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三角函数公式大全


高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义 1.1 三角形中的定义

图 1 在直角三角形中定义三角函数的示意图 在直角三角形 ABC,如下定义六个三角函数:

?

正弦函数

?

余弦函数

?

正切函数

?

余切函数

?

正割函数

?

余割函数

1.2 直角坐标系中的定义

图 2 在直角坐标系中定义三角函数示意图 在直角坐标系中,如下定义六个三角函数:

?

正弦函数

?

余弦函数

r

?

正切函数

?

余切函数

?

正割函数

?

余割函数

2 转化关系 2.1 倒数关系

2.2 平方关系

2 和角公式

3 倍角公式、半角公式 3.1 倍角公式

3.2 半角公式

3.3 万能公式

4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式

证明过程 首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》) 因为 sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式) 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式) 将正弦的和角、差角公式相加,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化和差公式”之一) 同样地,运用诱导公式 cosα=sin(π/2-α),有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(余弦和角公式) 那么 cos(α-β) =cos[α+(-β)] =cosαcos(-β)-sinαsin(-β) =cosαcosβ+sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(余弦差角公式) 将余弦的和角、差角公式相减,得到 cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ 则

sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2(“积化和差公式”之二) 将余弦的和角、差角公式相加,得到 cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ 则 cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2(“积化和差公式”之三) 这就是积化和差公式: sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2 sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2 cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2

4.2 和差化积公式

部分证明过程: sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα)/(cosαcosβcosαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)]=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

诱导公式
? ? ?

sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(pi/2-a)=cos(a)

? ? ? ? ? ? ? ?

cos(pi/2-a)=sin(a) sin(pi/2+a)=cos(a) cos(pi/2+a)=-sin(a) sin(pi-a)=sin(a) cos(pi-a)=-cos(a) sin(pi+a)=-sin(a) cos(pi+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinA/cosA

两角和与差的三角函数
? ? ? ? ? ?

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b)) tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))

三角函数和差化积公式
? ? ? ?

sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)?sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

积化和差公式
? ? ?

sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]

二倍角公式
? ?

sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)

半角公式
? ? ?

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

万能公式
? ? ?

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))

其它公式
?

a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,

tan(c)=b/a]
?

a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,

tan(c)=a/b] ? 1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 ? 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 其他非重点三角函数
? ?

csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)

双曲函数
? ? ?

sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)

常用公式表(一)
1。乘法公式

(1) (a+b)?=a2+2ab+b2

(2)(a-b)?=a?-2ab+b? (3)(a+b)(a-b)=a? -b? (4)a?+b?=(a+b)(a?-ab+b?) (5)a?-b?=(a-b)(a?+ab+b?) 2、指数公式:
0

(1)a =1 (a≠0)

1 P ?P (2)a = a (a≠0)

m n (3)a = a

n m

(4)a a =a

m

n

m?n

am n m n m?n (5)a ÷a = a =a

(6) (a ) =a

m

n

mn

(7) (ab) =a b

n

n

n

a a n n (8) (b ) =b

n
2 (9) ( a ) =a

(10) a 2 =|a| 3、指数与对数关系: (1)若a =N,则 b ? loga N
b b

(2)若10 =N,则b=lgN

(3)若 e b =N,则b=㏑N 4、对数公式: (1) loga a b ? b , (3) log a N ? (6) ln
ln N ln a
b
ln N

㏑e =b

(2) a log aN ? N ,e

=N

(4) a b ? e b ln a

(5) ln MN ? ln M ? ln N
n 1 (8)㏑ M = ln M n

M ? ln M ? ln N N

(7) ln M n ? n ln M

α

5、三角恒等式: (1) (Sinα )?+(Cosα )?=1 (2)1+(tanα )?=(secα )? sin ? cos ? ? tan ? ? cot ? (3)1+(cotα )?=(cscα )? (4) (5) cos ? sin ? 1 1 1 (6) cot ? ? (7) csc ? ? (8) sec ? ? tan ? cos ? cos ? 6、特殊角三角函数值: ? 0

? 6
1 2

? 4

? 3

? 2
1 0

3? 2

2?

sina

0

2 2

3 2

--1

0

cosa

1

3 2
3 3

2 2
1

1 2
3
3 3

0

--1

0

1

tana

0



0

--∞

0

cota



3

1

0

--∞

0



7.倍角公式: (1) sin 2? ? 2 sin ? cos ? (2) tan 2? ?
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

(3) cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? 8.半角公式(降幂公式) :

1 ? cos a ? 2 2 (1) ( sin ) =
2

1 ? cos a ? 2 (2) ( cos ) =
2

2

1 ? cos a sin a ? (3) tan = sin a = 1 ? cos a
2

9、三角函数与反三角函数关系: (1)若x=siny,则y=arcsinx (2)若x=cosy,则y=arccosx (3)若x=tany,则y=arctanx (4)若x=coty,则y=arccotx 10、函数定义域求法:

(1)分式中的分母不能为0, (2)负数不能开偶次方, (3)对数中的真数必须大于0,

1 (a
( a ( loga N

α ≠0) α ≥0) N>0)

(4)反三角函数中arcsinx,arccosx的x满足: (--1≤x≤1) (5)上面数种情况同时在某函数出现时,此时应取其交集。 11、直线形式及直线位置关系: (1) 直线形式:点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? 斜截式:y=kx+b

x ? x1 y ? y1 ? y ? y1 x 2 ? x1 两点式: 2

(2)直线关系: l1 : y ? k1 x ? b1

l 2 : y ? k 2 x ? b2

平行:若 l1 // l 2 ,则 k1 ? k 2 垂直:若 l1 ? l 2 ,则 k1 ? k 2 ? ?1

常用公式表(二) 1、求导法则: (1 ) (u+v) =u +v (3) (cu) =cu
/ / /
/ / /

(2) (u-v) =u -v
/ /

/

/

/

(4) (uv) =uv +u v 2、基本求导公式:

? ? u ? u ?v ? uv ? (5) ? ? ? v2 ?v?
x / x

(1) (c) =0

/

(2) (x ) =ax

a

/

a ?1

(3) (a ) =a lna

(4) (e ) =e

x

/

x

1 / (5) (㏒ a x) = x ln a
/

1 / (6) (lnx) = x
/

( 7) (sinx) =cosx

(8) (cosx) =-sinx

1 2 / 2 (9) (tanx) = (cos x) =(secx) 1 2 / 2 (10) (cotx) =- (sin x) =-(cscx)
(11)(secx) =secx*tanx
/

(12)(cscx) =-cscx*cotx

/

1
/ (13)(arcsinx) = 1 ? x

1
2
/ (14)(arccosx) =- 1 ? x

2

1 2 (15)(arctanx) = 1 ? x
/

? (16) ?arc cot x ? ? ?

1 1? x2

3、微分 (1)函数的微分:dy=y dx (2)近似计算:|Δ x|很小时,f ?x0 ? ?x? =f(x 0 )+f (x 0 )* ?x
/
/

4、基本积分公式 (1)

?

kdx=kx+c

(2) ? x a dx ?

1 x a ?1 ? C a ?1

? dx ? ln x ? c (3) x
e (5) ?
x

1

(4) ? a x dx ?

ax ?C ln a

dx ? e x ? c

(6) ? sin xdx ? ? cos x ? C (8) ? sec 2 xdx ? ?
1 dx ? tan x ? C cos 2 x

(7) ? cos xdx ? sin x ? C

csc ? (9)

2

xdx ? ?

1 dx ? ? cot x ? c sin 2 x 1 dx ? arctan x ? c ? 2 1 ? x (11)

(10)

?

1 1? x
2

dx ? arcsin x ? c

5、定积分公式: (1)

?

b

a

f ( x)dx ? ? f (t )dt
a
a

b

(2)

?

a

a

f ( x)dx ? 0
c b

(3) ? f ?x ?dx ? ?? f ?x ?dx
b a b

(4)

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c

(5)若f(x)是[-a,a]的连续奇函数,则

?

a

?a

f ( x)dx ? 0

(6)若f(x)是[-a,a]的连续偶函数,则:

??a f ( x)dx ? 2?0

a

a

f ( x)dx

6、积分定理:

? x (1) ?? f ?t ?dt? ? f ?x ? ? ? ?a ?

?2?? f ?t ?dt? ??a ? x ? ?
? ?

b? x ?

?

? f ?b?x ??b??x ? ? f ?a?x ??a ??x ?
b

(3) 若F (x) 是f (x) 的一个原函数, 则? 7.积分表

a

f ( x)dx ? F ( x) b a ? F (b) ? F (a)

?1?? sec xdx ? ln sec x ? tan x ? C

?2?? csc xdx ? ln csc x ? cot x ? C

?3??

1 1 x dx ? arctan ? C 2 a a a ?x
2

?4??

x dx ? arcsin ? C a a2 ? x2

1

?5??

1 1 x?a dx ? ln ?C 2 2a x ? a x ?a
2

8.积分方法

?1? f ?x? ?

ax ? b ;设: ax ? b ? t

?2? f ?x? ?

a 2 ? x 2 ;设: x ? a sin t

f ?x ? ? x 2 ? a 2 ;设: x ? a sect f ?x ? ? a 2 ? x 2 ;设: x ? a tan t

?3? 分部积分法: ? udv ? uv ? ? vdu


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