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3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)


3.1.3 二倍角的 正弦、余弦、正切公式

教学目标:

1、能从 S? ??、C? ??、T? ??、 公式推导出二倍角 2? 的正弦、余弦、正切公式, 了解它们的内在联系,领会其中体现出来的数学基本思想、方法. 2、能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。

教学重点、难点: 二倍角正弦、正切公式的推导与简单应用.

复习 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( S (? + ? ) ) ( S (? - ? ) )
( C(?-?) ) ( C(?+?) ) sin(?+?)= sin?cos?+cos?sin? sin(?-?)= sin?cos?-cos?sin?

cos(?-?)= cos?cos?+sin?sin? cos(?+?)= cos?cos?-sin?sin?
tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
? ? ? ? k? ? ? ? k? ? ? ? k? ? ? ?
2 2

?
2

(k ? Z )

( T(?+?) ) ( T(?-?) )

(k ? Z ) (k ? Z )

sin2?,cos2?,tan2?的公式吗? 在和角公式中,令?=?

探究 你能利用S(?±?)、C(?±?)、 T(?±?)推导出

sin(?+?)= sin?cos?+cos?sin?

sin(?+?)= sin?cos? +cos?sin? sin2?= 2sin?cos?
(S2?) 同样 cos(?+?)= cos?cos?-sin?sin?

cos2?= cos2?-sin2? (C2?)

tan ? ? tan ? tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? (T2?)
sin2?+cos2?= 1 sin2?=1-cos2? cos2?= cos2?-(1-cos2?)=2cos2?-1 cos2?=1-sin2? cos2?= (1-sin2?)-sin2?=1-2sin2?
在二倍角正切公式中, 只有当? ?

?
2

? k?

k? 和? ? ? , k ? Z时,公式才有意义. 4 2

?

倍角公式 sin2? = 2sin?cos?
cos2? = cos2?-sin2?

cos2? =2cos2?-1 cos2? =1-2sin2?

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

注:

1、掌握公式特征的同时,掌握二倍角函数
公式与和角的三角函数公式之间关系. 2、二倍角三角函数公式表示了一个角的三 角函数和它的二倍的角的三角函数间的关 系,不仅限于?与2?,也同样适用于?与 ?/2,或?/2与?/4等等,要注意倍数关系.

公式巩固训练
(1)sin4? = 2sin( 2? )cos( 2? ); (2)sin? = 2sin( (3)cos 6? = cos2( 3? )-sin2( 3? ) = 2cos2( 3? )-1 = 1-2sin2( 3? ); (4)cos25?-sin25?=cos( 10? ); 2 tan 2? (  5  )  ? tan(      ); 4? 2 1 ? tan 2? 3? 3? (6) sin(3    cos . ? ) ? 2 sin 2 2
1 ? 2

)cos(

1 ? 2

);

3 7 25 5 , cos 2 ? =______. 2、若 sin(? ? ? ) = 3 ,则 sin ? =_______
7 1 3、若 tan ? = ,则 tan 2 ? =______. 7 24
5

1 1 0 sin 30 ? 【预习自测】 2 4 0 0 1、求值: (1) sin 15 cos 15 =_______;? 2 cos ? 2 ? 2 ? (2) cos — sin =__________ 4 ;2 8 81 1 0 tan 45 ? tan 22.50 ( 3) =_________ ; 2 2 2 0 1 ? tan 22.5 2 0 0 2 cos 45 ? (4)2 cos 22.5 —1=__________ 。 2

【课内探究】 例 1、已知 sin ? ?
12 ? ? , ? ? ? ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值. 13 4 2

? ? 解: 由 sin ? ? 12 , ?? ?
13 4
2

5 得   cos ? ? 1 ? sin ? ? 13 12 5 120 所以 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ? ? ? 13 13 169

2

119 ? 12 ? cos 2? ? 1 ? 2 sin ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 169 ? 13 ?
2

2

sin 2? 120 169 120 tan 2? ? ? ? (? ) ?? cos 2? 169 119 119

12 ? ? 变式:(1)已知 sin 2? ? , ? ? ? ,求 sin4?,cos4?,tan4?的值. 13 4 2

? 解: 由 ? ? ? ? ? ,得  <2?<?
4 2 2

12 ? 5 ? 120 sin 4? ? 2 sin 2? cos 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 13 ? 13 ? 169 2 119 ? 12 ? 2 cos 4? ? 1 ? 2 sin 2? ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 169 ? 13 ?

5 所以   cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? 13
2

sin 4? 120 169 120 tan 4? ? ? ? ? cos 4? 169 119 119

(2)化简:① (sin ? ? cos ? )2 ; ② cos4 ? ? sin 4 ? .

解: ①原式= sin

2

? ? 2sin ? cos ? ? cos2 ?

=1+2sin ? cos ?

=1+sin 2?
②原式=

(cos ? ? sin ? ) (cos ? ? sin ? )
2 2
2 2
2 2

? cos ? ? sin ? ? cos 2?

4 例2、在?ABC 中, cosA ? , tan B ? 2, 求 tan A、 tan ?2 A ? 2 B ?的值. 5

方法一 分别算出tan2A,tan2B,再求tan(2A+2B)

4? 3 解:在△ABC中,0<A<?,得 sin A ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? ? ? ? ? 5? 5 ? sin A 3 5 3 得   tan A ? ? ? ? cos A 5 4 4
3 2? 2 tan A 4 ? 24 tan 2 A ? ? 2 7 1 ? tan 2 A 3 ? ? 1? ? ? ?4? 2 tan B 2? 2 4 tan 2 B ? ? ?? 2 2 3 1 ? tan B 1 ? 2

2

24 4 ? tan2 A ? tan 2 B 44 7 3 tan ?2 A ? 2 B ? ? ? ? 24 ? 4 ? 117 1 ? tan 2 A tan 2 B 1? ??? ? 7 ? 3?

4 例2、在?ABC 中, cosA ? , tan B ? 2, 求 tan A、 tan ?2 A ? 2 B ?的值. 5

方法二 求tan(A+B),最后求出tan2(A+B)
2

解:在△ABC中,0<A<?,得 sin A ?
sin A 3 5 3 得   tan A ? ? ? ? cos A 5 4 4

3 ?4? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? 5 ?5?

2

tan A ? tan B 11 tan ? A ? B ? ? ?? 1 ? tan A tan B 2
2 tan ? A ? B ? 44 tan ?2 A ? 2 B ? ? ? 2 1 ? tan ? A ? B ? 117

【总结提升】

倍 角 公 式

sin2? = 2sin?cos? cos2? = cos2?-sin2?

cos2? =2cos2?-1
cos2? =1-2sin2? 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

1、结构特点;

2、作用.

【反馈检测】 1、已知 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( ,? ) , 2 1

?

? 3 tan ? ? _____________ 则 cos ? ? __________ , . 2
?

3 2、已知 cos ? ? ? ,180? ? ? ? 270?, 求 sin 2? 、 cos 2? 、 tan 2? 的值. 3

6 2 2 1 sin ? ? ? ,sin 2? ? ,cos 2? ? ? , tan 2? =-2 2 3 3 3

3 tan ? ? tan 2? tan 2? ? , tan(? ? 2? ) ? ?1 4 1 ? tan ? tan 2?

1 1 3、已知 tan ? ? , tan ? ? ,求 tan(? ? 2? ) 的值. 7 3

4、化简: (1) sin x cos x cos 2 x ; 1 1 ? ( 2) . 1 ? tan ? 1 ? tan ?

1 解:(1)原式= (2sin x cos x) cos 2 x 2 = sin 2x cos 2 x 1 = sin 4x 2 (1 ? tan ? ) ? (1 ? tan ? ) (2) 原式= (1 ? tan ? )(1 ? tan ? )

2 tan ? = ? tan 2? 2 1 ? tan ?

1 5、已知 cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? = , 3

? 3? 2? ) , 求cos2?、cos(2? ? )的值. 且? ? ( , 4 2

1 1 cos[(? ? ? ) ? ? ]= ? cos ? = 3 3

8?7 2 cos(2? ? ) ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? 4 4 4 18

7 cos2? ? 2cos ? ? 1 ? ? 9
2

?

?

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