当前位置:首页 >> 数学 >> 专题二 三角函数与平面向量解析版

专题二 三角函数与平面向量解析版

专题二 一、考点分析与知识网络

三角函数与平面向量

三角函数与平面向量主要包括三部分内容——三角函数、平面向量、解三角形, 复习这三部分内容应牢牢把握三个点:“角”、“关系”与“运算”,这三个点 串成了该部分知识复习的主线。 近几年安徽高考对三角函数与平面向量内容考查 有选择题和填空题(2~3)个,解答题一个,分值约占 22~27 分,主要考查平面 向量数量积计算,三角函数的基本公式(辅助角公式) ,三角恒等变换,三角函 数性质和图像的平移变换, 利用三角函数解三角形及三角函数与向量的结合。都 属于中等偏易,因此要掌握基础,精通教材是本章关键。 知识网络构

二、安徽高考本专题回顾
1、 (2009 年安徽高考)已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与 直 线 y ? 2 的 两 个 相 邻 交 点 的 距 离 等 于 ? , 则 f ( x) 的 单 调 区 间 是 ( )

(A) [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z
12 3 12

(B) [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z
12
6

12

(C) [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z
6

(D) [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z
3

? [解析]: f ( x) ? 2sin(? x ? ) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 , 6 ? ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 得, k? ? ? x ? k? ? , k ? z 故选 C 2 6 2 3 6 1 1 2、 (2010 年安徽高考)设向量 a ? (1,0), b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是 2 2
(A) | a |?| b | 答案: D (B) a ? b ?
2 2

(C) a ? b与b 垂直

(D) a // b

3、 (2012 年安徽高考)在平面直角坐标系中,点 O (0,0) ,点 P ? 6,8? ,将向
??? ? ???? 3? 量 OP 绕点 O 按逆时针方向旋转 后得向量 OQ ,则点 Q 的坐标是( 4


6, 2

(A) ?7 2, ? 2

?

?

(B) ?7 2, 2

?

?

(C)

? ?4

6, ?2

?

(D)

? ?4

?

4 【解析】三角求值和定义.设 ?POx ? ? ,因为 P ? 6,8? ,所以 tan ? = ,可得 3 4 3? ?1 3? ? tan ? ? tan 4 1 ? 3 tan ? ? ? ? ? ,验证可知只有当 Q 点坐标为 ?= 4 ? 1 ? tan ? ? tan 3? 1 ? 4 7 ? 4 3

? ?7

2? ,

2 时满足条件,答案:

?

A

??? ??? ? ? 4、 (2009 年安徽高考)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为
120o . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧

??? ? ??? ? ??? ? 上变动.若 OC ? xOA ? yOB, 其

中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是=________. [解析]设 ?AOC ? ? ???? ??? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ???? ??? ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ?
1 ? cos ? ? x ? y ? ? 2 ? ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ? ? 2





? ∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(1200 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) ? 2 6 解答:2 5、 (2009 年安徽高考) 1 在 ? ABC 中,sin(C-A)=1, sinB= 。 3
(I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积。

解: (I)由 sin(C ? A) ? 1, ?? ? C ? A ? ? , 知 C ? A ? 又 A ? B ? C ? ? , 所以 2 A ? B ?

?
2



?
2

,即 2A ?

?
2

? B, 0 ? A ?

?
4

.

1 3 故 cos 2 A ? sin B,1 ? 2sin 2 A ? ,sin A ? . 3 3

(II)由(I)得: cos A ? 又由正弦定理,得: 所以 S?ABC

6 . 3

BC AC sin A ? , BC ? ? AC ? 3 2, sin A sin B sin B 1 1 ? AC ? BC ? sin C ? AC ? BC ? cos A ? 3 2. 2 2

6、 (2010 年安徽高考)设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A,B,C 所对 边长,并且 sin 2 A ? sin( (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB ? AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) . 解: (I)因为 sin 2 A ? (
?

?
3

? B) sin(

?
3

? B) ? sin 2 B.

3 1 3 1 cos B ? sin B)( cos B ? sin B) ? sin 2 B 2 2 2 2

3 1 3 cos 2 B ? sin 2 B ? sin 2 B ? , 4 4 4 3 ? 所以 sin A ? ? , 又A为锐角, 所以A ? . 2 3

??? ??? ? ? (II)由 AB ? AC ? 12 可得
由(I)知 A ?

cb cos A ? 12. cb ? 24

① ②

? , 所以 3

由余弦定理知 a2 ? c2 ? b2 ? 2cb cos A, 将a ? 2 7 及①代入,得 ③+②×2,得 (c ? b)? ? 100 ,所以
c ? b ? 10.

因此,c,b 是一元二次方程 t 2 ? 10t ? 24 ? 0 的两个根. 解此方程并由 c ? b知c ? 6, b ? 4. 7、 (2012 年安徽高考)设函数 f ( x) ? (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; ( II ) 设 函 数 g ( x) 对 任 意 x ? R , 有 g ( x ?
g ( x) ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x . 2 4

?
2

) ? g ( x ), 且 当 x ? [ 0 ,

?
2

]时 ,

1 ? f ( x) ,求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式. 2

【解析】 f ( x) ?
?

2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 4 2 2 2

2? ?? . 2 ? 1 1 (2)当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? ? f ( x) ? sin 2 x , 2 2 2 ? ? ? ? 1 ? 1 当 x ? [? , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x , 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 1 当 x ? [?? , ? ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x . 2 2 2 2

1 1 ? sin 2 x . 2 2

(1)函数 f ( x) 的最小正周期 T ?

? ? 1 ?? 2 sin 2 x(? 2 ? x ? 0), ? 得:函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? ? 1 sin 2 x( ?? ? x ? ? ). ? 2 ? 2
点突破 考点一:平面向量

三、考

1、 (2011·广东理)若向量 a, , 满足 a∥b, a⊥c, c·(a+2b)=( b c 且 则 A.4 C.2 [解析] B.3 D.0 ∵a∥b,∴可设 b=λ a(λ ∈R),

)

∴c·(a+2b)=c·(a+2λ a)=(2λ +1)c·a=0,选 D. 2、(2011·四川理,4)如图,正六边形 ABCDEF 中,→+→+→=( BA CD EF )

A.0 C.→ AD [解析]

B.→ BE D.→ CF 原式=→+→+→=→+→=→,故选 D. BA AF EF BF CB CF

3、(2011·东城模拟)如图所示,在平面四边形 ABCD 中,若 AC=3,BD=2,则 (→+→)·(→+→)等于 AB DC AC BD

A.2 C.4 解析 → → → → → → 由于AB=AC+CB,DC=DB+BC,

B.3 D.5

所以→+→=→+→+→+→=→-→. AB DC AC CB DB BC AC BD (→+→)·(→+→)=(→-→)·(→+→)=→2-→2=9-4=5. AB DC AC BD AC BD AC BD AC BD 答案 D

4、(2011·辽宁理,10)若 a,b,c 均为单位向量,且 a·b=0,(a-c)·(b-

c)≤0,则|a+b-c|的最大值为(
A. 2-1 C. 2 [解析]

) B.1 D.2

|a + b - c|2 =|a|2 +|b|2 +|c|2 +2a·b -2a·c -2b·c =3-

2(a·c+b·c) (a-c)·(b-c)=a·b-a·c-b·c+|c|2 =1-(a·c+b·c)≤0, ∴|a+b-c|2≤1,∴|a+b-c|max=1. 答案 B

5、(2011·广东)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a +λ b)∥c,则 λ = A. 1 4 B. 1 2

C.1 解析

D.2

a+λ b=(1,2)+λ (1,0)=(1+λ ,2),

而 c=(3,4),由(a+λ b)∥c 得 4(1+λ )-6=0, 1 解得 λ = . 2 答案 B

→ → → 6、在梯形 ABCD 中,AB∥CD,且|AB|=λ |DC|,设AB =a,AD =b,则AC 等于 ( ) A.λ a+b C. 1 a+b λ →=AD+DC=b+ 1 →=b+ 1 a.故选 C. AC → → AB λ λ
AB | AB | ? AC | AC | ) ? BC ? 0且 AB ? AC ? 1 , 2

B.a+λ b 1 D.a+ b λ

解析

7、 在△ABC 中, 已知向量 AB与 AC满足 (

| AB | | AC |

则△ABC( ) 答案:D A . 三 边 均 不 相 等 的 三 角 形 B . 直 角 三 角 形 C 等腰非等边三角形 D.等边三角形 8、(2011·临沂模拟)已知向量 a=(3,5),b=(2,4),c=(-3,-2),a+λ b 与 c 垂直,则实数 λ =________. [解析]

a+λ b=(3,5)+(2λ ,4λ )=(2λ +3,4λ +5),

∵(a+λ b)⊥c,∴-3(2λ +3)-2(4λ +5)=0, 解得 λ =- 19 . 14

→ → → → → → 9、三角形 ABC 中,已知AB·BC+BC·CA+CA·AB=-6,且角 C 为直角,则角 C 的对边 c 的长为________. 解析 由→·→+→·→+→ ·→=-6, →·(→+→)+→·→=-6, AB BC BC CA CA AB 得AB BC CA BC CA

→ → → → 2 即AB·BA+BC·CA=-6,∵C=90°,∴-c =-6,c= 6. 答案 6

10、(2011·天津)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC → → =1,P 是腰 DC 上的动点,则|PA+3PB|的最小值为________. 解析 以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示

的平面直角坐标系,设 DC=a,DP=x. ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), → → PA=(2,-x),PB=(1,a-x), → → ∴PA+3PB=(5,3a-4x), → → |PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5. 考点二:三角函数与解三角形 π? ? 1、函数 y=1-2sin2?x- ?是 4? ? A.最小正周期为 π 的偶函数 C.最小正周期为 解析 π 的偶函数 2 ? ? π? 4? ? ? π? 2? B.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 2

y=1-2sin2?x- ?=cos ?2x- ?=sin 2x,所以 T=π ,且 y=sin
答案 B

2x 为奇函数.

2、若函数 f(x)=sin ax+ 3cos ax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图象的一 个对称中心为 ? 1 ? A.?- ,0? ? 3 ? ?1 ? C.? ,0? ?3 ? 解析 ? π ? B.?- ,0? ? 3 ? D.(0,0) ? ? π? 3? 2π =1,

f(x)=2sin ?ax+ ?,∴T=

a

π? ? ∴a=2π ,则 f(x)=2sin ?2π x+ ?, 3? ?

令 2π x +

π k 1 =kπ ,得 x= - ,k∈Z, 3 2 6

1 ∴当 k=1 时,x= , 3 ?1 ? 即 f(x)的一个对称中心为? ,0?, ?3 ? 3、已知实数 a,b 均不为零, 等于 A. 3 解析 由 β -α = B. 3 3 C.- 3 D.- 3 3 答案 C

asin α +bcos α π b =tan β ,且 β -α = ,则 acos α -bsin α 6 a

π π ,得 β =α + , 6 6 tan α + 1- 3 3 3sin α + 3cos α , 3cos α - 3sin α 3 . 3

π? ? 故 tan β =tan ?α + ?= 6? ?

3 tan α 3



与已知比较得 a=3t,b= 3t,t≠0,故 =

b a

答案

B

π? π? ? ? 4、(2011·课标全国卷)设函数 f(x)=sin?2x+ ?+cos?2x+ ?,则 4? 4? ? ? π? π ? A.y=f(x)在?0, ?单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2? 4 ? π? π ? B.y=f(x)在?0, ?单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2? 2 ? π? π ? C.y=f(x)在?0, ?单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2? 4 ? π? π ? D.y=f(x)在?0, ?单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2? 2 ? 解析 π? π? ? ? ∵f(x)=sin?2x+ ?+cos?2x+ ? 4? 4? ? ?

π π? ? = 2sin?2x+ + ?= 2cos 2x, 4 4? ? 当 0<x< π 时,0<2x<π , 2

π? ? 故 f(x)= 2cos 2x 在?0, ?单调递减. 2? ? 又当 x= 因此 x= π? π ? 时, 2cos?2× ?=- 2, 2? 2 ? π 是 y=f(x)的一条对称轴. 2 答案 D

5、(2011·四川)在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则 A 的取值范 围是 π? ? A.?0, ? 6? ? π? ? C.?0, ? 3? ? 解析 在△ABC 中,由正弦定理可得 sin A= ?π ? B.? ,π ? ?6 ? ?π ? D.? ,π ? ?3 ?

a b c ,sin B= ,sin C= (其 2R 2R 2R

中 R 为△ABC 外接圆的半径), sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C 可得 a2≤b2 由 +c2-bc,即 b2+c2-a2≥bc,∴cos A= ∴0<A≤ π . 3 答案 C

b2+c2-a2 1 ≥ , 2bc 2

π? ? 6、函数 f(x)=sin (ω x+φ )?|φ |< ?的最小正周期为 π ,且其图象向左平 2? ? 移 π 个单位后得到的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象 6 ?π ? A.关于点? ,0?对称 ?12 ? ?5π ? ,0?对称 C.关于点? ? 12 ? 解析 B.关于直线 x= D.关于直线 x= 5π 对称 12 π 对称 12

根据最小正周期为 π , ω =2, 得 向左平移

π 个单位后得到函数 f(x) 6

π? π ? ? ? ? ? =sin ?2?x+ ?+φ ?=sin ?2x+ +φ ?的图象, 这个函数是奇函数, f(0) 由 6? 3 ? ? ? ? ? =0 和|φ |< π? π π ? , φ =- , 得 故函数 f(x)=sin ?2x- ?.把各个选项代入, 3? 2 3 ?

根据正弦函数图象对称中心和对称轴的意义知,只有选项 B 中的直线 x= 是函数图象的对称轴. 答案 B

5π 12

7、设 ω >0,m>0,若函数 f(x)=msin 递增,则 ω 的取值范围是 2? ? A.?0, ? 3? ? ?3 ? C.? ,+∞? ?2 ? 解析

ωx ωx ? π π? ·cos 在区间?- , ?上单调 4? 2 2 ? 3

3? ? B.?0, ? 2? ? D.[1,+∞) ωx ωx m ·cos = sin ω x, 2 2 2

f(x)=msin

∵ω >0,m>0, 2kπ π 2kπ ? ? π + , + ?(k∈Z). ∴其增区间为?- ω 2ω ω ? ? 2ω ? π π? 又∵f(x)在?- , ?上单调递增, 4? ? 3 π ? ? π π? ? π , ?. ∴?- , ?? ?- 4 ? ? 2ω 2ω ? ? 3 π ?-2ω ≤-π , ? 3 ∴? π π ?2ω ≥ 4 , ?

3 解之得 ω ≤ . 2

3? ? 又∵ω >0,∴ω ∈?0, ?,故选 B. 2? ? 8、在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对 边,已知 b2=c(b+2c),若

a= 6,cos A= ,则△ABC 的面积等于
A. 17 C. 15 2 B. 15 D.3 ∵b2=c(b+2c),∴b2-bc-2c2=0,

7 8

解析

即(b+c)·(b-2c)=0,

b2+c2-a2 7 ∴b=2c.又 a= 6,cos A= = , 2bc 8
解得 c=2,b=4. 1 ∴S△ABC= bcsin A 2 1 = ×4×2× 2 15 ?7? 1-? ?2= . 2 ?8? 答案 C )
y

π? ? π 9、(山东、理)函数 y ? ln cos x ? ? ? x ? ? 的图象是( 2? ? 2
y y y

?

π 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x 2

A.

B.

C.

D.

解: y ? ln cos x(?

?

2 定.因此本题应选 A.

?x?

?
2

) 是偶函数,可排除 B、D,由 cos x 的值域可以确

10、已知函数 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x
? ?? (I)求函数 f (x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x)在x ? ?0, ? 的值域. ? 2?

解: f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ? ? 3 ?
? 1 3 3 s i 2x ? n c o2 s ? x 2 2 2

1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2

? sin(2 x ?
? 2x ?

?
3

)?

3 2

T (I) ?

2? ?? 2

(II)∴ 0 ? x ?

?
2



?
3

?
3

?

4? 3



?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 3

? 2? 3? 所以 f (x) 的值域为: ?? 3 , ? 2 ? ?

? 11、 函数 f(x)= Asin(ω x +φ ) ?A>0,ω >0,|φ ? 示. (1)求 f(x)的最小正周期及解析式;

|<

π? ? 的部分图象如图所 2?

π? ? (2)设 g(x)=f(x)-cos 2x,求函数 g(x)在区间?0, ?上的最大值和最小 2? ? 值.

π? ?1 12、(12 分)(2011·广东)已知函数 f(x)=2sin ? x- ?,x∈R. 6? ?3 (1)求 f(0)的值; π? ? π ? 10 6 ? (2)设 α ,β ∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β +2π )= ,求 sin (α + 2? ? 2 ? 13 5 ? β )的值. 解析 π ? π? (1)f(0)=2sin ?- ?=-2sin =-1. 6 ? 6?

π? ? π ? 10 6 ? (2)由题意知, , ∈?0, ?, ?3α + ?= , (3β +2π )= , 2sin α β f f 即 2? ? 2 ? 13 5 ?

α =

10 6 ,2cos β = , 13 5 5 12 3 4 ,cos α = ;cos β = ,sin β = . 13 13 5 5 5 3 12 4 63 × + × = 13 5 13 5 65

∴sin α =

∴sin (α +β )=sin α cos β +cos α sin β =

13、在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 tan A ? (1)求 tanC 的值; 解: (1)? cos B ?

1 3 10 , cos B ? 2 10 (2)若⊿ABC 最长的边为 1,求 b。

3 10 ? 0, ? B 锐角, 10
sin B 1 10 ? , ,? tan B ? cos B 3 10

且 sin B ? 1 ? cos 2 B ?

1 1 ? tan A ? tan B 2 3 ? ?1 ? tan C ? tan ?? ? ( A ? B)? ? ? tan( A ? B) ? ? ?? 1 1 1 ? tan A ? tan B 1? ? 2 3 (2)由(1)知 C 为钝角, C 是最大角,最大边为 c=1,
? tan C ? ?1,? C ? 135?,? sin C ? 2 , 2
1? 10 10 ? 5 。 5 2 2

c sin B b c ? ? 由正弦定理: 得b ? sin B sin C sin C

14、[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a 1 =1,b=2,cosC= . 4 (1)求△ABC 的周长;(2)求 cos(A-C)的值. 1 【解答 】 (1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4× =4, 4 ∴c=2,∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. 1 15 ?1? (2)∵cosC= ,∴sinC= 1-cos2C= 1-? ?2= , 4 4 ?4? 15 4 asinC 15 ∴sinA= = = . c 2 8 ∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角,∴cosA= 1-sin2A= ? 15?2 7 ?= . 1-? ? 8 ? 8

7 1 15 15 11 ∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC= × + × = . 8 4 8 4 16 15、(12 分)(2011·山东)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 cos A-2cos C 2c-a = . cos B b sin C 的值; sin A

(1)求

1 (2)若 cos B= ,b=2,求△ABC 的面积 S. 4 解析 则 (1)由正弦定理,设 =

a
sin A



b
sin B



c
sin C

=k,

2c-a

b

2ksin C-ksin A 2sin C-sin A = , ksin B sin B

所以

cos A-2cos C 2sin C-sin A = . cos B sin B

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π ,所以 sin C=2sin A. 因此 sin C =2. sin A sin C =2 得 c=2a. sin A

(2)由

1 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 及 cos B= ,b=2, 4 1 得 4=a2+4a2-4a2× .解得 a=1.从而 c=2. 4 1 15 又因为 cos B= ,且 0<B<π ,所以 sin B= . 4 4 1 1 15 15 因此 S= acsin B= ×1×2× = . 2 2 4 4 三、三角与向量综合 1、设△ABC 的三个内角为 A、B、C 向量 m=( 3sinA,sinB),n =(cosB, 3 cosA),若 m·n=1+cos(A+B),则 C=( )

A. C.

π 6 2π 3 C

B. D.

π 3 5π 6

[答案] [解析]

∵m·n= 3sinAcosB+ 3cosAsinB

= 3sin(A+B)=1+cos(A+B), ∴ 3sin(A+B)-cos(A+B)= 3sinC+cosC =2sin( ∴sin( ∴ π +C)=1. 6

π 1 +C)= ,∵0<C<π , 6 2

π 5 π π 2 +C= π 或 +C= (舍去),∴C= π . 6 6 6 6 3

1? ?3 ? ? 2、设 a=? ,sin α ?,b=?cos α , ?,若 a∥b,则锐角 α 为 3? ?2 ? ? A.30° C.60° 解析 3 1 ∵a∥b,∴sin α cos α = · , 2 3 B.45° D.75°

1 即 sin α cos α = ,∴sin 2α =1, 2 又∵α 是锐角,∴2α =90°,α =45°. 答案 B

3、 (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足
cos

??? ??? ? ? A 2 5 ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

(I)求 ?ABC 的面积;

(II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值. 解析:I) ( 因为 cos

??? ??? ? ? A 3 4 A 2 5 ? ? , cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? ,sin A ? , 又由 AB ? AC ? 3 , 2 5 5 2 5

1 得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 , ? S?ABC ? bc sin A ? 2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2

(II)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 ,由余弦定理得
a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4、 (2012 江苏)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA ? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ???? ? ??? ??? ? ? c ? ? c B 【 解 析 】 (1) ∵ AB ? AC = 3BA ? BC , ∴ A B? A C o s A 3 B A B C o s , 即 A Cc o s A? 3B C c o sB , AC BC ? 由正弦定理 ,∴ sin B cos A ? 3sin A cos B , sin B sin A 又∵ 0 ? A ? B ? ? ,∴ cos A ? 0 , cos B ? 0 ,∴ tan B ? 3tan A ,
(2)∵ cos C ?
2 5 5 , 0 ? C ? ? ,∴ sin C = 1 ? cos2 C = ,∴ tan C =2,∴ 5 5
a Aa tn tn ? 1 ?a a A tn tn B 4tn a ? ?2 , (1) 由 得 B 1 ?3n a t A
2

5 ,求 A 的值. 5

tan[? ? ( A ? B)] =2,

∴ tan( A ? B) ? ?2 , 即
1 或? , 3

A

? ?2 , 解得 tan A =1

∵ cos A ? 0 ,∴ tan A ? 1 ,∴ A ?

?
4

.

?1 π? ? 3? 5、已知向量 a=? , ?,b=(cos x,sin x),x∈?0, ?. 2? ? ?2 2 ? (1)若 a∥b,求 sin x 和 cos 2x 的值; 5π ? ?12kπ +13π ? ? +x?(k∈Z),求 tan?x+ ?的值. (2)若 a·b=2cos ? 6 12 ? ? ? ? 解析 1 3 (1)∵a∥b,∴ sin x= cos x. 2 2

于是 sin x= 3cos x,又∵sin2x+cos2x=1, 1 ∴cos2x= , 4 π? ? 又∵x∈?0, ?,∴s in x= 1-cos2x= 2? ? 1 1 cos 2x=2cos2x-1= -1=- . 2 2 1 3 1- = . 4 2

1 3 (2)∵a·b= cos x+ sin x 2 2 =cos π? π π ? sin x+sin cos x=sin ?x+ ?, 6? 6 6 ?

12kπ +13π ? ? ? 而 2cos ?x+ 6 ? ? π? π? ? ? =2cos ?2kπ +x+ ?=2cos ?x+ ?(k∈Z); 6? 6? ? ? π? π? π? ? ? ? 于是 sin ?x+ ?=2cos ?x+ ?,即 tan ?x+ ?=2. 6? 6? 6? ? ? ? π? π? 5π ? ?? ? ∴tan ?x+ ?=tan ??x+ ?+ ? 6? 4? 12 ? ? ?? π? π ? tan?x+ ?+tan 6? 4 2+1 ? = = =-3. π? π 1-2×1 ? x+ ?·tan 1-tan? 6? 4 ? 答案 2 30

6、已知锐角△ABC 三个内角为 A,B,C,向量 p=(cosA+sinA,2-2sinA),向 量 q=(cosA-sinA,1+sinA),且 p⊥q. (1)求角 A; (2)设 AC= 3,sin2A+sin2B=sin2C,求△ABC 的面积. [解析] (1)∵p⊥q,

∴(cosA+sinA)(cosA-sinA)+(2-2sinA)(1+sinA)=0, 3 3 π ∴sin2A= .而 A 为锐角,所以 sinA= ? A= . 4 2 3 (2)由正弦定理得 a2+b2=c2, ∴△ABC 是直角三角形,且∠C= ∴BC=AC×tan π = 3× 3=3. 3 π . 2

1 1 3 3 ∴S△ABC= AC·BC= × 3×3= . 2 2 2 7、设角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,已知向量 m=(sinA+sinC,sinB-sinA),

n=(sinA-sinC,sinB),且 m⊥n.
(1)求角 C 的大小; ? 2B? (2)若向量 s=(0,-1),t=?cosA,2cos ?,试求|s+t|的取值范围. 2? ? [解析] (1)由题意得 m·n=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0,即

sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB,由正弦定理得 c2=a2+b2-ab,再由余弦

a2+b2-c2 1 定理得 cosC= = . 2ab 2
因为 0<C<π ,所以 C= π . 3

? ? 2B (2)因为 s+t=?cosA,2cos -1?=(cosA,cosB), 2 ? ? ?2π ? -A? 所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+cos2? ? 3 ? ?4π ? -2A? 1+cos? 1+cos2A 3 ? 3 ? 1 = + = cos2A- sin2A+1 2 2 4 4 π? 1 ? =- sin?2A- ?+1. 6? 2 ? 因为 0<A< 2π π π 7π ,所以- <2A- < ,则 3 6 6 6

π? 1 ? - <sin?2A- ?≤1, 6? 2 ? 1 5 2 5 所以 ≤|s+t|2< ,故 ≤|s+t|< . 2 4 2 2 8、 (2012 山东) (本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sin x ,1),n=( 3 A cos x, cos 2 x )(A>0) ,函数 f ( x)? m ? n 的 最大值为 6. y ? f (x) (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)将函数 y ? f (x) 的图象向左平移 坐标短为原来的 [ 0,
A 2

? 个单位,再将所得图象上各点的横 12

1 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g (x) 的图象.求 g (x) 在 2

5? ]上的值域. 24

解析: (Ⅰ)

f ( x) ? m ? n ? 3 A cos x sin x ?
则 A ? 6;

A 3 A ?? ? cos2 x ? A sin 2 x ? cos2 x ? A sin? 2 x ? ? , 2 2 2 6? ?
? ? ? 个单位得到函数 y ? 6 sin[ 2( x ? ) ? ] 12 12 6 1 倍,纵坐标不变,得到函数 2

(Ⅱ) 函数 y=f x) ( 的图象像左平移 的图象,

再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
g ( x) ? 6 sin( 4 x ?

?
3

).

当 x ? [0,

5? ? ? 7? ? 1 ] 时, 4 x ? ? [ , ], sin( 4 x ? ) ? [? ,1] , g ( x) ? [?3,6] . 24 3 3 6 3 2

上的值域为 [?3,6] . ? ? 另解:由 g ( x) ? 6 sin( 4 x ? ) 可得 g ?( x) ? 24 cos( 4 x ? ) ,令 g ?( x) ? 0 , 3 3 5? ? ? ? 则 4 x ? ? k? ? (k ? Z ) ,而 x ? [0, ] ,则 x ? , 24 24 3 2 ? ? ? 5? 7? ? ?3 , 于是 g (0) ? 6 sin ? 3 3 , g ( ) ? 6 sin ? 6, g ( ) ? 6 sin 3 24 2 24 6 故 ? 3 ? g ( x) ? 6 ,即函数 g(x)在 9、 (2012 湖北) (本小题满分 12 分)
? ? n ) 已 知 向量 a ? (cos x ? s i n x , s i? x , b ? (? cos ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) ,设函数
f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的 图 象 关 于 直 线 x ? π 对 称 , 其 中 ? , ? 为 常 数 , 且

故函数 g(x)在

上的值域为 [?3,6] .

? ? ( , 1) .

1 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( ,0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, 围. 解析: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ?
π ? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? . 6 π 4
3π ] 上的取值范 5

由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 sin(2? π ? ) ? ?1 ,
π k 1 (k ? Z) ,即 ? ? ? (k ?Z) . 2 2 3 5 1 又 ? ? ( , 1) , k ?Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? . 6 2

π 6

所以 2? π ? ? kπ ?

π 6

所以 f ( x) 的最小正周期是
π 4

6π . 5

(Ⅱ)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 ,
5 π π π 6 2 6 4 5 π 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 , 3 6 3π π 5 π 5π 由 0 ? x ? ,有 ? ? x ? ? , 5 6 3 6 6 1 5 π 5 π 所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 ,得 ?1 ? 2 ? 2sin( x ? ) ? 2 ?2 ? 2 , 2 3 6 3 6 3π 故函数 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围为 [?1 ? 2, 2 ? 2] . 5

π 4

即 ? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 .


更多相关文档:

专题二 三角函数与平面向量[配套课件]_图文.ppt

专题二 三角函数与平面向量[配套课件] - 2019版高考数学(文)一轮总复习(实用课件)... 专题二 三角函数与平面向量[配套课件]_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2...

...集训:专题三三角函数与平面向量3.1 Word版含解析.doc

2018届高三数学(文)二轮复习专题集训:专题三角函数与平面向量3.1 Word版含解析 - A级 1 ? ?π ? 1.已知角 α 的终边与单位圆 x2+y2=1 交于 P? ?2...

...集训:专题三三角函数与平面向量3.1 Word版含解析.doc

高三数学(理)二轮复习专题集训:专题三角函数与平面向量3.1 Word版含解析 - A级 1 ? ?π ? 1.已知角 α 的终边与单位圆 x2+y2=1 交于 P? ?2,y0?...

...:专题2 三角函数与平面向量真题体验(人教版含解析)(....doc

2016届高考数学(文)二轮真题模拟过关提升练:专题2 三角函数与平面向量真题体验(人教版含解析)(江苏专用)_经管营销_专业资料。专题二一、填空题 三角函数与平面向量...

专题二 三角函数与平面向量_图文.ppt

专题二 三角函数与平面向量 - 专题二 三角函数与平面向量 从近几年的试题情况来

2018届高三专题复习专题二 三角函数与平面向量.doc

2018届高三专题复习专题二 三角函数与平面向量 - 专题二 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质 高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点...

专题1.3 三角函数与平面向量(讲)-2018年高考数学(文)二....doc

专题1.3 三角函数与平面向量(讲)-2018年高考数学(文)二轮复习讲练测 Word版含解析 - 2018 年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版文科数学】 【高考改编☆...

...专题14 三角函数与平面向量模拟演练(人教版含解析)(....doc

2016届高考数学(文)二轮专题复习演练:专题14 三角函数与平面向量模拟演练(人教版含解析)(江苏专用)_资格考试/认证_教育专区。专题二 三角函数与平面向量经典模拟...

2015高考总复习数学(文)课件:专题2 三角函数与平面向量_图文.ppt

专题二 三角函数与平面向量 三角函数、三角变换、平面向量、解三角形是高中数学...而是因为平面向量常常与解析几何、数列、不等 式等知识相结合,从而成为各类考试...

专题二 三角函数与平面向量教师稿.doc

胡三思 专题二 三角函数与平面向量 第1课 考点分析三角函数的图像是三角函数的重要组成部分,是高考的常考内容,通常以客观题的形式出现, 涉及求图像解析式、图像...

...2轮复习专题集训:专题3三角函数与平面向量3.2 Word版含解析_....doc

最新高3数学(理)2轮复习专题集训:专题3三角函数与平面向量3.2 Word版含解析 - A级 π ? 3 1.(2016 全国卷甲)若 cos? ?4-α?=5,则 sin 2α=( ...

...集训:专题三三角函数与平面向量3.2 Word版含解析.doc

高三数学(理)二轮复习专题集训:专题三角函数与平面向量3.2 Word版含解析 - A级 π ? 3 1.(2016 全国卷甲)若 cos? ?4-α?=5,则 sin 2α=( 7 ...

专题09 10月第二次周考三角函数与平面向量-2018年高三....doc

专题09 10月第二次周考三角函数与平面向量-2018年高三文数周考、月考、段考测试卷新课标版 含解析 精品_数学_高中教育_教育专区。【2018 届高三数学优质试卷...

...总复习专题突破二 高考三角函数与平面向量(带解析)V....doc

2015届高考语文一轮总复习专题突破二 高考三角函数与平面向量(带解析)V_从业

...年高考数学(理)二轮复习 专题二 三角函数与平面向量(带解析)_....doc

【二轮推荐】三维设计2013年高考数学(理)二轮复习 专题二 三角函数与平面向量(带解析)_调查/报告_表格/模板_实用文档。【二轮推荐】三维设计 2013 年高考数学(理...

2018届高三数学理二轮复习专题集训:专题三三角函数与平面向量3-2 ....doc

2018届高三数学理二轮复习专题集训:专题三角函数与平面向量3-2 含解析

...10月第二次周考【三角函数与平面向量】(解析版)_图....doc

2019年高三文数原创测试卷(新课标版):专题09 10月第二次周考【三角函数与平面向量】(解析版) - 【2019 年高三数学优质试卷原创精品】 测试时间:120 分钟 班级...

高考数学一轮复习专题二三角函数与平面向量课时作业理.doc

高考数学一轮复习专题二三角函数与平面向量课时作业理 - 拼十年寒 窗挑灯 苦读不

高考数学二轮复习专题03三角函数与平面向量讲含解析理-....doc

高考数学二轮复习专题03三角函数与平面向量讲含解析理-含答案 - 专题三角函数与平面向量 考向一 三角恒等变形 【高考改编☆回顾基础】 1. 【同角三角函数、...

...命题动向分析《专题二 高考三角函数与平面向量命题....ppt

2013高考数学命题动向分析《专题二 高考三角函数与平面向量命题动向》课件(43张...有关三角函数的小题其考查重点在于基 础知识:解析式;图象与图象变换;两域(...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com