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2012-2013学年上海市十二校高三联考数学理科试卷(2012-12-6)


上海市十二校 2012-2013 学年第一学期高三 12 月联考数学(理科)试卷
满分:150 分;时间:120 分钟
2012 年 12 月 6 日

14 、 对 于 定 义 域 和 值 域 均 为 [0,1] 的 函 数 f(x) , 定 义 f1 ( x) ? f ( x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) , ? ,

fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ,n=1,2,3,?.满足 fn ( x) ? x 的点称为 f 的 n 阶周期点.
1 ? 0? x? , ? 2 x, ? 2 设 f ( x) ? ? 则 f 的 n 阶周期点的个数是 ?2 ? 2 x, 1 ? x ? 1, ? ? 2

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1、函数 f ( x) ? log 1 (2 x ?1) 的定义域为
2

____



2、已知角 ? 的终边过点 P(?3, 4) ,则 sin ? ? cos ? 的值为_______

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、 x ? 3 ”是“ x ? 3 ? 0 ”的 “ ???( )

1 2 3、设集合 A ? {x | ? ? x ? 2}, B ? {x x ? 1} ,则 A ? B ? _________ 2
4、若 ?≤ x ≤

?? ,则方程 2sin x ? 1 ? 0 的解 x ? 2

?? 6

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 16、函数 y ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

2 5、已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 3) x ? 3, x ? [2a ? 3,4 ? a] 是偶函数,则 a ? b ? _____.

6、已知幂函数 y ? f ( x) 存在反函数,若其反函数的图像经过点 ( ,9) ,则 f ( ) 的值是_____ 7、若等差数列 ?an ?满足 an?1 ? an ? 4n ? 3(n ? N ?). 则 a1 的值为______ 8、某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x =_____吨 9、函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ?[0, ? ]) 的值域是_______ 10、已知数列 {an } 是等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 12 , S3 ? a1 ? 6 ,则 lim S n ? ________
n ??

1 3

1 4

? ?

??

? 的图像如图所示,则 y 的表达式为( 2?
2
2 1.5 1



A. y ? 2sin ?

? 10 x ? ? ? ? ? 11 6 ?

B. y ? 2sin ?

? 10 x ? ? ? ? ? 11 6 ?
-1

0.5

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-0.5 -1

?
6

2? 3
1 2 3 4 5

?? ? C. y ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?

?? ? D. y ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?

-1.5

-2
-2

17、若 数列?an ? 满足a1 ? 2,an ?1 ?

1 ? an (n ? N * ) ,则该数列的前 2012 项的乘积 1 ? an

11、若存在实数 x ? [1, 2] 满足 2 x ? ax ? 2 ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 ..
2

a1 ? a2 ? a3 ??? a2011 ? a2012 ?
A.3. B. ?6 .

(

) D. 2

C.1

12、在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f ? x ? ? k ? x ?1? ( k ? 1 )的图像与 x 轴交于点 A ,它的反函数

18、对于数列 {an } ,若存在常数 M ,使得对任意 n ? N * , an 与 an ?1 中至少有一个不小于 M , 则记作 {an } ? M ,那么下列命题正确的是 A.若 {an } ? M ,则数列 {an } 各项均大于或等于 M C. 若 {an } ? M , {bn } ? M ,则 {an ? bn } ? 2M ( )

y ? f ?1 ? x ? 的图像与 y 轴交于点 B ,并且这两个函数的图像交于点 P .若四边形 OAPB 的面积是 3 ,
则 k ? ___________ 13、已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S10 是数列 ?Sn ? 中的唯一最小项, 则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是

2 B.若 {an } ? M ,则 {an } ? M 2

D.若 {an } ? M ,则 {2an ? 1} ? 2M ? 1

1

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤. 19、 (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分.

23、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } , 如果数列 {bn } 满足满足 b1 ? a1 , bn ? an ? an?1 (n ? 2, n ? N ) , 则称数列 {bn } 是数列 {an }
*

的“生成数列” (1)若数列 {an } 的通项为 an ? n ,写出数列 {an } 的“生成数列” {bn } 的通项公式 (2)若数列 {cn } 的通项为 cn ? An ? B , (A.、B 是常数),试问数列 {cn } 的“生成数列” {ln } 是否是等 差数列,请说明理由。

1 2x ?1 ? 0} B ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} ,且 A ? B ? {x | ? x ? 3} , A ? B ? R , , 已知 A ? {x | x?2 2
求(1) A (2)实数 a ? b 的值.

20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分

1 3 10 在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c,且 tan A ? , cos B ? 2 10
(1)求 tanC 的值; (2)若⊿ABC 最长的边为 1,求 b 边及⊿ABC 的面积

(3)已知数列 {dn } 的通项为 dn ? 2 ? n ,设 {dn } 的“生成数列”为 { pn }
n

若数列 {Ln } 满足 Ln ? ? 21、 (本题满分 14 分)本题有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解:

?d n ? pn

n是奇数 n是偶数

求数列 {Ln } 的前 n 项和 Tn

f ( x) 若函数 f ( x ) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,而 F ( x) ? 在 I 上是减函数,则称 y ? f ( x) 在 x
I 上是“弱增函数”
2 (1)请分别判断 f ( x ) = x ? 4 , g ( x) ? x ? 4x ? 2 在 x ? (1, 2) 是否是“弱增函数” ,并简要说明理由。

b 1] (2)若函数 h( x) ? x ? (sin ? ? ) x ? b ( ?、 是常数)在 (0, 上是“弱增函数” ,
2

1 2

请求出 ? 及正数 b 应满足的条件。 22、 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分.

2x ? a 已知 f ( x) ? x ( a ? R )的图像关于坐标原点对称 2 ?1
(1)求 a 的值,并求出函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ?
x

4 ? 1 的零点; 2 ?1
x

b 在 [0,1] 内存在零点,求实数 b 的取值范围 2 ?1 k?x 1 2 ?1 (3)设 g ( x) ? log 4 ,若不等式 f ( x) ? g ( x) 在 x ? [ , ] 上恒成立, 1? x 2 3
(2)若函数 h( x) ? f ( x) ? 2 ?
x x

求满足条件的最小整数 k 的值

2

上海市十二校 2012-2013 学年第一学期高三 12 月联考数学(理科)试卷 参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) ? log 1 (2 x ?1) 的定义域为
2

fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ,n=1,2,3,?.满足 fn ( x) ? x 的点称为 f 的 n 阶周期点.
1 ? 0? x? , ? 2 x, ? 2 设 f ( x) ? ? 则 f 的 n 阶周期点的个数是 ?2 ? 2 x, 1 ? x ? 1, ? ? 2

____

2n

. (? , ??)

1 2

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相

2.已知角 ? 的终边过点 P(?3, 4) ,则 sin ? ? cos ? 的值为_______ 3.设集合 A ? {x | ? 4.若 ?≤ x ≤

1 5

应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. x ? 3 ”是“ x ? 3 ? 0 ”的 “ A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 ???( )A

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 1} ,则 A ? B ? _________ {x ?1 ? x ? 2} 2
?? 6

?? ,则方程 2sin x ? 1 ? 0 的解 x ? 2
2

5.已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 3) x ? 3, x ? [2a ? 3,4 ? a] 是偶函数,则 a ? b ? _____. 2

1 1 6.已知幂函数 y ? f ( x) 存在反函数,若其反函数的图像经过点 ( ,9) ,则 f ( ) 的值是_____2 4 3
7.若等差数列 ?an ?满足 an?1 ? an ? 4n ? 3(n ? N ?). 则 a1 的值为______ ?

16.函数 y ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的图像如图所示,则 y 的表达式为( C 2?
2
2 1.5 1



1 . 2

A. y ? 2sin ?

8.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x =_____吨.20 9.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ( x ?[0, ? ]) 的值域是_______ [? 3, 2] 10.已知数列 {an } 是等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 12 , S3 ? a1 ? 6 ,则 lim S n ? ____16____
n ??

? 10 x ? ? ? ? ? 11 6 ?

B. y ? 2sin ?

? 10 x ? ? ? ? ? 11 6 ?
-1

0.5

O
-0.5 -1

?
6

2? 3
1 2 3 4 5

C. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

D. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

-1.5

-2
-2

17.若 数列?an ? 满足a1 ? 2,an ?1 ?

1 ? an (n ? N * ) ,则该数列的前 2012 项的乘积 1 ? an
( C)

11.若存在实数 x ? [1, 2] 满足 2 x ? ax ? 2 ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 ..
2

。 (??,5)

a1 ? a2 ? a3 ??? a2011 ? a2012 ?
A.3. B. ?6 . C.1 D. 2

12.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f ? x? ? k ? x ?1? ( k ? 1 )的图像与 x 轴交于点 A ,它的反函数

y ? f ?1 ? x ? 的图像与 y 轴交于点 B ,并且这两个函数的图像交于点 P .若四边形 OAPB 的面积是 3 ,则
k ? ___________.

18.对于数列 {an } ,若存在常数 M ,使得对任意 n ? N * , an 与 an ?1 中至少有一个不小于 M , 则记作 {an } ? M ,那么下列命题正确的是 A.若 {an } ? M ,则数列 {an } 各项均大于或等于 M C. 若 {an } ? M , {bn } ? M ,则 {an ? bn } ? 2M ( D )
2 B.若 {an } ? M ,则 {an } ? M 2

3 2

13.已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S10 是数列 ?Sn ? 中的唯一最小项,则 数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是

? ?30, ?27?

D.若 {an } ? M ,则 {2an ? 1} ? 2M ? 1

14 . 对 于 定 义 域 和 值 域 均 为 [0,1] 的 函 数 f(x) , 定 义 f1 ( x) ? f ( x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) , ? ,
3

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分.

c sin B b c ? ? 由正弦定理: 得b ? sin B sin C sin C

1?

10 10 ? 5 5 2 2
12 分 14 分

10 分

1 2x ?1 ? 0} B ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} ,且 A ? B ? {x | ? x ? 3} , A ? B ? R , , 已知 A ? {x | x?2 2
求(1) A (2)实数 a ? b 的值.

sin A=
S?

5 5

解:依题意 A ? ( ??,? 2) ? ( ,? ?)

1 2

1 1 cb sin A ? 2 10

4分

21. (本题满分 14 分)本题有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 若函数 f ( x ) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数, F ( x) ? 而 7 分, 是“弱增函数”
2 (1)请分别判断 f ( x ) = x ? 4 , g ( x) ? x ? 4x ? 2 在 x ? (1, 2) 是否是“弱增函数” ,并简要说明理由。

1 A 由 A ? B ? R, ? B ? {x | ? x ? 3} 得 ∴ B ? {x | ?2 ? x ? 3} 2
即方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的解是 x1 ? ?2,x2 ? 3 9分

f ( x) 在 I 上是减函数, 则称 y ? f ( x) 在 I 上 x

于是 a ? ?( x1 ? x2 ) ? ?1 , b ? x1 x2 ? ?6 , 11 分∴ a ? b ? ?7

12 分
2

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分 在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c,且 tan A ? (1)求 tanC 的值; 解: (1)? cos B ?

b 1] (2)若函数 h( x) ? x ? (sin ? ? ) x ? b ( ?、 是常数)在 (0, 上是“弱增函数” ,请求出 ? 及正数 b 应满
足的条件。 解: (1)由于 f ( x ) = x ? 4 在 (1, 2) 上是增函数,且 F ( x) = 所以 f ( x ) = x ? 4 在 (1, 2) 上是“弱增函数”

1 2

1 3 10 , cos B ? 2 10

(2)若⊿ABC 最长的边为 1,求 b 边及⊿ABC 的面积

f ( x) 4 ? 1 ? 在 (1, 2) 上是减函数, x x
3分

3 10 10 ? 0, ? B 锐角,且 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 10 10
sin B 1 ? , cos B 3
3分

2分

g ( x) ? x2 ? 4 x 在 (1, 2) 上是增函数,但
2

g ( x) ? x ? 4 在 (1, 2) 上不是减函数, x
6分

? tan B ?

所以 g ( x) ? x ? 4x ? 2 在 (1, 2) 上不是“弱增函数”

1 1 ? tan A ? tan B ? tan C ? tan ?? ? ( A ? B)? ? ? tan( A ? B) ? ? ? ? 2 3 ? ?1 1 1 1 ? tan A ? tan B 1? ? 2 3
(2)由(1)知 C 为钝角, C 是最大角,最大边为 c ? 1

b 1] (2)设 h( x) ? x ? (sin ? ? ) x ? b ( ?、 是常数)在 (0, 上是“弱增函数”
2

6分
2

1 2

1] 所以 h( x) ? x ? (sin ? ? ) x ? b 在 (0, 上是增函数,且 F ( x) =
7分 是减函数

1 2

h( x ) b 1 ? x ? ? (sin ? ? ) 在 (0,1] 上 x x 2

? tan C ? ?1,? C ? 135?,? sin C ?

2 , 2

8分

1 ?(sin ? ? ) 1 2 2 ?0 1] 由 h( x) ? x ? (sin ? ? ) x ? b 在 (0, 上是增函数得, 2 2 1 ? 5? sin ? ? ? ? [2k? ? , 2k? ? ] k ? Z 2 6 6

7分 9分

4

考察函数 F ( x) =

h( x ) b 1 ? x ? ? (sin ? ? ) 在 (0,1] 上的单调性 x x 2

由 (2x )2 ? 2x ? 6 =0,可得 2 x =2, 所以, x ? 1 ,即 F(x)的零点为 x ? 1 (2) h( x) ?

4分 5分 6分

①当 b ? 1 ,即 b ? 1 时,设 0 ? x1 ? x2 ? 1,

b 1 b 1 ( x ? x )( x x ? b) 则 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? [ x1 ? ? (sin ? ? )] ? [ x2 ? ? (sin ? ? ] ? 1 2 1 2 x1 2 x2 2 x1 x2
∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1,∴ x1 ? x2 ? 0 , 0 ? x1 x2 ? 1 ? b ,

2x ?1 x b (2 x ) 2 ? 2 x ?1 ? 1 ? b ?2 ? x ? 2x ? 1 2 ?1 2x ? 1

有题设知 h( x) ? 0 在 [0,1] 内有解,即方程 (2x )2 ? 2x?1 ?1 ? b ? 0 在 [0,1] 内有解-------7 分

( x ? x2 )( x1 x2 ? b) ∴ F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 1 ? 0 即 F ( x) 在 (0,1] 上单调递减, x1 x2
; h( x) 在 (0,1] 上是“弱增函数”

b ? (2x )2 ? 2x?1 ?1 ? (2x ? 1)2 ? 2 在 [0,1] 内递增,
11 分 所以当 2 ? b ? 7 时函数 h( x) ? f ( x) ? 2 ?
x x

2?b?7

9分 10 分 11 分

12 分

1] ②当 0 ? b ? 1 ,即 0 ? b ? 1 时, F (b) ? F (1) ? 1 ? b ? (sin ? ? ) ,即 F ( x) 在 (0, 上不是单调函数, 1] ∴ h( x) 在 (0, 上不是“弱增函数”.
综上所述, b ? 1 且 ? ? [2k? ? 13 分

1 2

b 在 [0,1] 内存在零点 2 ?1 1? x k?x ? log 4 (3)由 f ?1 ( x) ? g ( x) 得 log 2 1? x 1? x

k?x?

1 2 (1 ? x)2 2 x 2 ? x +1 ,显然 x ? [ , ] 时 k ? x ? 0 即 k ? 2 3 1? x 1? x 1 2 2 3 1 1 所以m ? [ , ] 3 2

12 分

?

5? , 2 k? ? ] 6 6

k ? Z 时, h( x) 在 (0,1] 上是“弱增函数” ;
14 分

设 m ? 1 ? x ,由于x ? [ , ]

0 ? b ? 1 时 ? ? R , h( x) 在 (0,1] 上不是“弱增函数”

2 x 2 ? x +1 2m2 ? 5m ? 4 4 23 ? ? 2m ? ? 5 ? [4, ] 于是 1? x m m 3
所以 k ?

14 分

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 6 分. 已知 f ( x) ?

2 ?a ( a ? R )的图像关于坐标原点对称 2x ? 1
x
x

23 3
16 分

15 分

满足条件的最小整数 k 的值是 k ? 8

(1)求 a 的值,并求出函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ? (2)若函数 h( x) ? f ( x) ? 2 ?
x

4 ? 1 的零点; x 2 ?1

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 {an } , 如果数列 {bn } 满足满足 b1 ? a1 , bn ? an ? an?1 (n ? 2, n ? N ) , 则称数列 {bn } 是数列 {an }
*

(3)设 g ( x) ? log 值

4

b 在 [0,1] 内存在零点,求实数 b 的取值范围 2 ?1 k?x 1 2 ?1 ,若不等式 f ( x) ? g ( x) 在 x ? [ , ] 上恒成立, 求满足条件的最小整数 k 的 1? x 2 3
x

的“生成数列” (1)若数列 {an } 的通项为 an ? n ,写出数列 {an } 的“生成数列” {bn } 的通项公式 (2)若数列 {cn } 的通项为 cn ? An ? B , (A.、B 是常数),试问数列 {cn } 的“生成数列” {ln } 是否是等

解: (1)由题意知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 得

a ?1
3分

2分 差数列,请说明理由。 (3)已知数列 {dn } 的通项为 dn ? 2 ? n ,设 {dn } 的“生成数列”为 { pn }
n

f ( x) ?

2x ? 1 2x ? 1

F(x)=

4 2x ? 1 (2 x ) 2 ? 2 x ? 6 x ?1= +2 ? x 2 ?1 2x ? 1 2x ? 1

5

若数列 {Ln } 满足 Ln ? ?

?d n ? pn n ?1

n是奇数 n是偶数

求数列 {Ln } 的前 n 项和 Tn

解: (1) bn ? ?

?1 ? 2n ? 1

n ? 2 ,? N *

3分

? 7 ? 2n 3 2 29 ? 3 ? 4 n ? 12 ? 综合: Tn ? ? 2 ? 8 (2n ? 1) ? 3n ? 2n ?3 4 ?

n是奇数
18 分

n是偶数

bn ? 2n ? 1
(2) ln ? ?

4分

?A ? B ?2 An ? 2 B ? A

n ?1 n ? 2 ,? N *

6分

当 B ? 0 时 ln = 2An ? A 是等差数列。

由于 ln?1 ? ln ? 2 A (常数) ,所以此时数列 {cn } 的“生成数列” {ln } 8分

当 B ? 0 时由于 l1 ? A ? B , l2 ? 3A ? 2B

l3 ? 5 A ? 2B ,此时 l1 ? l3 ? 2l2
10 分

9分

所以此时数列 {cn } 的“生成数列” {ln } 不是等差数列。 (3)

?3 pn ? ? n?1 ?3 ? 2 ? 2n ? 1
?2n ? n ? Ln ? ? n ?1 ?3 ? 2 ? 2n ? 1 ?

n ?1 n ?1
n是奇数 n是偶数

11 分

12 分

当 n 时偶数时,

Tn ? (2+1) ? (23 ? 3) ? (25 ? 5) ? ?? (2n?1 ? (n ?1)) ? (3 ? 2 ? 3) ? (3 ? 23 ? 7) ? ?? (3 ? 2n?1 ? (2n ?1)) =
2 n n2 n(n ? 1) 8 n 3n2 ? 2n (2 ? 1) ? ? 2n ?1 ? 2 ? = (2 ? 1) ? 3 4 2 3 4
当 n 时奇数时 15 分

8 3(n ? 1)2 ? 2(n ? 1) ? (3 ? 2n ? (2n ? 1)) Tn ? Tn?1 ? pn?1 = (2n?1 ? 1) ? 3 4
=

7 ? 2n 3n2 ? 1 8 7 ? 2n 3 2 29 ? ? ? ? n ? 3 4 3 3 4 12

17 分

6


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