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苏教版--2016年度高一数学用二分法求方程的近似解5

3.1 函数与方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解 目标了然于胸,让讲台见证您的高瞻远瞩 1.能够借助计算器用二分法求方程的近 似解,了解二分法是求方程近似解的 常用方法. 2.理解二分法的步骤与思想. 研 习 新 知 ?新 知 视 界 ? 1.二分法的概念 ? 对于在区间 [a , b]上连续不断,且 f(a)·f(b)<0 的函数 y = f(x) ,通过 不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点 逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法. ? 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 ? (1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε; ? (2)求区间(a,b)的中点x1; ? (3)计算f(x1); ? ①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; ? ②若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); ? ③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)). ? (4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b); 否则重复(2)~(4). ? 思考感悟 ? 能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点? ? 提示:不能.看一个函数能否用二分法求其零点关键要看是否具 备应用二分法的条件,即函数图象在零点附近是连续不断的,且 在该零点左右函数值异号. ? 自我检测 ? 1.以下函数图象中,不能用二分法求函数零点的是( ) ? 答案:D ? 2.下面关于二分法的叙述,正确的是( ? A.用二分法可求函数所有零点的近似值 ) ? B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位 ? C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成 ? D.只有在求函数零点时才用二分法 ? 答案:B 3.用二分法求函数的零点, 函数的零点总位于区 间 [an,bn]上,当 |an- bn|<m 时函数的近似零点与真正 零点的误差不超过( A. m C. 2m ) m B. 2 m D. 4 解析:∵函数的零点总位于区间[an, bn]上,且 an+ bn m |an- bn|<m,∴区间中点 x0= = .∴函数的近 2 2 m 似零点与真正零点的误差不超过 . 2 答案:B ? 4 .用二分法研究函数 f(x) = x3 + 3x - 1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈________. ? 解析:∵f(0)<0,f(0.5)>0, ? ∴f(0)·f(0.5)<0, ? 故f(x)在(0,0.5)内必有零点. ? 答案:(0,0.5) 5.用二分法求函数 y=f(x)在区间 (2,4)上的近似 解, 验证 f(2)· f(4)<0 给定精确度 ε= 0.01, 取区间(2,4) 2+ 4 的中点 x1= = 3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则此时零 2 点 x0 所在的区间是什么? 解:∵f(2)·f(4)<0,f(2)·f(3)<0, ∴f(3)·f(4)>0,∴x0∈(2,3). 互 动 课 堂 ?典 例 导 悟 ? 类型一 ? [例1] 用二分法求方程的近似解 借助计算器或计算机,用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x, 在区间(1,2)内的近似解(精确度0.1). 原方程即 ln(2x+6)+2-3x=0,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x, 用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表如下: ? [解] x -2 -1 0 1 2 - 2.582 3.053 2.791 1.079 f(x) 4.69 0 0 8 4 74 由上表可以知道f(1)f(2)<0,说明这个函数在区间 (1,2) 内有零点x0. 取区间(1,2)的中点x1=1.5, 用计算器可得f(1.5)≈-1.00, 由于f(1)f(1.5)<0,那么x0∈(1,1.5), 再取(1,1.5)的中点x2=1.25, ? 用计算器可得f(1.25)≈0.19, ? 由于f(1.25)f(1.5)<0, ? 那么x0∈(1.25,1.5), ? 同理,可得x0∈(1.25,1.375),x0∈(1.25,1.3125). ? 由于 |1.3125 - 1.25|<0.1 ,所以方程 ln(2x + 6) + 2 = 3x 在区间 (1,2) 内 的近似解为1.3125. ? [点评] 由方程f(x)=0设函数y=f(x),在给定区间上判断是否存在 零点,当存在零点时,用二分法依次取中点求值判断,直到x的值 符合精确度要求为止.用二分法找函数的零点体现了逐步逼近的 数学思想.通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而找到零点近似值. ? 变式体验1 利用计算器,求方程x3+lgx=18的近似解(精确度0.1) . ? 解:这个解记为x0, ? 设f(x)=18-x3-lgx,用计算器计算,得 ? f(2)>0,f(2.5)>0,f(3)<0,则x0∈(2.5,3). ? 又f(2.5)>0,f(2.75)<0,则x0∈(2.5,2.75). ? f(2.5)>0,f(2.625)<0,x0∈(2.5,2.625), ? f(2.5625)>0,f(2.625)<0,则x0∈(2.5625,2.625). ? 由于|2.5625-2.625|<0.1,所以原方程的近似解为x0=2.5625. ? 类型二 ? [ 例 2] 用二分法求函数零点的近似值 判断函数y=x3-x-1在区间(1,1.5)内有无零点,如果有, 求出一个近似零点(精确度0.1). 由题目可获取以下主要信息: ? [分析] ? ①判断函数在区间(1,1.5)内有无零点,可用根的存在性定理判断; ?

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