,而在此区间内函数递增,
9

故当 xmin ? 1 时, ymin ? f (1) ? 1 。
1? 2、求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的最值与值域。 (答案: ? ? ? ?, ? ) ? 2?

3、求函数 y ? x ?

1 (1 ? x ? 9) 的最值与值域。 x

法(八) :判别式法 对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这 类题型有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法 上, 也可先通过部分分式后, 再利用均值不等式。 如y? 型,通常用判别式法 【及时反馈】 (1)求 y ?
x 1 ? x2

x 2 ? m?x ? n? x 2 ? mx ? n

的值域。
?x?2 的最值与值域。 x ? x ?1
2

(2) 、求函数 y ? 2 x2

解 : 易 知 定 义 域 为 R , 由
( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? ( y ? 2) ? 0

y?

2x2 ? x ? 2 x2 ? x ? 1

变 形 得

(当二次项系数为字母参数时注意对其分等于 0 和不等于 0 两情 形加以讨论) 当 y ? 2 ? 0 时,即 y=2,方程变为 3x ? 0 ? 0 ,此时 x ? 0 ? R 当
y?2? 0

时 , 即

y?2

, 因 为

x?R

方 程

( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? ( y ? 2) ? 0

恒有实根 又 2 ? ?y | 1 ? y ? 5?

? ? ( y ? 1) 2 ? 4( y ? 2) 2 ? 0
y?

1? y ? 5

2x 2 ? x ? 2 值域为 ?y | 1 ? y ? 5? x ? x ?1
10

(2) 、若函数 y ?

ax ? b 的值域是 [?1,4] ,则 x2 ?1

a,b 的值为

(答:a=±4,b=3,) (3) 、已知函数 y ? log3
mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 x2 ? 1

R,值域为[0,2],

求常数 m, n 的值(答: m ? n ? 5 ) 判别式法的思想意义: “判别式法”这种思想方法巧妙的把 函数、不等式、方程有机的勾结起来,使得函数、不等式、方程 三者互相转化的思想体现得淋漓尽致。 法(九) :导数法 导数是高等数学中的一个极其重要的概念, 是处理很多函 数问题的有力工具,自从高中数学引入了导数,函数问题的处理 思想和方法置于更加广阔的天地之中。 一般适用于高次多项式函 数的最值与值域的求解。 曾记否?用导数求函数的最值与值域的步骤: 【及时反馈】 (1) 、求函数 f ( x) ? 2x3 ? 4x2 ? 40x , x ?[?3,3] 的最小值。 (答:-48) (2) 、 ( 2005 高考贵州卷)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁 皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四 边翻转 90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的 容积最大?最大容积是多少? 解:设容器的高为 x,容器的体积 为 V……………………………1 分

11

则 V=(90-2x) (48-2x)x,(0<x<24) =4x3-276x2+4320x…………………5 分 ∵V′=12 x2-552x+4320……7 分 由 V′=12 x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=36 ∵x<10 时,V′>0,10<x<36 时,V′<0,x>36 时,V′>0, 所当 x=10,V 有极大值 V(10)=1960…………………………………………10 分 V(0)=0,V(24)=0…………………………………11 分
当 x=10, V 有最大值 V(10)=1960…………………12 分

(3) 、 (2008 年高考重庆卷)已知函数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的最大值 为 M,最小值为 m,则
1 4 1 2

m M

的值为(
2 2


3 ; 2

A、 ;B、 ;C、 答案:C

;D

(4) .(2004 年高考贵州-理 22)(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数 f(x)的最大值;
b (Ⅱ)设 0<a<b,证明 0<g(a)+g(b)-2g( a ? )<(b-a)ln2. 2

(5) 、(2005 年高考贵州-理 22)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
4x 2 ? 7 , x ? [0,1]. 2? x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间和值域;
(Ⅱ)设 a ? 1 ,函数
12

g ( x) ? x 3 ? 3a 2 x ? 2a, x ?[0,1].若对于任意 x1 ?[0,1],总存在x0 ?[0,1],

使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 a 的取值范围. . (6) (2011 年江西理 19)设 (1)若
1 1 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax 3 2 .

2 ( ,?? ) f ( x) 在 3 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围;

(2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为 区间上的最大值. 【解析】 (1) 区 间

?

16 3 ,求 f ( x) 在该

2 ( ,?? ) f ( x) 在 3 上存在单调递增区间,即存在某个子

2 (m, n) ? ( ,?? ) 3

使



f ' ( x) ? 0

.



2 1 1 [ ,?? ) f ' ( x ) ? ? x 2 ? x ? 2a ? ?( x ? ) 2 ? ? 2a ' 2 4 , f ( x) 在区间 3 上单调递减,

则只需

1 2 2 2 a?? f '( ) ? 0 f ' ( ) ? ? 2a ? 0 9 3 即可。由 3 9 解得
a?? 1 9



所以,当
'

时,

2 ( ,?? ) f ( x) 在 3 上存在单调递增区间.

(2) 令 f ( x) ? 0 , 得两根

x1 ?

1 ? 1 ? 8a 2



x1 ?

1 ? 1 ? 8a 2



x2 ?

1 ? 1 ? 8a 2

.

所以 f ( x) 在 (??, x1 ) , ( x2 ,??) 上单调递减,在 ( x1 , x2 ) 上单调递增 当 0 ? a ? 2 时,有 x1 ? 1 ? x2 ? 4 ,所以 f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 f ( x2 ) 又
f (4) ? f (1) ? ? 27 ? 6a ? 0 2 ,即 f (4) ? f (1) f (4) ? 8a ? 40 16 ?? 3 3 ,得 a ? 1 , x2 ? 2 ,

所以 f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为

13

从而 f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为

f ( 2) ?

10 3 .
x

(7) (2011 北京文 18)已知函数 f ? x ? ? ? x ? k ? e , (I)求 f ? x ? 的 单调区间; (II)求 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上的最小值。
/ x / 解: (I) f ( x) ? ( x ? k ?1)e , 令 f ( x) ? 0 ? x ? k ?1; 所以 f ? x ? 在 (??, k ? 1)

上递减,在 (k ? 1, ??) 上递增; ( II ) 当 k ? 1 ? 0,即k ? 1 时 , 函 数 f ? x ? 在 区 间 ?0,1? 上 递 增 , 所 以
f ( x)min ? f (0) ? ?k ;

当 0 ? k ? 1 ? 1 即 1 ? k ? 2 时,由(I)知,函数 f ? x ? 在区间 ?0, k ?1? 上递 减, (k ?1,1] 上递增,所以 f ( x)min ? f (k ?1) ? ?e ; 当
k ? 1 ? 1,即k ? 2
k ?1

时 , 函 数 f ? x ? 在 区 间 ?0,1? 上 递 减 , 所 以

f ( x)min ? f (1) ? (1 ? k )e 。

法(十) :数形结合法 适用于函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直 线斜率等等 【及时反馈】 (1 ) 、已知变量 x、y 满足 x2 ? y 2 ? 1,求 范围(答: [? 解析:求
3 3 , ] 、 [? 5, 5] ) ;补图 3 3
y 的取值范围 x?2

y 及 y ? 2 x 的取值 x?2

就是相当于求

y?0 的取 x ? ( ?2 )

14

值范围 就是相当于求 圆 x2 ? y 2 ? 1上任一点 P( x, y) 到定点 A(-2,0)的

切线的斜率的最大值与最小值的问题。 解析:令 t= y ? 2 x 后,求 求
y ? 2 x 的取值范围

就是相当于

直线 y ? 2 x ? t 在 y 轴上的截距的取值范围
( x ? 2) 2 ? ( x ? 8) 2

(2) 、求函数 y ?

的值域(答: [10, ??) ) ;

(3)求函数 y ? x2 ? 6x ? 13 ? x2 ? 4x ? 5 及 y ? x2 ? 6x ? 13 ? x2 ? 4x ? 5 的值域(答: [ 43, ??) 、 (? 26, 26) ) 注意: 求两点距离之和时, 要将函数式变形, 使两定点在 x 轴 的两侧,而求两点距离之差时,则要使两定点在 x 轴的同侧。 (4) 、求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域与最值(答: ?3,??? ) ; 本题也可用绝对值的几何意义来求解。 形如 y=|x-a|+|x-b|的函数称为“牛角函数” (因其图像牛角而 得名) , 补图其可以转化为分段函数来研究,值域都是 ?| a ? b |,??? 形如 y=|x-a1|-|x-b|的函数称为“Z 字形函数” (因其图像 Z 而 得名) , 补图其可以也可转化为分段函数来研究,值域都是

?? | a ? b |, | a ? b |?
(5) 、已知对于任意的实数 x,均有|x+1|+|x-2|>a 恒成立,则 a 的取值范围是 法(十一) :函数有界性法
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直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性, 来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性 【及时反馈】 (1) 、求函数 y ? 解:由 y ?
?1 ?
2sin ? ? 1 的值域 1 ? sin ?

2sin ? ? 1 y ?1 变形得 sin ? ? 1 ? sin ? 2? y

,因为 ? 1 ? sin ? ? 1 ,所以

1 y ?1 ? 1 ,解此不等式即得。 (答案: (??, ] ) 2 2? y

(2) 、y? (0,1) ) ;

3 2sin ? ? 1 3x 的值域(答: (??, ] ) ; (3 ) 、y? 2 1 ? cos ? 1 ? 3x

(答案:

法(十二) :对勾函数法 【及时反馈】 (1) 、已知 0 ? t ? ,则 f (t ) ? A、
1 4 1 ? t 的最小值是( t



15 63 ;B、 ;C、2;D、-2; 4 8

(2 ) 、 (2008 年高考江西卷)已知函数 y ? 则函数 F ( x) ? A、 [ 答案:B
f ( x) ? 1 的值域是( f ( x)

?1 ? f ( x) 的值域是 ? ,3? , ?2 ?



10 5 10 10 1 ,3] ;B、 [ 2, ] ;C、 [ , ] ;D [3, ] ; 3 2 3 3 2

提醒: (1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式 了吗?

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函数的最值与值域综合练习 1. 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ( x ?[?1,0] )的最小值是 ( A.1 B.2 C.5 ) ) D.0

2.若集合 M ? { y | y ? 2x }, N ? {y | y ? x2} ,则 M ? N 等于( A. [0, ??) B. (0, ??) C. ?

D. {0}

3.设 a ? 1 ,函数 y ? loga x 在区间【 a,2a 】上的最大值与最小值之差 是 ,则 a = A、 2 B、 2
2

1 2

C、4
? 2

D、2
?

1 x ? 4.已知集合 A ? ?y | y ? log2 x, x ? 1?, B ? ? ? y | y ? ( ) , x ? 1? ,则 A ? B =

1? A、 ? ?y | 0 ? y ? ? ? 2?

B、 ?y | 0 ? y ? 1?

1 ? C、 ? ? y | ? y ? 1? ? 2 ?

D、 ? )

5.已知集合 A={x|y= A. ?

x-1},B={y|y=x2+1},则 A∪cRB=(
C.[1,+∞) D.[10,+∞)

B.R

6. 若函数
a?

f ( x ) ? loga x

在 [2,4] 上的最大值与最小值之差为 2 ,则 .

.
1 2 ? x2

7、函数 y ? 2x ? 1, x ? ?? 1,?2,0,1,3?的值域是 7、函数 y ? 的值域是 .

8. (本题满分 12 分)设 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? a ? ab ,不等式 f ( x) ? 0 的 解集是 (?2, 0) 。 (1) 求 a , b 的值; (2 ) 求函数 g ( x) ? 上的最大值和最小值。
17

f ( x) 在 [2, 4] x ? x?2
2

9.已知函数 f ( x) ? 3x , f (a ? 2) ? 18 , g ( x) ? 3ax ? 4x 。(1)求实数 a 的 值; (2)若 ma ? 1 ,求 g (m) 的值; (3)求 g ( x) 在 [?2, 0] 上的值域。
a ? 10、 若函数 f ? x ? ? log a ? 则实数 a 的 ? x ? ? 4 ? ? a ? 0, 且a ? 1? 的值域为 R, ? x ?

取值范围是______(答: 0 ? a ? 4 且 a ? 1 ));

18


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