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高一数学函数复习教案

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龙文教育个性化辅导教案 教师 学生

2013 年 2 月 16 日 授课时间 点

授课层次

高一

授课课题

函数

课型

复习课

1、知识目标: 理解函数及其几何意义; 学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 学会判断函数的奇偶性,单调性等。 2、能力目标:通过函数概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗 教学目标 透数形结合的数学思想 3、情感态度与价值观:通过函数的教学,培养学生从特殊到一般的概括归纳问题 的能力 1、重点:函数的奇偶性及其几何意义 2、难点:判断函数的奇偶性的方法与格式

教学重点 和难点

教学内容: 指数与对数运算 一.分数指数幂与根式:
n 如果 x ? a ,则称 x 是 a 的 n 次方根,0 的 n 次方根为 0,若 a ? 0 ,则当 n 为奇数时,a 的

n 次方根有 1 个,记做 n a ;当 n 为偶数时,负数没有 n 次方根,正数 a 的 n 次方根有 2
n n 个,其中正的 n 次方根记做 a .负的 n 次方根记做 ? a .

1.负数没有偶次方根;

? a n为奇数 an ? ? n n ?| a | n为偶数 2.两个关系式: ( a ) ? a ;
n
m n m n 3、正数的正分数指数幂的意义: a ? a ;

a
正数的负分数指数幂的意义: 4、分数指数幂的运算性质:

?

m n

?

1
n

am .

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m n m? n ⑴ a ?a ? a ; m n m?n ⑵ a ?a ? a ;

m n mn ⑶ (a ) ? a ;

m m m ⑷ (a ? b) ? a ? b ;

0 ⑸ a ? 1 ,其中 m 、 n 均为有理数, a , b 均为正整数

二.对数及其运算
b 1.定义:若 a ? N (a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0) ,则 b ? log a N .

2.两个对数: ⑴ 常用对数: a ? 10 , b ? log10 N ? lg N ; ⑵ 自然对数: a ? e ? 2.71828 , b ? loge N ? ln N . 3.三条性质: ⑴ 1 的对数是 0,即 loga 1 ? 0 ; ⑵ 底数的对数是 1,即 loga a ? 1 ; ⑶ 负数和零没有对数. 4.四条运算法则: ⑴ loga (MN ) ? loga M ? loga N ; ⑵ ⑶ loga M ? n loga M ;
n

log a

M ? log a M ? log a N N ;
1 log a M n .



log a n M ?

5.其他运算性质: ⑴ 对数恒等式: a
log a b

? b;

⑵ 换底公式:

log a b ?

log c a log c b ;

⑶ loga b ? logb c ? log a c ; loga b ? logb a ? 1 ;
log am b n ? n log a b m .



函数的概念

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一.映射:设 A、B 两个集合,如果按照某中对应法则 f ,对于集合 A 中的任意一个元 素,在集合 B 中都有唯一的一个元素与之对应,这样的对应就称为从集合 A 到集合 B 的 映射. 二.函数:在某种变化过程中的两个变量 x 、 y ,对于 x 在某个范围内的每一个确定的 值,按照某个对应法则, y 都有唯一确定的值和它对应,则称 y 是 x 的函数,记做
y ? f ( x) ,其中 x 称为自变量, x 变化的范围叫做函数的定义域,和 x 对应的 y 的值叫做

函数值,函数值 y 的变化范围叫做函数的值域. 三.函数 y ? f ( x) 是由非空数集 A 到非空数集 B 的映射. 四.函数的三要素:解析式;定义域;值域. 函数的解析式 一.根据对应法则的意义求函数的解析式; 例如:已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求函数 f (x) 的解析式. 二.已知函数的解析式一般形式,求函数的解析式; 例如:已知 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,函数 f (x) 的解析式. 三.由函数 f (x) 的图像受制约的条件,进而求 f (x) 的解析式. 函数的定义域 一.根据给出函数的解析式求定义域: ⑴ 整式: x ? R ⑵ 分式:分母不等于 0 ⑶ 偶次根式:被开方数大于或等于 0 ⑷ 含 0 次幂、负指数幂:底数不等于 0 ⑸ 对数:底数大于 0,且不等于 1,真数大于 0 二.根据对应法则的意义求函数的定义域: 例如:已知 y ? f ( x) 定义域为 [ 2,5] ,求 y ? f (3x ? 2) 定义域; 已知 y ? f (3x ? 2) 定义域为 [ 2,5] ,求 y ? f ( x) 定义域;

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三.实际问题中,根据自变量的实际意义决定的定义域. 函数的值域 一.基本函数的值域问题: 名称 一次函数 解析式
y ? kx ? b

值域
R

4ac ? b2 , ??) a ? 0 时, 4a [

二次函数

y ? ax2 ? bx ? c
a ? 0 时,

(??,

4ac ? b 2 ] 4a

反比例函数 指数函数 对数函数

y?

k x

{ y | y ? R ,且 y ? 0} { y | y ? 0}
R

y ? ax y ? loga x
y ? sin x

三角函数

y ? cos x

{ y | ?1 ? y ? 1}
R

y ? tan x

二.求函数值域(最值)的常用方法:函数的值域决定于函数的解析式和定义域,因此 求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征,常用解法有:观察法、配方法、 换元法(代数换元与三角换元)、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判 别式法、*几何构造法和*导数法等. 反函数 一.反函数:设函数 y ? f ( x) ( x ? A) 的值域是 C ,根据这个函数中 x , y 的关系,用 y 把

x 表示出,得到 x ? ? ( y ) .若对于 C 中的每一 y 值,通过 x ? ? ( y ) ,都有唯一的一个 x 与
之对应,那么, x ? ? ( y ) 就表示 y 是自变量, x 是自变量 y 的函数,这样的函数

x ? ? ( y ) ( y ? C ) 叫做函数 y ? f ( x) ( x ? A) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y) ,习惯上改写成

y ? f ?1 ( x) .
二.函数 f ( x) 存在反函数的条件是: x 、 y 一一对应.
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三.求函数 f ( x) 的反函数的方法: ⑴ 求原函数的值域,即反函数的定义域
?1 ⑵ 反解,用 y 表示 x ,得 x ? f ( y) ?1 ⑶ 交换 x 、 y ,得 y ? f ( x)

⑷ 结论,表明定义域
?1 四.函数 y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ( x) 的关系: ?1 ⑴ 函数 y ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的定义域与值域互换. ?1 ⑵ 若 y ? f ( x) 图像上存在点 (a, b) ,则 y ? f ( x) 的图像上必有点 (b, a ) ,即若

f (a) ? b ,则 f ?1 (b) ? a .
?1 ⑶ 函数 y ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称.

函数的奇偶性: 一. 定义: 对于函数 f ( x) 定义域中的任意一个 x , 如果满足 f (? x) ? ? f ( x) , 则称函数 f ( x) 为奇函数;如果满足 f (? x) ? f ( x) ,则称函数 f ( x) 为偶函数. 二.判断函数 f ( x) 奇偶性的步骤: 1.判断函数 f ( x) 的定义域是否关于原点对称,如果对称可进一步验证,如果不对称; 2. 验证 f ( x) 与 f (? x) 的关系, 若满足 f (? x) ? ? f ( x) , 则为奇函数, 若满足 f (? x) ? f ( x) , 则为偶函数,否则既不是奇函数,也不是偶函数. 二.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. 三.已知 f ( x) 、 g ( x) 分别是定义在区间 M 、 N (M ? N ? ?) 上的奇(偶)函数,分别 根据条件判断下列函数的奇偶性.
1 f ( x)

f ( x)

g ( x)

? f ( x)

f ( x) ? g ( x)

f ( x ) ? g ( x)

f ( x) ? g ( x)













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奇 偶 偶

偶 奇 偶 偶 偶 偶

奇 奇 偶

五.若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 . 六.一次函数 y ? kx ? b (k ? 0) 是奇函数的充要条件是 b ? 0 ;
2 二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 是偶函数的充要条件是 b ? 0 .

函数的周期性: 一.定义:对于函数 f (x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值 时,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,则 f (x) 为周期函数, T 为这个函数的一个周期. 2.如果函数 f (x) 所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f (x) 的
T 最小正周期.如果函数 f ( x) 的最小正周期为 T ,则函数 f (ax) 的最小正周期为 | a | .

函数的单调性 一.定义:一般的,对于给定区间上的函数 f ( x) ,如果对于属于此区间上的任意两个自 变量的值 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时满足: ⑴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在该区间上是增函数; ⑵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在该区间上是减函数. 二.判断函数单调性的常用方法: 1.定义法: ⑴ 取值; *2.导数法: ⑴ 求函数 f(x)的导数 f '( x) ; ⑵ 解不等式 f '( x) ? 0 ,所得 x 的范围就是递增区间; ⑶ 解不等式 f '( x) ? 0 ,所得 x 的范围就是递减区间.
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⑵ 作差、变形;

⑶ 判断:

⑷ 定论:

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3.复合函数的单调性: 对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,设 u ? g ( x) ,则 y ? f (u ) ,可根据它们的单调性确定复合 函数 y ? f [ g ( x)] ,具体判断如下表:
y ? f (u ) u ? g ( x) y ? f [ g ( x)]

增 增 增

增 减 减

减 增 减

减 减 增

4.奇函数在对称区间上的单调性相反;偶函数在对称区间上的单调性相同. 函数的图像 一.基本函数的图像.

二.图像变换:
y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k

将 y ? f ( x) 图像上每一点向上 (k ? 0) 或向下 (k ? 0) 平移 | k | 个单位,可 得 y ? f ( x) ? k 的图像
y ? f ( x ) ? y ? f ( x ? h)

将 y ? f ( x) 图像上每一点向左 (h ? 0) 或向右 (h ? 0) 平移 | h | 个单位,可 得 y ? f ( x ? h) 的图像
y ? f ( x) ? y ? af ( x)

将 y ? f ( x) 图像上的每一点横坐标保持不变,纵坐标拉伸 (a ? 1) 或压 缩 (0 ? a ? 1) 为原来的 a 倍,可得 y ? af ( x) 的图像
y ? f ( x) ? y ? f (ax)

将 y ? f ( x) 图像上的每一点纵横坐标保持不变,横坐标压缩 (a ? 1) 或
1 拉伸 (0 ? a ? 1) 为原来的 a ,可得 y ? f (ax) 的图像

y ? f ( x ) ? y ? f (? x)

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关于 y 轴对称
y ? f ( x ) ? y ? ? f ( x)

关于 x 轴对称
y ? f ( x) ? y ? f (| x |)

将 y ? f ( x) 位于 y 轴左侧的图像去掉, 再将 y 轴右侧的图像沿 y 轴对称 到左侧,可得 y ? f (| x |) 的图像
y ? f ( x ) ? y ? | f ( x) |

将 y ? f ( x) 位于 x 轴下方的部分沿 x 轴对称到上方,可得 y ? | f ( x) | 的 图像

三.函数图像自身的对称

关系
f ( x) ? f ( ? x) f ( x ) ? ? f ( ? x) f (a ? x) ? f ( x ? a ) f ( a ? x ) ? f (a ? x )

图像特征 关于 y 轴对称 关于原点对称 关于 y 轴对称 关于直线 x ? a 对称
x? a 2 轴对称 a?b 2 对称

f ( x) ? f ( a ? x)

关于直线

f (a ? x) ? f (b ? x)
f ( x) ? f ( x ? a )

关于直线

x?

周期函数,周期为 a

四.两个函数图像的对称

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关系
y ? f ( x ) 与 y ? f (? x) y ? f ( x ) 与 y ? ? f ( x) y ? f ( x ) 与 y ? ? f (? x) y ? f ( x) 与 y ? f ?1 ( x)

图像特征 关于 y 轴对称 关于 x 轴对称 关于原点对称 关于直线 y ? x 对称 关于直线 x ? a 对称 关于 y 轴对称

y ? f ( x ? a ) 与 y ? f (a ? x)
y ? f (a ? x) 与 f (a ? x)

本次课后作业:老师事先准备好的专项练习

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 学生签字: 教师评定: 1、 学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 差 ○ 差 教师签字:

2、 学生本次上课情况评价: ○ 好

导师签字:

主任签字:

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