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高中数学2.2.3直线与平面平行的性质课件新人教A版必修2


2.2.3 直线与平面平行的性质 1.掌握直线与平面平行的性质定理,明确由线面平行可推出线 线平行. 2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想. 线面平行的性质定理,用符号语言可表示为 ? ? a∥b . a?? ? ? __________ ? ? ? ? b? ? a ? 1.直线与平面平行的性质定理 l ? , l ? ? , ? ? ? ? m ? l m. 由于过l可作无数个平面β,这些平面与α的交线也都平行于l. 即若l∥α,则在α内可以找到无数条直线与l平行.(当然这无数 条直线相互平行) 2.应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知作辅助平 面,然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行. 题型一 直线与平面平行的性质定理的应用 例1:求证:如果一条直线和两个相交平面都平行.那么这条直 线和它们的交线平行. 已知:α∩β=l,a∥α,a∥β. 求证:a∥l. 分析:已知条件有线面平行关系,可利用线面平行的性质定理 转化为线线平行. 证明:证法1:如下图,过a作平面γ交α于b. ∵a∥α,∴a∥b. 过a作平面ε交平面β于c. ∵a∥β,∴a∥c,∴b∥c. 又b β且 c β.∴b∥β. ? 又平面α过b交β于l,∴b∥l. ∵a∥b,∴a∥l. 证法2:如下图,在l上任取一点A,过A和a作平面与α相交于l1,与 β相交于l2,则由线面平行的性质定理可知a∥l1,a∥l2. 又过一点只能作一条直线与另一条直线平行. ∴l1与l2重合. 又 l1 α,l2 ? β. ? ∴l1、l2重合于l.∴a∥l. 规律技巧:应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已知 直线的平面与已知平面的交线.本题证明2是同一法. 变式训练1:三个平面两两相交,有三条交线,如果其中有两条 交线平行,那么它们也和第三条交线平行. 已知:α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,且a∥b. 求证:a∥b∥c. 证明:∵a∥b,b 又a γ,a ? γ. ?∴a∥γ. α,α∩γ=c,∴a∥c. ∴a∥b∥c. 题型二 证明线面平行问题 例2:如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M?N分别是 AA1,CD1的中点. 求证:MN∥平面ABCD. 分析:欲证MN∥平面ABCD,由判定定理知,要在平面ABCD内 找一条直线与MN平行.由于N为CD1的中点,取CD的中点E, 连结AE,NE,证明四边形AMNE为平行四边形即可. 证明:如图,取CD的中点E,连结AE,NE,由N?E分别为CD1与CD 1 EN∥D1D,且 NE ? D1 D, 2 1 且 , AM ? D1 D 2 ∴EN∥AM,且EN=AM. ∴四边形AMNE为平行四边形, ∴MN∥AE. 又AE MN 的中点,可得 又AM∥D1D, ? 平面ABCD, ? 平面ABCD, ∴MN∥平面ABCD. 规律技巧:证线面平行想到证线线平行,证线线平行又转化为 线面平行.这种相互转化的基本思想就是证明线面关系的 有效方法. 变式训练2:如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,点 P∈BB′(不与B?B′重合).PA∩BA′=M,PC∩BC′=N,求 证:MN∥平面B′AC. 证明:如图所示,连结AC?A′C′. ∵ABCD-A′B′C′D′是长方体, ∴AC∥A′C′. ? 面BA′C′,A′C′ 平面 又AC BA′C′, ? ∴AC∥平面BA′C′. 又∵平面PAC过AC与平面BA′C′交于M

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