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专题07 二次函数与幂函数(教学案)

高考数学(文)一轮复习精品资料 专题 07 二次函数与幂函数(教学案) 1 1 1.了解幂函数的概念;结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x ,y= 的图象,了解它们的变化 2 x 情况; 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)常见的 5 种幂函数的性质 函数 特征 性质 {x|x∈R, 定义域 R R R [0,+∞) 且 x≠0} {y|y∈R, 值域 奇偶性 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式: 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为 f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) R 奇 [0,+∞) 偶 R 奇 [0,+ ∞) 非奇非偶 且 y≠0} 奇 y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x -1 图象 定义域 值域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) ?4ac-b ,+∞? ? 4a ? b -∞,- ?上单调递减; 在? 2a? ? b ? 在? ?-2a,+∞?上单调递增 b 函数的图象关于 x=- 对称 2a 2 ?-∞,4ac-b ? 4a ? ? b -∞,- ?上单调递增; 在? 2a? ? b ? 在? ?-2a,+∞?上单调递减 2 单调性 对称性 高频考点一幂函数的图象和性质 1 2 例 1、(1)已知幂函数 f(x)=k· xα 的图象过点? , ?,则 k+α 等于( ?2 2 ? 1 A. 2 B.1 3 C. D.2 2 ) ) 1 1 (2)若(2m+1) >(m2+m-1) ,则实数 m 的取值范围是( 2 2 - 5-1? ? A.?-∞, ? 2 ? ? C.(-1,2) D.? B.? ? 5-1 ? ? ? 2 ,+∞? ? 5-1 ? ? ? 2 ,2? 【方法规律】 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性; (2)α 的正负:当 α>0 时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;当 α<0 时,图象不 过原点,过(1,1),在第一象限的图象下降. (3)在比较幂值的大小时, 必须结合幂值的特点, 选择适当的函数, 借助其单调性进行比较, 准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【变式探究】 (1)幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图象是( ) (2)已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函 数,则 n 的值为( A.-3 B.1 ) C.2 D.1 或 2 高频考点二 二次函数的图象与性质 例 2、已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=-1 时,求 f(|x|)的单调区间. 【方法规律】解决二次函数图象与性质问题时要注意: (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,常见的题型中这三者有两定一不 定,要注意分类讨论; (2)要注意数形结合思想的应用, 尤其是给定区间上的二次函数最值问题, 先“定性”(作草图), 再“定量”(看图求解),事半功倍. 【变式探究】 (1)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( ) (2)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数 的解析式 f(x)=________. 高频考点三 二次函数的应用 例 3、(2016· 全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)=f(2-x), 若函数 y=|x2-2x-3|与 y=f(x) 图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则 ?xi=( i=1 m ) A.0 B.m C.2m D.4m 【方法规律】(1)对于函数 y=ax2+bx+c,若是二次函数,就隐含着 a≠0,当题目未说明是 二次函数时,就要分 a=0 和 a≠0 两种情况讨论. (2)由不等式恒成立求参数的取值范围,常用分离参数法,转化为求函数最值问题,其依据 是 a≥f(x)?a≥f(x)max,a≤f(x)?a≤f(x)min. (3)涉及二次函数的零点常与判别式有关,常借助函数的图象的直观性实施数形转化. 【变式探究】(1)(已知 f(x)=x2+2(a-2)x+4,如果对 x∈[-3,1],f(x)>0 恒成立,则实数 a 的取值范围为________. (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 当 x≥0 时, f(x)=x2-2x, 如果函数 g(x)=f(x)-m(m∈R) 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围是________. 高频考点四、分类讨论思想在二次函数最值中的应用 例 4、已知 f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求 f(x)的最小值. 【方法与技巧】 1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时,宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时,常使用顶点式. (3)已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f(x)更方便. 2.研究二次函数的性质要注意: (1)结合图象分析; (2)含参数的二次函数,要进行分类讨论. 3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,

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