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高中数学第二章《抛物线》教案新人教A版选修2-1


2.4 抛物线 一 教学设想 1 2. 3 1 抛物线及标准方程 (1) 教具的准备 问题 1:同学们对抛物线已有了哪些认识? 在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图 象? 问题 2:在二 次函数中研究的抛物线有什么特征? 在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于 y 轴、开口向上或开口向下两种情 形.引导学生进一步思考:如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴,那么就不能作为二次函数的 图象来研究了.今天,我们突破函数研究中这个限制,从更一般意义上来研究抛物线. 通过提问来激发学生的探究欲望,首先研究抛物线的定义,教师可以用直观的教具叫 学生参与进行演示,再由学生归纳出抛物线的定义. (2) 抛物线的标准方 程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0). 下面, 我们来求抛物线的方程. 怎 样选择直角坐标系,才能使所得的方程取较简单的形式呢? 让学生议论一下,教师巡视,启发辅导,最后简单小结建立直角坐标系的方案 方案 1:(由第一组同学完成,请一优等生演板.)以 l 为 y 轴,过点 F 与直线 l 垂直的 直线为 x 轴建立直角坐标系(图 2-30).设定点 F(p,0),动点 M 的坐标为(x,y),过 M 作 MD⊥y 轴于 D,抛物线的集合为:p={M||MF|=|MD|}. 化简后得:y2=2px -p2(p>0). 方案 2:(由第二组同学完成,请一优等生演板) 以定点 F 为原点,平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31).设动点 M 的坐标为 (x,y),且设直线 l 的方程为 x=-p,定点 F(0,0),过 M 作 MD⊥l 于 D,抛物线的集合为: p={M||MF|=|MD|}. 化简得:y2= 2px+p2(p>0). 方案 3:(由第三、四组同学完成,请一优等生演板.) 取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 交于 K,以线段 KF 的垂直平分线 为 y 轴,建立直角坐标系(图 2-32). 1 抛物线上的点 M(x,y)到 l 的距离为 d,抛物线是集合 p={M||MF|=d}. 化简后得:y2=2px(p>0). (3) 例题讲解与引申 教材中选取了 2 个例题, 例 1 是让学生会应用公式求抛物线的焦点坐标和准线方程。 例 2 是应用方面的问题,关键是由题意设出抛物线的方程即可。 2 2。 3 2 抛物线的几何性质 (1) 抛物线的几何性质 下面我们类比 椭圆 、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方程 y2=2px(p>0)出发来研 究它的几何性质. (二)几何性质 怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质?以 y2=2px(p>0)为例,用小黑板给出下 表,请学生对比 、研究和填写. 2 (2) 例题的讲解与引申 例 3 有 2 种解法;解法一运用了抛物线的重要性质:抛物线上任一点到焦点的距 离(即此点的焦半径)等于此点到准线的距离.可得焦半径公式设 P(x0, 这个性 质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到,因此必须熟练掌握. (2)由焦半径不难得出焦点弦长公式: 设 AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦), 若 A(x1, y1)、B(x2,y2 )则有|AB|=x1+x2+p.特别地:当 AB⊥x 轴,抛物线的通径|AB|=2p 例 4 涉及直线与圆锥曲线相交时,常把直线与圆锥曲线方程联立,消 去一个变量,得 到关于另一变量的一元二次方程, 然后用韦达定理求解, 这是解决这类问题的一种常

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