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高中数学 3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件 新人教A版选修1-1


3.2.2
基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则

基本初等函数的导数公式:
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x ) ? ln x, 则f '( x ) ? ; x

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即: ?

? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x)?g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

? [例1] 求下列函数的导数: (1)y=(x+1)2(x-1); (2)y=x2sinx; 1 2 3 (3)y= x+x2+x3;
2 (4)y=xtanx-cosx.

? [ 解析] (1)方法一: y′=[(x+1)2]′(x-1)+ (x + 1)2(x - 1)′ = 2(x + 1)(x - 1) + (x + 1)2 = 3x2+2x-1. 方法二: y=(x2+ 2x+1)(x- 1)=x3+ x2-x - 1, y′=(x3+x2-x-1)′=3x2+2x-1. (2)y′ = (x2sinx)′ = (x2)′sinx + x2(sinx)′ = 2xsinx +x2cosx. ?1 2 3? -1 -2 -3 -2 ? ? + + (3)y′= x +3· x )′=-x 2 3 ′= (x + 2· x? ?x x
1 4 9 -4x -9x =- 2- 3- 4. x x x
-3 -4

?xsinx-2? ?xsinx 2 ? ? (4)y′=? cosx -cosx?′=? ′ ? ? ? ? ? cosx ?

(xsinx-2)′cosx+(xsinx-2)sinx = 2 cos x (sinx+xcosx)cosx+xsin2x-2sinx = cos2x sinxcosx+x-2sinx x 2tanx = =tanx+ 2 - . cos2x cos x cosx

[点评] 较为复杂的求导运算,一般综合了 和、差、积、商的几种运算,要注意:(1)先 将函数化简;(2)注意公式法则的层次性.

练习:求下列函数的导数:
(1)y=x?-2x+3 2 3 (2)y= -2+ -3 x x
2

(1)y′ =3x?-2 (2)y′ =4x+9x?

(3) y′ =18 x ? - 8 x + 9 (3)y=(2x +3)(3x-2) (4) y′=1-1/2cosx

x x (4)y=x-sin · cos 2 2

[例 2] 求函数 y=sin +cos 的导数. 4 4
[解析]
2x

4x

4x

∵y=sin 4+cos 4
2x 2 2x 2x

4x

4x

=(sin 4+cos 4) -2sin 4cos 4 1 2x 1 1-cosx 3 1 =1- sin =1- · = + cosx, 2 2 2 2 4 4
?3 1 ? 1 ? ? ∴y′= 4+4cosx ′=- sinx. 4 ? ?

? [点评] 不加分析,盲目套用求导法则, 会给运算带来不便,甚至导致错误.在求 导之前,对三角恒等式先进行化简,然后 再求导,这样既减少了计算量,也可少出 差错.
x 2x 练习:求函数 y=-sin (1-2sin )的导数. 2 4
y′=-1/2cosx.

1 4 例3.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= t 4 3 2

-4t +16t . (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) ? s?( t ) ? t 3 ? 12t 2 ? 32t , 令s?( t ) ? 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.

例4.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.

解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y? ? 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y? ? ?2( x ? 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
? 2 x1 ? ?2( x2 ? 2) ? x1 ? 0 ? x1 ? 2 ?? 或? . 因为两切线重合, ? ? 2 2 ? ? x1 ? x2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x2 ? 0

若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.

所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.

补充练习:求下列函数的导数:
1 2 (1) y ? ? 2 ; x x x (2) y ? ; 2 1? x (3) y ? tan x; (4) y ? (2 x 2 ? 3) 1 ? x 2 ;
1 4 答案: (1) y? ? ? 2 ? 3 ; x x
1 ? x2 ( 2) y ? ? ; 2 2 (1 ? x )
( 4) y ? ? 6x3 ? x 1? x
2

1 ? ( 3) y ? ; 2 cos x

;

总结:
1、熟记基本函数的导数公式 2、掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则 3、会求简单函数的导数


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