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广东省潮州市2012-2013学年高二上学期期末教学质量检测数学文试题 Word版含答案


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潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷

数学(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案;答案答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束,将答题卡交回。

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1、不在 .. 3x ? 2 y < 6 表示的平面区域内的一个点是 A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D. (2,0) 2、已知 ?a n ? 是等比数列, a 2 ? 2,a5 ? A.2 B.

1 ,则公比 q 等于 4

1 1 1 C. D. 2 4 8 3、已知△ABC 的三内角 A,B,C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则该三角形面积为

A. 3
2

B.2

C.2 3

D.4 3

4、设命题甲: ax ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R ;命题乙: 0 ? a ? 1 ,则命题甲是命题乙成立的 A. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 5、已知双曲线 B. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

x2 y 2 4 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为 2 a b 3
B.

A.

5 3

21 3

C.

5 4

D.

7 2

6、当 x 在 (??, ??) 上变化时,导函数 f / ( x) 的符号变化如下表:

x
f / ( x)

(??,1)

1 0

(1,4) +

4 0

(4, ??)





则函数 f ( x) 的图象的大致形状为

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7、函数 y ? x ? A. 4

4 ( x ? 1) 的最小值是 x ?1
B. 5 C. 6 D. 7

8、某学习小组进行课外研究性学习,为 了测量不能到达的 A、B 两地,他们 测得 C、D 两地的直线距离 2km ,并 用仪器测得相关角度大小如图所示, 则 A、B 两地的距离大约等于(提供 数据: 2 ? 1.414, 3 ? 1.732 ,结果 保留两个有效数字) A. 0.87km B. 1.4km C. 1.7km D. 2km

?x ? y ? 5 ? 0 ? 9、若不等式组 ? y ? a 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 ?0 ? x ? 3 ?
A. a ? 5
2

B. a ? 8

C. a ? 5或a ? 8

D. 5 ? a ? 8

10、设抛物线 y ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,如果直线 AF 斜 率为 ? 3 ,那么 PF ? A. 4 3 B.

16

C. 8 3

D. 8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11、命题“ a ? b ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的逆否命题是
2 2

. .

12、在等差数列 ?a n ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则 a2 ? a8 ? 13、已知命题 p : “ ?x0 ? R ,使 2ax0 ? ax0 ?
2

3 ,若 p 是假命题,则实数 a 的取值范 ?0” 8
.

围为
2

.

14、对于使 ? x ? 2 x ? M 恒成立的所有常数 M 中, M 的最小值为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答要写出证明过程或解题步骤)
15、 (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,命题 P:函数 y ? log a ( x ? 1) 在区间 (0, ??) 上为减函数;

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2

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命题 Q:曲线 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴相交于不同的两点.若 P 为真, Q 为假, 求实数 a 的取值范围.

16、 (本小题满分 12 分) 某村计划建造一个室内面积为 800m 的矩形蔬菜温室. 在温室内,种植蔬菜时需 要沿左、右两侧与前侧内墙各保留 1m 宽的空地作 为通道,后侧内墙不留空地(如图所示) ,问当温 室的长是多少米时,能使蔬菜的种植面积最大?
2

17、 (本小题满分 14 分) 在锐角△ ABC 中,已知 a、b、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 所对应的边长,且 b ? 2a sin B . ⑴求角 A 的大小; ⑵若 b ? 1,且△ ABC 的面积为

3 3 ,求 a 的值. 4

18、(本小题满分 l4 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ln x ? a ( a 为实常数) 。
2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)求 f ( x) 在区间 [ , 2] 上的最大值与最小值.

1 2

19、 (本小题满分 14 分) 已知点 P ( 4,4) ,圆 C : ( x ? m) ? y ? 5(m ? 3) 与椭圆 E :
2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有 a2 b2

一个公共点 A(3,1) , F1 , F2 分别是椭圆的左右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切.

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(1)求 m 的值; (2)求椭圆 E 的方程.

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6

y

4

P

2

-5

F1

O

C

F2

5

x

-2

-4

20、 (本小题满分 14 分) 在数列 {a n } 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N , a 2 k ?1 , a 2 k , a 2 k ?1 成等差数列,其公差为 2k .
*

⑴求 a 2 , a 3 , a 4 ; ⑵求数列 {a n } 的通项公式; ⑶记 Tn ?

2 2 32 n2 3 ? ??? , 证明:当 n 为偶数时, 有 ? 2n ? Tn ? 2(n ? 2) . a 2 a3 an 2

潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷 数学(文科)参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4

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答案 D B A C A C B

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B D D

二、填空题
11、若 a ? 0 ,或 b ? 0 ,则 a ? b ? 0
2 2

12、180 14、1

13、 ?3 ? a ? 0

解答提示: 1、代入检验可得;
1 2、由a5 ? a2 ?q3, ?q ? . 2
3、? ?ABC三内角A, B, C成等差数列, ? B ? 60
0

又 AB=1,BC=4,

1 1 3 ? s? ABC ? ? 1?4? sin 600 ? ? 1?4? ? 3 2 2 2
4、命题甲: ax ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R ,则可得 0 ? a ? 1;
2

5、由已知得

b 4 c c2 a 2 ? b2 16 5 ? ,e ? ? ? ? 1? ? . 2 2 a 3 a a a 9 3

6、由图像直接可得; 7、 y ? x ? 1 ?

4 ? 1 ? 5,当x ? 3时取“=”号 。 x ?1
0 0

8、由已知设对角线交点为 O, 则 ?COD ? ?AOB ? 90 , ?DAO ? 60 , 三角形ADC是正三角形,

AO ? OB ? 1, Rt ?AOB中,AB ? 2 ? 1.4 .
9、作出可行域可得。 10、由已知得焦点为 F(2,0) ,准线为 l的方程X=-2,又直线 AF 的斜率为 - 3 ,

??AFO ? 600 , 设准线与X 轴交点为B,过P作PE垂直于X轴于E,
在Rt?ABF中,BF=4,AB=4 3, 又PA ? PF , 所以?PFA ? 600 ,??PFE ? 600 , 在Rt?PEF中,PF=4 3, ?PFE ? 600 ,? PF ? 8.
11、略 12、由等差数列性质得: a2 ? a8 ? 180. 13、转化为全称命题可得。 14、由 -x+2x?1 知 M 的最小值为1.


三、解答题
15、 (本小题满分 12 分)

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5

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解: ∵ a ? 0 且 a ? 1 , ∴命题 P 为真 ? 0 ? a ? 1 命题 Q 为真 ? ?

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???2 分
2

?? ? (2a ? 3) ? 4 ? 0 ?a ? 0且a ? 1

? 0?a?

5 1 或a ? 2 2

???6 分

? P 为真, Q 为假 ?0 ? a ? 1 ? ∴ ?1 5 ? a ? 1或1 ? a ? ? 2 ?2 1 ? ? a ?1 2 1 ∴实数 a 的取值范围是 [ ,1) . 2
16、 (本小题满分 12 分) 解:设温室的长为 xm,则宽为 所以可种植蔬菜的面积为

???8 分

???11 分 ???12 分

800 x

m(x>0) ,

???2 分

800 1600 ? 1) ? 802 ? ( x ? ). x x 1600 1600 令 g ( x) ? x ? ,则 g ?( x) ? 1 ? 2 . 由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 40 . x x S ( x) ? ( x ? 2)(

???6 分

当 x ? (0,40)时, g ?( x) ? 0, g ( x) 为减函数,当 x ? (40, ??)时, g ?( x ? 0, g ( x) 为增函数. ∴ 当 x ? 40 时, g ( x) 取得最小值,S(x)取得最大值. 答:温室的长为 40m 时,蔬菜的种植面积最大. ???12 分

17、 (本小题满分 14 分) 解: (1)由 b ? 2a sin B 及正弦定理得 sin A ? 又 A 为锐角,所以 A ?

?
6

a sin B a sin B 1 ? ? b 2a sin B 2

????3 分 ????6 分

(2)由△ ABC 的面积为

1 3 3 3 3 得 bc sin A ? 4 2 4

????8 分

3 3 又 b ? 1, A ? , ?c ? 2 ? ? 6 sin 6

?

3 3 2 ?3 3 1 2
2

???11 分

3 3? 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? (3 3) ? 2?
2 2 2

3 ? 19 2

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? a ? 19
18、 (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? 2 x ?
/

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???14 分

函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0}

2 x

??????1 分

? x2 ?1 ? 0 令 f ( x) ? 0 ,有 ? ,解之得 x ? 1 ??????3 分 ? x?0 ? x2 ?1 ? 0 令 f / ( x) ? 0 ,有 ? ,或 0 ? x ? 1 ??????4 分 ? x?0 所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (0,1) , f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) 。
/

??????6 分 (2)当 x 在 [ 1 , 2] 上变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: ???10 分

2

由表知,函数 f ( x) min ? 1 ? a , 又 f ( ) ? ( ) ? 2ln

???12 分

1 1 2 1 1 ? a ? ? 2ln 2 ? a , 2 2 2 4 2 f (2) ? 2 ? 2ln 2 ? a ? 4 ? 2ln 2 ? a , 1 1 1 5 f ( ) ? f (2) ? ( ? 2ln 2 ? a) ? (4 ? 2ln 2 ? a) ? 4ln 2 ? ?0, 2 4 4 所以 f ( x) MAX ? 4 ? 2ln 2 ? a . ?????????14 分
f ( x)max ? 4 ? 2ln 2 ? a

19、 (本小题满分 14 分) 解: (1)点 A(3,1) 代入圆 C 方程,得 (3 ? m) ? 1 ? 5 . ? m ? 3
2

? m ? 1.
???4 分 ???5 分

圆 C : ( x ? 1) ? y ? 5 .
2 2

(2) 设直线PF1的斜率为k,则PF1 : y ? k ( x ? 4) ? 4, 即kx ? y ? 4k ? 4 ? 0,

? 直线PF1与圆C相切, ?

k ? 0 ? 4k ? 4 k 2 ?1

? 5, 解得k ?

11 1 , 或k ? . 2 2

???7 分

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当k ?

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???9 分 ???11 分 ???13 分

11 36 时, 直线PF1与x轴交点横坐标为 ,不合题意,舍去。 2 11 1 当k ? 时, 直线PF1与x轴交点横坐标为-4, ?c=4,F1 (?4, 0), F2 (4, 0) 2

? 2a ? AF1 ? AF2 ? 5 2 ? 2 ? 6 2, a ? 3 2, a 2 ? 18, b 2 ? 2.

? 椭圆E的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 18 2

???14 分

20、 (本小题满分 14 分) 解:⑴证明:由题设可知, a2 ? a1 ? 2 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? 4 , a4 ? a3 ? 4 ? 8 ,??3 分 ⑵解:由题设可得 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 4k , k ? N * 所以 a2 k ?1 ? a1 ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?3 ? ? ... ? a3 ? a1 ? ? 4k ? 4 ? k ? 1? ? ... ? 4 ?1

? 2k ? k ? 1? , k ? N * .
2 由 a1 ? 0 ,得 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? ,从而 a2 k ? a2 k ?1 ? 2k ? 2k .

??5 分

所 以 数 列 ? an ?

? n2 ? 1 n , n为奇数 ? n 2 ? ?1? ? 1 ? 2 ? 的 通 项 公 式 为 an ? ? 2 或 写 为 an ? , n? N * 。 2 4 n ? , n为偶数 ? ?2
??9 分
2 2

n n ? 2 ? 2; an n 2 2 2 2 n n 2n 2 1 1 当 n 为奇数时, ? 2 ? 2 ? 2? ? 2?( ? ) .??11 分 an n ? 1 n ? 1 (n ? 1)( n ? 1) n ?1 n ?1 2 22 ? 4 ? 2 ? 2 . 不等式成立。 易知 n ? 2 时, 2n ? Tn ? 4 ? ??12 分 a2 又当 n 为偶数且 n ? 4 时, 22 32 n2 22 42 n2 32 5 2 (n ? 1) 2 Tn ? ? ? ? ? ?? ?( ? ? ??? ? ) ? ( ? ? ??? ? ) a2 a3 an a2 a4 an a3 a5 a n ?1 n n 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ( ? 1) ? 2 ? ( ? )?( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 2 3 ?1 3 ?1 5 ?1 5 ?1 (n ? 1) ? 1 (n ? 1) ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? 2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) 2 4 4 6 6 8 n?2 n 1 1 3 1 ? 2n ? 2 ? ? ? 2 n ? ? ??13 分 2 n 2 n 3 1 3 3 1 3 1 ? 2n ? Tn ? ? ,从而 ? 2n ? Tn ? ? ? ? ? 2 ,不等式也成立。 2 n 2 2 n 2 4
⑶证明:由⑵可知当 n 为偶数时,

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综上,当 n 为偶数时,有

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??14 分

3 ? 2n ? Tn ? 2 . 2

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