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《备战2014数学高考》2014


[键入文字] 2014 年高三数学一轮复习(新课标)

4-6 正弦定理和余弦定理 【基础巩固强化】 1.(2011·重庆理)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b)2-c2=4,且

C=60°,则 ab 的值为(
4 A. 3 C.1 [答案] A

) B.8-4 3 2 D. 3

[解析] 在△ABC 中,C=60°, ∴a2+b2-c2=2abcosC=ab, ∴(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4, 4 ∴ab= ,选 A. 3 2.(文)在△ABC 中,已知 A=60°,b=4 3,为使此三角形只有一解,a 满足的条件 是( ) A.0<a<4 3 C.a≥4 3或 a=6 [答案] C [解析] ∵b·sinA=4 3·sin60°=6, ∴要使△ABC 只有一解,应满足 a=6 或 a≥4 3. 如图 B.a=6 D.0<a≤4 3或 a=6

顶点 B 可以是 B1、B2 或 B3. (理)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 a=2,b=2 2,且三角形有 两解,则角 A 的取值范围是( )

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? π? A.?0, ? 4? ? ?π 3π? C.? , ? ?4 4 ?
[答案] A

?π π? B.? , ? ?4 2? ?π π? D.? , ? ?4 3?

[解析] 由条件知 bsinA<a,即 2 2sinA<2,∴sinA< π ∵a<b,∴A<B,∴A 为锐角,∴0<A< . 4

2 , 2

3.(2011·深圳二调)在△ABC 中,已知 a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边,且

a=4,b=4 3,∠A=30°,则∠B 等于(
A.30° C.60° [答案] D

) B.30°或 150° D.60°或 120°

a b 4 4 3 3 [解析] 由正弦定理得 = ,所以 = ,sinB= .又 0°<B<180°, sinA sinB sin30° sinB 2
因此有 B=60°或 B=120°,选 D. 4.(文)(2011·浙江文)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 acosA=

bsinB,则 sinAcosA+cos2B=(
1 A.- 2 C. -1 [答案] D

) 1 B. 2 D. 1

[解析] 由 acosA=bsinB 可得,sinAcosA=sin2B =1-cos2B, 所以 sinAcosA+cos2B=1. (理)(2011·辽宁理)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,asinAsinB+

b bcos2A= 2a,则 =( a
A.2 3 C. 3 [答案] D

) B.2 2 D. 2

[解析] ∵asinAsinB+bcos2A= 2a, ∴sin2AsinB+sinBcos2A= 2sinA,

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∴sinB= 2sinA,∴b= 2a,∴ = 2. 5.(文)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c.若∠C=120°,c= 2a, 则( ) A.a>b C.a=b [答案] A [解析] ∵∠C=120°,c= 2a,c2=a2+b2-2abcosC ∴a2-b2=ab, 又∵a>0,b>0,∴a-b= B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定

b a

ab >0,所以 a>b. a+b

(理)在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列, ∠B=30°,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 [答案] C [解析] 1 1 acsinB= ,∴ac=2, 2 2 ) B.3+ 3 D.2+ 3

又 2b=a+c,∴a2+c2=4b2-4, 3+ 3 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得,b= . 3 6.(文)(2011·福建六校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 c =4 2,B=45°,面积 S=2,则 b 等于( A.5 C. 41 [答案] A 1 [解析] 由于 S= acsinB=2,c=4 2,B=45°, 2 可解得 a=1, 根据余弦定理得, ) B. 113 2

D.25

b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×4 2×

2 =25, 2

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所以 b=5,故选 A. (理)在△ABC 中,面积 S=a2-(b-c)2,则 cosA=( 8 A. 17 13 C. 15 [答案] B [解析] 15 B. 17 13 D. 17 )

S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccosA= bcsinA,∴sinA=4(1-

1 2

15 cosA),16(1-cosA)2+cos2A=1,∴cosA= . 17 7.(2011·福建文)若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于 ________. [答案] 2 1 1 3 [解析] 由 S= BC·ACsinC 知 3= ×2×ACsin60°= AC,∴AC=2, 2 2 2 ∴AB2=22+22-2×2×2cos60°=4,∴AB=2. 8.(文)(2011·河南质量调研)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c, 且满足 cos = ,AB·AC=3,则△ABC 的面积为________. 2 5 [答案] 2 [解析] → → 3 4 2 依题意得 cosA =2cos -1= ,∴sinA = 1-cos A = ,∵ AB · AC = 2 5 5
2

A 2 5





A

AB·AC·cosA=3,∴AB·AC=5,∴△ABC 的面积 S= AB·AC·sinA=2.
(理)(2010·上海模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(-1,0),C(1,0),顶

1 2

x 2 y2 sinA+sinC 点 B 在椭圆 + =1 上,则 的值为________. 4 3 sinB
[答案] 2 [解析] 由题意知△ABC 中,AC=2,BA+BC=4, sinA+sinC BC+BA 由正弦定理得 = =2. sinB AC 9.(文)(2011·济南外国语学校质检)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、

c,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则∠A 的大小为________.

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[答案]

π 6

π [解析] ∵sinB+cosB= 2sin(B+ )= 2, 4 π ∴sin(B+ )=1, 4 π ∵0<B<π,∴B= , 4 2× 2 2 1 = , 2 2

asinB ∵ = ,∴sinA= = sinB sinA b
π ∵a<b,∴A<B,∴A= . 6

b

a

(理)在锐角△ABC 中,边长 a=1,b=2,则边长 c 的取值范围是________. [答案] 3<c< 5

[解析] 边 c 最长时(c≥2), cosC=

a2+b2-c2 1+4-c2 = >0, 2ab 2×1×2

∴c2<5.∴2≤c< 5. 边 b 最长时(c<2),cosB= ∴c2>3.∴ 3<c<2. 综上, 3<c< 5. 10. (文)(2011· 沈阳模拟)△ABC 中, 、 、 分别是角 A、 、 的对边, a b c B C 向量 m=(2sinB,2 π B -cos2B),n=(2sin2( + ),-1),且 m⊥n. 4 2 (1)求角 B 的大小; (2)若 a= 3,b=1,求 c 的值. [解析] (1)∵m⊥n,∴m·n=0, π B ∴4sinB·sin2( + )+cos2B-2=0, 4 2 π 2sinB[1-cos( +B)]+cos2B-2=0, 2 ∴2sinB+2sin2B+1-2sin2B-2=0, 1 ∴sinB= . 2

a2+c2-b2 1+c2-4 = >0, 2ac 2c

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π 5 ∵0<B<π,∴B= 或 π. 6 6 π (2)∵a= 3>b,∴此时 B= , 6 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB, ∴c2-3c+2=0,∴c=2 或 c=1. (理)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(2sinB,- 3),n =(cos2B,2cos2 -1)且 m∥n. 2 (1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值. [分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数, 利用三角恒等变换 知识解决;(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决. [解析] (1)∵m∥n, ∴2sinB?2cos2 -1?=- 3cos2B, 2 ? ? ∴sin2B=- 3cos2B,即 tan2B=- 3, 又∵B 为锐角,∴2B∈(0,π), 2π π ∴2B= ,∴B= . 3 3 π (2)∵B= ,b=2, 3 ∴由余弦定理 cosB=

B

?

B

?

a2+c2-b2 得, 2ac

a2+c2-ac-4=0,
又∵a2+c2≥2ac,∴ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立),

S△ABC= acsinB=

1 2

3 ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立). 4

[点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起,题目新颖精巧,难度也 不大,即符合在知识“交汇点”处命题,又能加强对双基的考查,特别是向量的坐标表示及 运算, 大大简化了向量的关系的运算, 该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算 后转化为三角函数问题,然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解. 【能力拓展提升】 11.(文)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,若 a=2bcosC,则此三角形 一定是( )

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A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 [答案] C

B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

[解析] 因为 a=2bcosC,所以由余弦定理得:

a2+b2-c2 a=2b× ,整理得 b2=c2,∴b=c, 2ab
∴则此三角形一定是等腰三角形. [点评] 也可以先由正弦定理,将 a=2bcosC 化为 sinA=2sinBcosC,利用 sinA=sin(B +C)代入展开求解. (理)(2011· 郑州六校质量检测)△ABC 中, A、 、 所对的边分别为 a、 、, <cosA, 角 B C b c 若 则△ABC 为( ) B.直角三角形 D.等边三角形

c b

A.钝角三角形 C.锐角三角形 [答案] A

sinC [解析] 依题意得 <cosA,sinC<sinBcosA,所以 sin(A+B)<sinBcosA,即 sinBcosA sinB +cosBsinA-sinBcosA<0, 所以 cosBsinA<0.又 sinA>0, 于是有 cosB<0, 为钝角, ABC B △ 是钝角三角形,选 A. 12.(文)(2011·深圳二调)已知△ABC 中,∠A=30°,AB,BC 分别是 3+ 2, 3- 2的等差中项与等比中项,则△ABC 的面积等于( A. 3 2 3 或 3 2 B. ) 3 4 3 3 或 2 4

C.

D.

[答案] D [解析] 依题意得 AB= 3,BC=1,易判断△ABC 有两解,由正弦定理得 = , sinC sinA 3 1 3 = ,即 sinC= .又 0°<C<180°,因此有 C=60°或 C=120°.当 C=60° sinC sin30° 2 1 3 时,B=90°,△ABC 的面积为 AB·BC= ;当 C=120°时,B=30°,△ABC 的面积 2 2 1 1 3 为 AB·BC·sinB= × 3×1×sin30°= .综上所述,选 D. 2 2 4 (理)(2011·泉州质检)△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 acosC,

AB

BC

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bcosB,ccosA 成等差数列,则角 B 等于(
A.30° C.90° [答案] B [解析]

) B.60° D.120°

依题意得 acosC+ccosA=2bcosB,根据正弦定理得,sinAcosC+sinCcosA=

2sinBcosB,则 sin(A+C)=2sinBcosB,即 sinB=2sinBcosB,又 0°<B<180°,所以 cosB 1 = ,所以 B=60°,选 B. 2 13.(文)(2011·四川文)在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围 是( ) π A.(0, ] 6 π C.(0, ] 3 [答案] C [解析] 根据正弦定理, 由 sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC 得 a2≤b2+c2-bc, π B.[ ,π) 6 π D.[ ,π) 3

b2+c2-a2 bc 1 根据余弦定理 cosA= ≥ = , 2bc 2bc 2
π 又 0<A<π,∴0<A≤ ,故选 C. 3 (理)(2011·豫南四校调研考试)若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值为( A.2 2 2 3 B. 3 2 )

C.

D.3 2

[答案] A 1 [解析] 设 BC=x, AC= 2x, 则 根据面积公式得 S△ABC= ×AB×BCsinB=x 1-cos2B 2 ①,根据余弦定理得 cosB= 4-x2 ? 4x

AB2+BC2-AC2 4+x2-2x2 4-x2 = = ②,将②代入①得,S△ 2AB·BC 4x 4x
128-?

ABC=

x

1-?

2



x2-12?
16

2

, 由三角形的三边关系得?

? 2x+x>2 ?x+2> 2x

, 解

得 2 2-2<x<2 2+2,故当 x=2 3时,S△ABC 取得最大值 2 2,故选 A. 14.判断下列三角形解的情况,有且仅有一解的是________.

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①a=1,b= 2,B=45°; ②a= 5,b= 15,A=30°; ③a=6,b=20,A=30°; ④a=5,B=60°,C=45°. [答案] ①④ [解析] ①一解,asinB= 2 <1< 2,有一解. 2

②两解,b·sinA=

15 < 5< 15,有两解; 2

③无解,b·sinA=10>6,无解. ④一解,已知两角和一边,三角形唯一确定. 15. (文)(2011· 江西文)在△ABC 中, A、 、 的对边是 a、 、 , 角 B C b c 已知 3acosA=ccosB +bcosC. (1)求 cosA 的值; 2 3 (2)若 a=1,cosB+cosC= ,求边 c 的值. 3 [解析] (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2+b2-2abcosC
有 ccosB+bcosC=a,代入已知条件得 3acosA=a, 1 即 cosA= . 3 1 2 2 (2)由 cosA= 得 sinA= , 3 3 1 2 2 则 cosB=-cos(A+C)=- cosC+ sinC, 3 3 2 3 代入 cosB+cosC= 得 cosC+ 2sinC= 3,从而得 3 sin(C+φ)=1,其中 sinφ= 3 6 π ,cosφ= (0<φ< ), 3 3 2

π 6 则 C+φ= ,于是 sinC= , 2 3 由正弦定理得 c=

asinC 3 = . sinA 2

cosA-2cosC (理)(2011·山东文)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 cosB

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2c-a = .

b

sinC (1)求 的值; sinA 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4 [解析] (1)由正弦定理 = = =2R 知, sinA sinB sinC cosA-2cosC 2·2RsinC-2RsinA = ,即 cosAsinB-2cosCsinB=2cosBsinC-cosBsinA, cosB 2RsinB 即 sin(A+B)=2sin(B+C), sinC 又由 A+B+C=π知,sinC=2sinA,所以 =2. sinA sinC (2)由(1)知 =2,∴c=2a, sinA 则由余弦定理得 b2=a2+(2a)2-2·a·2acosB=4a2 ∴b=2a, ∴a+2a+2a=5,∴a=1,∴b=2. 16.(文)已知 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的角,向量 m=(sinA,sinB),

a

b

c

n=(cosB,cosA),且 m·n=sin2C.
(1)求角 C 的大小; → → → (2)若 sinA,sinC,sinB 成等差数列,且CA·(AB-AC)=18,求边 c 的长. [解析] (1)m·n=sinA·cosB+sinB·cosA=sin(A+B). 在△ABC 中,由于 sin(A+B)=sinC. ∴m·n=sinC. 又∵m·n=sin2C, ∴sin2C=sinC,∴2sinCcosC=sinC. 1 π 又 sinC≠0,所以 cosC= .而 0<C<π,因此 C= . 2 3 (2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列得, 2sinC=sinA+sinB, 由正弦定理得,2c=a+b. → → → → → ∵CA·(AB-AC)=18,∴CA·CB=18.

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1 即 abcosC=18,由(1)知,cosC= ,所以 ab=36. 2 由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC =(a+b)2-3ab. ∴c2=4c2-3×36,∴c2=36.∴c=6. 1 (理)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 acosC+ c=b. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 的周长 l 的取值范围. 1 [解析] (1)由 acosC+ c=b 得, 2 1 sinAcosC+ sinC=sinB, 2 又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 1 ∴ sinC=cosAsinC, 2 1 ∵sinC≠0,∴cosA= , 2 π 又∵0<A<π,∴A= . 3 (2)解法 1:由正弦定理得:b= 2

asinB 2 2 = sinB,c= sinC sinA 3 3

l=a+b+c=1+
=1+ 2

(sinB+sinC) 3

(sinB+sin(A+B)) 3

=1+2?

1 ? 3 ? ? π? sinB+ cosB?=1+2sin?B+ 6 ? 2 ? ? ?2 ?

π ? 2π?,∴B+π∈?π,5π?, ∵A= ,∴B∈?0, 3 ? 6 ? 3 6 ?6 ? ? ? ?

? π? ? 1 ? ∴sin?B+ ?∈? ,1?. 6 ? ?2 ? ?
故△ABC 的周长 l 的取值范围是(2,3]. 解法 2:周长 l=a+b+c=1+b+c 由(1)及余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA, ∴b2+c2=bc+1,

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∴(b+c)2=1+3bc≤1+3?

?b+c?2,∴b+c≤2, ? ? 2 ?

又 b+c>a=1,∴l=a+b+c∈(2,3], 即△ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3]. 【备选】 1 3 10 1.在△ABC 中,tanA= ,cosB= ,若最长边为 1,则最短边的长为( 2 10 4 5 A. 5 2 5 C. 5 [答案] D [解析] 由 tanA>0,cosB>0 知 A、B 均为锐角, 1 π 3 10 3 ∵tanA= <1,∴0<A< ,cosB= > , 2 4 10 2 π ∴0<B< ,∴C 为最大角, 6 3 10 1 由 cosB= 知,tanB= ,∴B<A,∴b 为最短边, 10 3 由条件知,sinA= 1 2 1 ,cosA= ,sinB= , 5 5 10 3 5 B. 5 D. 5 5 )

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB = 1 3 2 1 2 × + × = , 2 5 10 5 10

b c b 1 5 由正弦定理, = 知, = ,∴b= . sinB sinC 1 5 2 10 2
2.

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(2011·天津理)如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC =2BD,则 sinC 的值为( A. 3 3 6 3 ) B. 3 6 6 6

C.

D.

[答案] D [解析] 如图,根据条件,设 BD=2,则 AB= 3=AD,BC=4.在△ABC 中,由正弦 3 4 定理得, = , sinC sinA

在△ABD 中,由余弦定理得, 3+3-4 1 2 2 cosA= = ,∴sinA= , 3 2× 3× 3 3 2 2 3× 3 3sinA 6 ∴sinC= = = ,故选 D. 4 4 6 3.(2011·广州一测)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知 c π =3,C= ,a=2b,则 b 的值为________. 3 [答案] 3

π [解析] 依题意及余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC, 9=(2b)2+b2-2×2b×bcos , 即 3 解得 b2=3,∴b= 3. 4.(2011·安阳月考)在△ABC 中,C=60°,a、b、c 分别为 A、B、C 的对边,则 +

a b+c

b =________. c+a
[答案] 1

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[解析] ∵C=60°,∴a2+b2-c2=ab, ∴(a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c), ∴

a b + =1. b+c a+c


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