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高考数学排列组合与二项式定理

排列组合和二项式定理 基础知识 ☆.两个基本原理:加法原理、乘法原理 (正确地分类与分步是学好这一章的关键) 加法原理与乘法原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数。它们的区别在于:加法原 理与“分类”有关,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;乘法原理 与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成。 说明:教学中要强调分类与分步的区别,因为学生易混淆。 ☆.排列 (1)排列、排列数定义 (2)排列数公式: Pnm =
n! =n·(n-1)?(n-m+1) (n ? m)!

(3)全排列公式: Pnn =n! ☆.组合 (1)组合、组合数定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式:Cnm= (3)组合数的性质 ①Cnm=Cnn-m;
r ?1 r r ? Cn ? Cn ② Cn ?1 ;

n! n(n - 1) ? (n - m ? 1) = ; m!(n ? m)! m ? (m ? 1) ? ? ? 2 ? 1

说明:排列与组合问题的共同点是要“从 n 个不同元素中,任取 m 个元素” ;不同点是对于所 取出的 m 个元素,前者要“按照一定的顺序排成一列” ,而后者却是“不管怎样的顺序 并成一组” 。 另外, 由于学生经常用计算器计算排列数和组合数, 容易忽视排列数公式和组合数公式, 所以应做一些简单的带字母的排列数和组合数问题,以熟练公式,打牢基础。 ☆.二项式定理 (1)二项式展开公式:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+?+Cnkan-kbk+?+Cnnbn; 二项展开式有以下特征: (应再次强调) A、它有 n+1 项; B、各项的次数和都等于二项式的次数 n; C、字母 a 按降幂排列,次数由 n 递减到 0;字母 b 按升幂排列,次数由 0 递增到 n; D、各项的系数依次为
0 1 2 n Cn , Cn , Cn ,?, C n

1

Cn0+Cn1+?+Cnn=2n; Cn -Cn +?+(-1) Cn =0,即 Cn +Cn +Cn +?=Cn +Cn +?=2 ; (2)通项公式:二项式展开式中第 k+1 项的通项公式是:Tk+1=Cnkan-kbk; 教学中应强调,这个通项公式是针对(a+b)n 这个标准形式而言的, 对于(b+a)n 的展开式,Tk+1=Cnkbn-kak 对于的(a-b)n 展开式 Tk+1=Cnkan-k(-b)k 这表明它们与标准形式的通项公式是有区别的。 教学中应强调,由于其通项一般记为 Tr ?1 ,r 不是项数, r+1 才是项数;反过来,当已 知项数时,将它减去 1,才得到 r。 (二)主要思想方法 ☆ 解排列组合应用题的基本思路: ① 乘法原理与加法原理使用方法有两种:①单独使用;②联合使用。 ② 将具体问题抽象为排列组合问题,是解排列组合问题的关键一步 ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题,其前提是“正难则反” ; ☆.解排列组合题的基本方法: ① 对于带限制条件的排列问题,通常从以下两种途径考虑: 元素分析法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 二、应知应会知识 1. 会根据两个原理解决有关分配决策的问题(要正确区分分类和分步) (1) 5 位高中毕业生, 准备报考 3 所高等院校, 每人报且只报一所, 不同的报名方法共有 ( 3 5 A. 15 种 B. 8 种 C. 5 种 D. 3 种
0 1 n n 0 2 4 1 3 n-1



(2) 四名医生分配到三所医院工作,每所医院至少一名,则不同的分配方案有_______种.

(3) 有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担 这三项任务,不同的选法共有( ) A. 1260 种 B. 2025 种 C. 2520 种 D. 5040 种

2.会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题 (1)不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁两种不能排 在一起,则不同的排法种数共有( ) A.12 种 B.20 种 C.24 种 D.48 种
2

(2)5 人站成一排,其中 A 不在左端也不和 B 相邻的排法种数为( A.48 B.54 C.60

) D.66

(3)用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 和 2 相邻,3 与 4 相邻, 5 与 6 相邻,而 7 与 8 不 相邻,这样的八位数共有 个.(用数字作答) .

3.会求某些元素按指定顺序排列的问题 (1)七个人排成一行,则甲在乙左边(不一定相邻)的不同排法数有_________种.

(2)某工程队有 6 项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工 程丙必须在工程乙完成后进行,又工程丁必须在丙完成后立即进行,那么安排这 6 项工程的 不同的排法种数是__________.(用数字作答)

(3) 今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有_______ 种不同的方法(用数字作答).

4.会解与平均分组和非平均分组有关的问题 (1)从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台, 则不同的取法共有( ) A. 140 种 B. 84 种 C. 70 种 D. 35 种

(2) 将 9 个人 (含甲、 乙) 平均分成三组, 甲、 乙分在同一组, 则不同分组方法的种数为 ( A.70 B.140 C.280 D.840



5.会解其它有限制条件的排列组合问题 (要注意使用最常用、最本原的方法------列举法) (1 )在 1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 ( ) A. 36 个 B. 24 个 C. 18 个 D. 6 个

3

(2)电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要求首 尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示).

(3)以正方体的顶点为顶点,能作出的三棱锥的个数是(
3 A. C4 1 3 C7 B. C8 1 3 C7 -6 C. C8

) D. C84 ? 12

(4)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四 张贺年卡不同的分配方式有( ) A. 6 种 B. 9 种 C. 11 种 D. 23 种

(5)设有编号为 1、2、3、4、5 的五个球和编号为 1、2、3、4、5 的五个盒子,现将这五个 球投入这五个盒内,要求每个盒内投放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相 同,则这样投放的方法总数为 ( ) A. 20 B. 30 C. 60 D. 120
A B C D

(6)用六种不同颜色,给图中 A、B、C、D、四块区域涂色,允许同一种颜色 涂不同区域,但相邻区域不能涂同一种颜色,共有________种不同的涂法.

6.会将所给的二项式展开或合并 (1)计算: ( x ? 1) 5 ? 5( x ? 1) 4 ? 10( x ? 1) 3 ? 10( x ? 1) 2 ? 5( x ? 1) =___________.

1 2 3 2 n n ?1 ? Cn 6 ? Cn 6 ? ? ? Cn 6 ? _____________. (2)设 n ? N ? ,则 C n

7.会求二项式的展开式的指定项(要注意区分“第 n 项”、“第 n 项的系数”、“第 n 项的二 项式系数”等概念的不同;会灵活运用二项式系数的性质解题) 2 1 (1)若 ( 3 x ? )n 展开式中含 3 x 的项是第 8 项,则展开式中含 的项是( ) x x A.第 8 项 B.第 9 项 C.第 10 项 D.第 11 项
4

(2)若 ?1 ? 2 x ? 展开式中的第 2 项小于第 1 项,且第 2 项不小于第 3 项,则实数 x 的取值范围是
5



) A. x> ?
1 10

B. ?

1 <x ? 0 10

C. ?

1 1 ? x< ? 4 10

D. ?

1 ?x? 0 4

(3) 设 k=1,2,3,4,5, 则(x+2)5 的展开式中 x k 的系数不可能是 A . 10 B . 40 C . 50

( C) D . 80

(4)在(1+x)+(1+x)2+……+(1+x)6 的展开式中,x 2 项的系数是 作答).

.(用数字

5 (5)已知 ( x cos ? ? 1)5 的展开式中 x 2 的系数与 ( x ? ) 4 的展开式中 x 3 的系数相等,则 cos ? = 4 _________.

2 1 (6) ( x 3 ? ) 4 ? ( x ? ) 8 的展开式中整理后的常数项等于 x x

.

(7) ( x ?

1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是 3x

A. 0

B. 2

C. 4

D. 6

8.会求展开式的系数和,能正确使用赋值法解题
? 1 ? 1 (1) 如果 ? 3 x ? 3 2 ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是( x x ? ?
n



A. 7

B. ?7

C. 21

D. ?21

2006 (2)在 (x- 2 ) 的二项展开式中, 含 x 的奇次幂的项之和为 S, 当 x= 2 时, S 等于 ( A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009



5

(3) 若 (2 ? x)10 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a10 x10 ,则 则① a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a10 = ______________; ② a1 ? a2 ? ??? ? a10 =__________________; ③ a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a9 ? a10 =_____________; ④ a8 =___________. 课后作业 一、选择题(每小题有四个选项,只有一个是正确的,共 40 分) 1.某公司员工义务献血,在体检合格的人中,O 型血的有 10 人,A 型血的有 5 人,B 型血的 有 8 人,AB 型血的有 3 人,从四种血型的人中各选 1 人去献血,不同的选法种数为( D ) A、26 B、300 C、600 D、1200 * 2.n∈N ,则(20-n)(21-n)??(100-n)等于 ( C)
80 A. A100 ?n 20? n B. A100 ?n 81 C. A100 ?n 81 D. A20 ?n

3、设东、西、南、北四面通往山顶的路各有 2、3、3、4 条路,只从一面上山,而从任意一面 下山的走法最多,应 (D ) A、从东边上山 B、从西边上山 C、从南西上山 D、从北边上山 4、在(1-x) -(1-x) 的展开式中,含 x 的项的系数是 A、-5 B、 5 C、10 D、-10
5 6 3

(C)

5、有 4 名男生 3 名女生排成一排,若 3 名女生中有 2 名站在一起,但 3 名女生不能全排在一 起,则不同的排法种数有 A、2880
4

( A ) C、3200 D、3600 (B)

B、3080

6.若 ?1 ? x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 的值为

A.0 B.15 C.16 D.17 7.从 3 名男生和 2 名女生中选出 3 名代表去参加辩论比赛,则所选出的 3 名代表中至少有 1 名女生的选法共有 (A) A. 9 种 B. 10 种 C. 12 种 D. 20 种

8.三张卡片的正反面上分别写有数字 0 与 2,3 与 4,5 与 6,把这三张卡片拼在一起表示一 个三位数,则三位数的个数为 A. 36 9、 B.40 C.44 D.48 ( (D)4 项
6

( B)

?

x?3 x

?

12

展开式中含 x 的正整数次幂的项共有 (B)2 项 (C)3 项

C)

(A)1 项

10、从 6 人中选 4 人分别去北京,上海,广州,重庆四个城市游览,每人只去一个城市游览,

但甲,乙两人都不去北京,则不同的选择方案有 A、300 种 B、240 种 C、144 种 D、96 种

( B)

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11、在 ( x ? a)10 的展开式中, x 7 的系数是 15,则实数 a = -0.5 ; 12、 (1 ? x3 )(1 ? x)10 的展开式中, x 5 的系数是 207 ; (用数字作答)

13、3 名老师带领 6 名学生平均分成三个小组到三个工厂进行社会调查,每小组有 1 名老师和 2 名学生组成,不同的分配方法有 540 种。 (用数字作答)

14、体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1、2、3 的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数 不少于其编号,则不同的放法有____10____种。 15、一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球,若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少于 8 分的取法有__66__种 (用数字作答).

7


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