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2018高考数学(文)第七篇 立体几何 第5节 直线、平面垂直的判定与性质

第 5 节 直线、平面垂直的判定与性质 【选题明细表】 知识点、方法 与垂直有关命题的判断 直线、平面垂直 平面与平面垂直 综合问题 基础对点练(时间:30 分钟) 1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的 位置关系是( B ) (A)平行 (B)垂直 题号 3,4,8,12 1,5,7,10 2,11,14 6,9,13,15 (C)相交不垂直 (D)不确定 解析:因为直线和三角形的两边同时垂直 ,所以这条直线垂直于三角形 所在平面,故其与三角形的第三边垂直. 2.(2016·哈尔滨三模)如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC =90°,BC1⊥AC,则 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在( A ) (A)直线 AB 上 (B)直线 BC 上 (C)直线 CA 上 (D)△ABC 内部 解析: ? CA⊥平面 ABC1? 平面 ABC⊥平面 ABC1,所以过 C1 在平面 ABC 内作垂直于平面 ABC 的垂线在平面 ABC1 内,也在平面 ABC 内,所以点 H 在两面的交线上,即 H∈AB.故选 A. 3.已知 l,m,n 是三条不同的直线,α ,β 是不同的平面,则α ⊥β 的一个 充分条件是( D ) (A)l? α ,m? β ,且 l⊥m (B)l? α ,m? β ,n? β ,且 l⊥m,l⊥n (C)m? α ,n? β ,m∥n,且 l⊥m (D)l? α ,l∥m,且 m⊥β 解析:由 A,B,C 均不能得到α ⊥β ,D 中,由 l∥m,且 m⊥β 得 l⊥β ,又 l ? α ,因此α ⊥β ,综上选 D. 4.已知直线 m,l,平面α ,β ,且 m⊥α ,l? β ,给出下列命题: ①若α ∥β ,则 m⊥l;②若α ⊥β ,则 m∥l;③若 m⊥l,则α ⊥β ;④若 m ∥l,则α ⊥β . 其中正确的命题的个数是( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:命题①,若α ∥β ,又 m⊥α ,所以 m⊥β , 又 l? β ,所以 m⊥l,正确; 命题②,l 与 m 可能相交,也可能异面,错误; 命题③,α 与β 可能平行,错误; 命题④,因为 m∥l,又 m⊥α ,所以α ⊥β ,正确. 5.(2016·宁德月考)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿 AE,AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形,使 B,C,D 三点重合 , 重合后的点记为 H, 那么 , 在这个空间图形中必有 ( B ) (A)AG⊥△EFH 所在平面 (B)AH⊥△EFH 所在平面 (C)HF⊥△AEF 所在平面 (D)HG⊥△AEF 所在平面 解析:根据折叠前、后 AH⊥HE,AH⊥HF 不变, 所以 AH⊥平面 EFH,B 正确; 因为过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直,所以 A 不正确; 因为 AG⊥EF,EF⊥GH,所以 EF⊥平面 HAG, 所以平面 HAG⊥平面 AEF,过 H 作直线垂直于平面 AEF,一定在平面 HAG 内,所以 C 不正确; 因为 HG 不垂直于 AG,所以 HG⊥平面 AEF 不正确,D 不正确. 故选 B. 6.(2016·甘肃天水期末)如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= , BD⊥CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′-BCD,使平面 A′BD ⊥平面 BCD,则下列结论正确的是( B ) (A)A′C⊥BD (B)∠BA′C=90° (C)CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° (D)四面体 A′-BCD 的体积为 解析:若 A 成立可得 BD⊥A′D,产生矛盾,故 A 不正确; 由题设知:△BA′D 为等腰 Rt△,CD⊥平面 A′BD,得 BA′⊥平面 A′CD,于是 B 正确; 由 CA′与平面 A′BD 所成的角为∠CA′D=45°知 C 不正确; = =,D 不正确.故选 B. 7. (2016·山东烟台期末)如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,当底 面四边形 A1B1C1D1 满足条件 时,有 A1C⊥B1D1(注:填上 你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况). 解析:若 A1C⊥B1D1,由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱,AA1⊥B1D1,易得 B1D1⊥平面 AA1C1C,则 A1C1⊥B1D1. 答案:A1C1⊥B1D1 8.(2016·呼和浩特一模)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同 的平面,给出下列命题: ①若α ⊥β ,m∥α ,则 m⊥β ;②若 m⊥α ,n⊥β ,且 m⊥n,则α ⊥β ; ③若 m⊥β ,m∥α ,则α ⊥β ;④若 m∥α ,n∥β ,且 m∥n,则α ∥β . 其中真命题的序号是 . 解析:若α ⊥β ,m∥α ,则 m 与β 位置关系不确定,故①不正确; 若 m⊥α ,n⊥β ,且 m⊥n,知α ⊥β ,故②正确; 若 m⊥β ,m∥α , 则由平面与平面垂直的判定知α ⊥β ,故③正确; 若 m∥α ,n∥β ,且 m∥n,则α 与β 相交或平行,故④不正确. 答案:②③ 9. 如图,直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面,△ABC 内接于圆 O,且 AB 为圆 O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有以下命题: ①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长. 其中正确的命题为 . 解析:因为 PA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC, 所以 PA⊥BC, 因为 AB 是圆 O 的直径, 所以 AC⊥BC, 又因为 PA? 平面 PAC,AC? 平面 PAC,PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC, 因为 PC? 平面 PAC, 所以 BC⊥PC.故①,③正确. 因为 M

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