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2015年高考数学江苏卷含答案


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

2015.6.7

数学 I
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1. 本试卷共 4 页, 均为非选择题(第 1 题 ? 第 20 题, 共 20 题) 。 本卷满分为 160 分, 考试时间为 120 分 钟。 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前, 请您务必将自己的姓名、 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定 位置。 3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、 准考证号与您本人是否相符。 4. 作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一律无 效。 5. 如需作图, 须用 2B 铅笔绘、 写清楚, 线条、 符号等须加黑、 加粗。

参考公式: 圆柱的体积公式: 圆柱 = ?, 其中 是圆柱的底面积, ? 为高. 1 圆锥的体积公式: 圆锥 = ?, 其中 是圆锥的底面积, ? 为高. 3 一. 填空题: 本大题共 14 小题, 每小题 5 分, 共计 70 分. 请把答案填写在答 .题 .卡 .相 .应 .位 .置 . 上. . 1. 已知集合 = {1, 2, 3}, = {2, 4, 5}, 则集合 ∪ 中元素的个数为 .

答案: 5. 建议解法:因为 ∪ = {1, 2, 3, 4, 5}, 所以集合 ∪ 中元素的个数为 5.

2. 已知一组数据 4, 6, 5, 8, 7, 6, 那么这组数据的平均数为



答案: 6. 建议解法:每个数与 6 的差依次为 ?2, 0, ?1, 2, 1, 0, 这些差的和为 0, 所以这组数据的平均数为 6.

3. 设复数 满足 2 = 3 + 4i(i 是虚数单位) , 则 的模为



√5. 答案: 建议解法:因为 ||2 = |2 | = √32 + 42 = 5, 所以 || = √5.

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4. 根据如图所示的伪代码, 可知输出的结果 为 答案: 7. 建议解法:列表如下: 1 3 5 7 1 4 7 10 当 = 10 时, 循环结束, 此时 = 7.



← 1 ← 1 While < 8 ← + 2 ← + 3 End While Print (第 4 题)

5. 袋中有形状、 大小都相同的 4 只球, 其中 1 只球, 1 只红球, 2 只黄球. 从中一次随机摸出 2 只球, 则这 2 只球颜色不同的概率为 .

5 答案: . 6 建议解法:设 “摸出 2 只球的颜色相同” 为事件 , 则 () = 1 ? () = 1 ? C2 2 C2 4 = 5 . 6

6. 为已知向量 = (2, 1), = (1, ?2). 若 + = (9, ?8)(, ∈ ) , 则 ? 的值为



答案: ?3. ? ?2 + = 9, 建议解法:由题意, 得? ? ? ? 2 = ?8,
2

? ? = 2, 解得 ? ? ? = 5,

所以 ? = ?3.

7. 不等式 2

?

< 4 的解集为



答案: { | ?1 < < 2 }. 建议解法:2
2

?

< 4 ? 2 ? < 2 ? ?1 < < 2. 1 , 则 tan 的值为 7

8. 已知 tan = ?2, tan( + ) =

.

答案: 3. 建议解法:tan = tan[( + ) ? ] = tan( + ) ? tan = 3. 1 + tan( + ) tan

9. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个.若将它们 重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .

√7. 答案: 建议解法:设新的底面半径为 , 则新的圆锥和圆柱的高分别为 4, 8. 1 1 由 π2 ? 4 + π2 ? 8 = π ? 52 ? 4 + π ? 22 ? 8, 得 2 = 7, 即 = √7. 3 3

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10. 在平面直角坐标系 中, 以点 (1, 0) 为圆心且与直线 ? ? 2 ? 1 = 0( ∈ )相切的所有圆中, 半径最大的圆的标准方程为 .

答案: ( ? 1)2 + 2 = 2. 建议解法:直线 ? ? 2 ? 1 = 0 经过定点 (2, ?1). 当圆与直线相切于点 (2, ?1) 时, 圆的半径最大, 此时半径 满足 2 = (1 ? 2)2 + (0 + 1)2 = 2. 1 11. 设数列 { } 满足 1 = 1, 且 +1 ? = + 1( ∈ ? ) , 则数列 前 10 项的和为 { } 20 答案: . 11 ( + 1)( + 2) ( + 1) ( + 1)( + 2) ( + 1) ? , 即 +1 ? = ? , 2 2 2 2 ( + 1) 1 2 2 2 易得 = , 所以 = = ? . 2 ( + 1) + 1 建议解法:首先 +1 ? = 数列 1 2 2 20 前 项的和为 = 2 ? = , 从而 10 = . { } + 1 + 1 11



12. 在平面直角坐标系 中, 为双曲线 2 ? 2 = 1 右支上的一个动点. 若点 到直线 ? + 1 = 0 的 距离大于 恒成立, 则实数 的最大值为 .

√2 答案: . 2 建议解法: 所求的 的最大值就是双曲线的一条渐近线 ? = 0 与直线 ? + 1 = 0 的距离 √2 1 = . = 2 √2

? 0 < ? 1, ?0, 则方程方程 | () + ()| = 1 实根的个数为 13. 已知函数 () = |ln |, () = ? 2 ? 4 ? 2, > 1, ? | | ? .

答案: 4. 建议解法: ① 当 0 < ? 1 时, 方程为 ? ln = 1, 得 = 1 . e

② 当 1 < < 2 时, () + () = ln + 2 ? 2 单调递减, 值域为 (ln 2 ? 2, 1), 方程 () + () = 1 无解, 方程 () + () = ?1 恰有一解. ③ 当 ? 2 时, () + () = ln + 2 ? 6 单调递增, 值域为 [ln 2 ? 2, +∞), 方程 () + () = 1 恰有一解, 方程 () + () = ?1 恰有一解. 综上所述, 原方程有 4 个实根.

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π π π 14. 设向量 = (cos , sin + cos )( = 0, 1, 2, ? , 12) , 则 ( ? ) 的值为 ∑ +1 6 6 6 =0 答案: 9√3. 建议解法: = (cos 所以 ? +1 ( + 1)π ( + 1)π π π π π , √2 sin( + )), +1 = (cos , √2 sin( + )), 6 6 4 6 6 4 ( + 1)π ( + 1)π π π π π = cos cos + 2 sin( + ) sin( + ) 6 6 6 4 6 4 (2 + 1)π 1 (2 + 1)π π 1 π π = cos + cos + cos ? cos( + ) 2 6 2 6 6 6 2 = sin (2 + 1)π 1 (2 + 1)π 3√3 + cos + . 6 2 6 4
11

11



由单位圆上的点的分布, 得

=0



( ? +1 ) = 0 + 0 + 9√3 = 9√3.

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二. 解答题: 本大题共 6 小题, 共计 90 分. 请在答 解答时应写出文字说明、 证明过程 .题 .卡 .指 .定 .区 . 域内作答, . 或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 △ 中, 已知 = 2, = 3, = 60? . (1) 求 的长; (2) 求 sin 2 的值.

解: (1) 在 △ 中, 由余弦定理, 得 2 = 2 + 2 ? 2 ? ? cos = 7, 所以 = √7. (2) 在 △ 中, 由余弦定理, 得 cos = 在 △ 中, sin = √1 ? cos2 = 所以 sin 2 = 2 sin cos = 4√3 . 7 2 + 2 ? 2 2 = . 2 ? √7 .

√3 √7

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16. (本小题满分 14 分) 已知 ? , = 1 . 设 1 如图, 在直三棱柱 ? 1 1 1 中, 的中点为 , 1 ∩ 1 = . (1) 求证: ? 平面 1 1 ; (2) 求证: 1 ? 1 .

1 1 (第 16 题)



1

证明: (1) 在直三棱柱 ? 1 1 1 中, 侧面 1 1 是矩形, 所以 是 1 的中点. 在 △1 中, 因为 , 分别是 1 , 1 的中点, 所以 ? . 因为 ? 平面 1 1 , ? 平面 1 1 , 所以 ? 平面 1 1 . (2) 因为侧面 1 1 是矩形, = 1 , 所以侧面 1 1 是正方形, 所以 1 ? 1 . 在直三棱柱 ? 1 1 1 中, 平面 ? 平面 1 1 , 交线为 , 又 ? 平面 , ? , 所以 ? 平面 1 1 . 因为 1 ? 平面 1 1 , 所以 ? 1 . 因为 1 ? 1 , 1 ? , 1 ∩ = , 1 , ? 平面 1 , 所以 1 ? 平面 1 . 因为 1 ? 平面 1 , 所以 1 ? 1 .

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17. (本小题满分 14 分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路, 为进一步改善山区的交通现 状, 计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路. 记两条相互 垂直的公路为 1 , 2 ,山区边界曲线为 ,计划修建的公路为 .如图所 示, , 为 的两个端点, 测得点 到 1 , 2 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 到 1 , 2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 2 , 1 所在 的直线分别为 , 轴, 建立平面直角坐标系 . 假设曲线 符合函数 = 2 (其中 , 为常数)模型. + (1) 求 , 的值; (2) 设公路 与曲线 相切于 点, 的横坐标为 . ① 请写出公路 长度的函数解析式 (), 并写出其定义域; ② 当 为何值时, 公路 的长度最短? 求出最短长度.
2 (第 17 题) 1





解: ?40 = , ? 25 + (1) 由点 (5, 40), (20, 2.5) 在曲线 上, 得? , ?2.5 = ? 400 + (2) ① 由 (1) 知, 曲线 的方程为 = ? ? = 1000, 解得 ? ? ? = 0.

2000 1000 (5 ? ? 20) , ′ = ? 3 . 2 1000 1000 2000 曲线 在点 (, 2 ) 处的切线方程为 ? 2 = ? 3 ( ? ). 3000 3 所以公路 的两个端点为 ( , 0), (0, 2 ). 2 92 9 × 106 , ∈ [5, 20]. 从而得, 公路 长度的函数解析式 () = √ + 4 4 2 106 ② 记 () = + 4 , ∈ [5, 20], 则 () = 3√(). 4 4 × 106 ′ () = ? , 令 ′ () = 0, 得 = 10√2. 2 5 列表如下: () ()


[5, 10√2) ? ↘

10√2 0 极小值

(10√2, 20] + ↗

由上表可知, 当 = 10√2 时, () 取极大值 (10√2) = 75, 也是最大值. 此时 () 取得最大值 15√3. 答: 当 为 10√2 千米时, 公路 的长度最短, 最短长度为 15√3 千米.

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18. (本小题满分 16 分) 如图, 在平面直角坐标系 中, 已知椭圆 的离心率为 2 2 + = 1( > > 0) 2 2
(第 18 题)

√2 , 且右焦点 到左准线 的距离为 3. 2 (1) 求椭圆的标准方程; (2) 过 的直线与椭圆交于 , 两点, 线段 的垂直平分线分别 交直线 和 于点 , , 若 = 2 , 求直线 的方程.

解: (1) 由椭圆的离心率 = 又 + √2 = , 得 ∶ ∶ = √2 ∶ 1 ∶ 1. 2

2 = 3, 得 = 1, = √2, 从而 = 1. 2 所以椭圆的方程为 + 2 = 1. 2 (2) 由 (1) 知, (1, 0), : = ?2. 设直线 的方程为 = + 1, 则直线 的斜率为 ?. 设 (1 , 1 ), (2 , 2 ), 的中点为 (0 , 0 ). 则 = √2 + 1 |1 ? 2 |, = √1 + 2 (0 + 2). 由 = 2 , 得 0 + 2 = 2 |1 ? 2 |. ? ? = + 1, 由? 2 2 ? ? + 2 = 2, 所以 |1 ? 2 | = 所以 得 (2 + 2)2 + 2 ? 1 = 0, 解得 1,2 = ? ± √2(2 + 1) . 2 + 2

+ 2 2√2(2 + 1) ? 2 , 0 = 1 = 2 , 从而 0 = 0 + 1 = 2 . 2 2 + 2 + 2 + 2

4√2(2 + 1) 2 + 2 = , 即 2 + 3 = 2√2(2 + 1), 解得 = ±1. 2 + 2 2 + 2 所以直线 的方程为 ± ? 1 = 0.

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19. (本小题满分 16 分) 已知函数 () = 3 + 2 + (, ∈ ) . (1) 试讨论 () 的单调性; (2) 若 = ? (实数 是与 无关的常数) , 当函数 () 有三个不同的零点时, 的取值范围恰好是 3 3 (?∞, ?3) ∪ (1, ) ∪ ( , +∞), 求 的值. 2 2 解: (1) ′ () = 32 + 2 = (3 + 2). ① 若 = 0, 则 () 在 (?∞, +∞) 上单调递增; 2 2 ② 若 > 0, 则 () 在 (?∞, ? ] 和 [0, +∞) 上单调递增, 在 [? , 0] 上单调递减; 3 3 2 2 ③ 若 < 0, 则 () 在 (?∞, 0] 和 [? , +∞) 上单调递增, 在 [0, ? ] 上单调递减. 3 3 (2) 若 = ? , 则 () = 3 + 2 + ? , (0) = ? , (? 由 (1) 知, 当函数 () 有三个不同的零点时, 等价于 ? < 0, ? ? 或 ? < , ? 43 ? ? 27 ? + < 0. 43 4 3 3 3 因为 ? + = ( + 3)( ? )2 + ? 1, 且 的取值范围恰好是 (?∞, ?3) ∪ (1, ) ∪ ( , +∞), 27 27 2 2 2 所以 = 1. ? ? > 0, ? 2 ? (? 3 ) > 0, ? ? ? (0) < 0, ? ? < 0, ? 或 ? (0) > 0, ? 2 ? ? (? 3 ) < 0. ? > 0, ? ? 即 ? > , ? 43 ? ? 27 ? + > 0, 2 43 )= ? + . 3 27

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20. (本小题满分 16 分) 设 1 , 2 , 3 , 4 是各项为正数且公差为 ( ≠ 0)的等差数列. (1) 求证: 21 , 22 , 23 , 24 依次构成等比数列;
3 4 (2) 是否存在 1 , , 使得 1 , 2 并说明理由; 2 , 3 , 4 依次构成等比数列? + +2 +3 依次构成等比数列? 并说明理由. , 4 (3) 是否存在 1 , 及正整数 , , 使得 1 , 2 , 3

解: (1) 因为 22 23 24 = 22 ?1 = 2 , 同理 = = 2 , 1 2 2 2 3 1 2 3 4 所以 2 , 2 , 2 , 2 依次构成公比为 2 的等比数列.

3 4 ? ?2 = 1 3 , 3 4 (2) 若 1 , 2 , , 依次构成等比数列, 则 ? 6 2 3 4 2 4 ? ?3 = 2 4 . 4 3 ? ?( + ) = ( + 2) , 为方便记 1 = , 则? 3 2 ? ?( + 2) = ( + )( + 3) .

消去 + 2 , 得 ( + )3 = ( + 3)2 . 记 =
3 2 ? 1 ?(1 + 2) = (1 + )(1 + 3) , , 则 > ? 且 ≠ 0, 且? 3 2 3 ? ?(1 + ) = (1 + 3) ,

2 ? ? + 3 + 1 = 0, 即? 2 ? ? ? 6 ? 3 = 0.

此方程组无解.

3 4 因此, 不存在 1 , , 使得 1 , 2 2 , 3 , 4 依次构成等比数列. 2 (2) 另解:在等差数列 { } 中, 当公差 ≠ 0 时, 总有 2 即 2 +1 ? +2 = > 0, +1 > +2 . 3 4 ? ?2 = 1 3 , 3 4 若 1 , 2 , , 依次构成等比数列, 则 ? 2 3 4 6 2 4 ? ?3 = 2 4 . 4 2 2 因为 1 , 2 , 3 , 4 均为正数, 且 2 所以 1 3 得 3 > 1 , 即 > 0. 2 > 1 3 , 3 = 2 > 1 3 ,

为方便记 1 = , 则 ( + 2)3 = ( + )( + 3)2 , 得 2 + 3 + 2 = 0. 因为 > 0, > 0, 所以上式不成立.
3 4 因此, 不存在 1 , , 使得 1 , 2 2 , 3 , 4 依次构成等比数列. 2 即 2 (3) 首先, 在等差数列 { } 中, 当公差 ≠ 0 时, 总有 2 +1 > +2 . +1 ? +2 = > 0, 2+2 +2 ? = , ?2 1 3 + +2 +3 若 , , , 依次构成等比数列, 则 ? 2+4 1 2 3 4 +3 = + . ? 2 4 ?3

因为 1 , 2 , 3 , 4 均为正数, 且 2 2 > 1 3 ,
+2 + 所以 = 2+2 > + 得 3 > 1 , 即 > 0. 1 3 2 1 3 , 2+2 ? = ( + 2)+2 , ?( + ) 为方便记 1 = , 则? 2+4 = ( + )+ ( + 3)+3 . ? ?( + 2)

记 =

2+2 ? = (1 + 2)+2 , ?(1 + ) , 则 > 0, 所以 ? 2+4 = (1 + )+ (1 + 3)+3 , ? ?(1 + 2)

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数学 I 试卷 第 10 页(共 11 页)

即 1, (1 + )+ , (1 + 2)+2 , (1 + 3)+3 成等比数列, 设公比为 ( > 1) , 则 即 0, ( + ) ln(1 + ), ( + 2) ln(1 + 2), ( + 3) ln(1 + 3) 成等差数列, 设公差为 ( > 0) . 则 0, 1, 2, 3 是方程 ( + ) ln(1 + ) = 的根, 即 0, 1, 2, 3 是函数 () = ln(1 + ) ? 的零点. + ( + ) ? 考虑 ′ () = ? 在 [0, +∞) 上至多有两个不同零点, 1 + ( + )2 又 () 在 [0, +∞) 的图象连续, 所以 () 在 [0, +∞) 上至多有三个不同零点. 的零点” 矛盾. 这与 “0, 1, 2, 3 是函数 () = ln(1 + ) ? + + +2 +3 因此, 不存在 1 , 及正整数 , , 使得 , 4 依次构成等比数列. 1 , 2 , 3

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数学 I 试卷 第 11 页(共 11 页)

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

2015.6.7

数学 II (附加题)
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1. 本试卷共 2 页, 均为非选择题(第 21 题 ? 第 23 题) 。 本卷满分为 40 分, 考试时间为 30 分钟。 考试 结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 答题前, 请您务必将自己的姓名、 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定 位置。 3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、 准考证号与您本人是否相符。 4. 作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位置作答一律无 效。 5. 如需作图, 须用 2B 铅笔绘、 写清楚, 线条、 符号等须加黑、 加粗。

21. 【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 四小题, 请 则 .选 .定 .其 .中 .两 .小 . 题, . 并 .在 .相 .应 .的 .答 .题 .区 .域 .内 .作 . 答. . 若多做, 按作答的前两小题评分. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. A.[选修 4 – 1: 几何证明选讲] (本小题满分 10 分) 如图, 在 △ 中, = , △ 的外接圆 ⊙ 的弦 交 于点 . 求证: △ ∽ △ .
(第 21? A 题)

证明: 因为 = , 所以 ∠ = ∠ . ?, 因为 ∠, ∠ 所对的弧均为 所以 ∠ = ∠ . 所以 ∠ = ∠ . 又因为 ∠ = ∠ , 所以 △ ∽ △ .

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数学 II(附加题) 第 1 页(共 4 页)

B.[选修 4 – 2: 矩阵与变换](本小题满分 10 分) 已知 , ∈ , 向量 = 它的另一个特征值. 1 [?1] 是矩阵 = 1 [ 0] 的属于特征值 ?2 的一个特征向量, 求矩阵 以及

解: 由题意, 得 = ?2 , 即 ?1 [2 1 . 0]

1 [

1

0] [?1]

=

? ?2 ? ? 1 = ?2, , 得? [2] ? ? = 2,

? ? = ?1, 即? ? ? = 2.

所以矩阵 =

矩阵 的特征多项式为 () =

+ 1 | ?2

?1 |

= 2 + ? 2 = ( + 2)( ? 1),

所以矩阵 的另一个特征值为 1.

C.[选修 4 – 4: 坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) π 已知圆 的极坐标方程为 2 + 2√2 sin( ? ) ? 4 = 0, 求圆 的半径. 4 解: 圆 的极坐标方程可化为 2 + 2(sin ? cos ) ? 4 = 0. 以极点为原点 , 极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系 , 则圆 的直角坐标方程为 2 + 2 + 2 ? 2 ? 4 = 0, 即 ( ? 1)2 + ( + 1)2 = 6. 所以圆 的半径为 √6.

D.[选修 4 – 5: 不等式选讲](本小题满分 10 分) 解不等式 + |2 + 3| ? 2.

? ?2 + 3 < 0, 解: 不等式 + |2 + 3| ? 2 ? ? ? ? ? (2 + 3) ? 2, 1 解得 ? ?5 或 ? ? . 3 1 所以原不等式的解集为 (?∞, ?5] ∪ [? , +∞). 3

? ?2 + 3 ? 0, 或? ? ? + 2 + 3 ? 2,

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数学 II(附加题) 第 2 页(共 4 页)

【必做题】 第 22 题、 第 23 题, 每题 10 分, 共计 20 分. 请在答 解答时应写出文字说 .题 .卡 .指 .定 .区 . 域内作答, . 明、 证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图, 在四棱锥 ? 中, 已知 ? 平面 , 且四边形 π 为直角梯形, ∠ = ∠ = , = = 2, = = 1. 2 (1) 求平面 与平面 所成二面角的余弦值; (2) 点 是线段 上的动点, 当直线 与 所成角最小时, 求线段 的长.
(第 22 题)



解: # ? # ? # ? (1) 由已知可得 , , 两两垂直. 以 , , 为正交基底, 建立空间直角坐标系 ? . (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2). 平面 的一个法向量为 = (0, 1, 0). # ? # ? 设平面 的一个法向量为 = (, , ), = (?1, 1, 0), = (0, ?2, 2). # ? ? ? ? = ? + = 0, 可取 = (1, 1, 1). 由? # ? ? = ?2 + 2 = 0, ? ? 设平面 与平面 所成二面角为 , 则 cos = |cos?, ?| = √3 | ? | 1 = . = || || √3 3 √3 . 3

所以平面 与平面 所成二面角的余弦值为

# ? # ? # ? # ? # ? (2) 设 = , ∈ [0, 1], 则 = ? = (?1, 0, 2) ? (0, 1, 0) = (?, ?1, 2), # ? = (0, ?2, 2). 设直线 与 所成角为 , 则 # ? # ? cos = |cos?, ?| = 设 () =
2

2 + 4 √52 + 1 ? √8

=

(1 + 2)2 . √ 2(52 + 1)

(1 + 2) , ∈ [0, 1], 则 52 + 1 4(1 + 2)(52 + 1) ? (1 + 2)2 ? 10 2(1 + 2)(2 ? 5) ′ () = = , (52 + 1)2 (52 + 1)2 易得, 当 = 2√5 2 时, () 取最大值, 从而 取最小角, 此时 = √5 = . 5 5

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数学 II(附加题) 第 3 页(共 4 页)

23. (本小题满分 10 分) 已知集合 = {1, 2, 3}, = {1, 2, 3, ? , }( ∈ ? ) , 设 = { (, ) | 整除 或 整除 , ∈ , ∈ }, 令 () 表示集合 所含元素的个数. (1) 求出 (6) 的值; (2) 当 ? 6 时, 写出 () 的表达式, 并用数学归纳法证明.

解: (1) 6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 6 中的元素 (, ) 满足: 若 = 1, 则 = 1, 2, 3, 4, 5, 6; 若 = 2, 则 = 1, 2, 4, 6; 若 = 3, 则 = 1, 3, 6. 所以 (6) = 13. (2) 当 ? 6 时, () = + [ ] + [ ] + 2, 其中 [] 表示 的整数部分. 2 3 以下用数学归纳法证明: ① 当 = 6 时, (6) = 6 + 3 + 2 + 2 = 13, 等式成立; ② 假设 = ( ? 6, ∈ ? )时等式成立, 即 () = + [ ] + [ ] + 2. 2 3 因为 +1 = ∪ { + 1}, +1 = ∪ { (, + 1) | 整除 + 1, ∈ }.
? ? ? () + 1, = 6, 6 + 4, ∈ , ? 所以 ( + 1) = ? () + 2, = 6 + 1, 6 + 2, 6 + 3, ∈ ? , ? ? ? ? () + 3 = 6 + 5, ∈ .

当 = 6, ∈ ? 时, (+1) = ()+1 = 12+3 = 6+1+[ 当 = 6 + 1, ∈ ? 时, (+1) = ()+2 = 12+5 = 6+2+[ 当 = 6 + 2, ∈ ? 时, (+1) = ()+2 = 12+7 = 6+3+[ 当 = 6 + 3, ∈ ? 时, (+1) = ()+2 = 12+9 = 6+4+[ 当 = 6 + 4, ∈ ? 时, 当 = 6 + 5, ∈ ? 时, (+1) = ()+3 = 12+13 = 6+6+[ 即 = + 1 时等式也成立. 6 + 1 6 + 1 + 1 + 1 ]+[ ]+2 = +1+[ ]+[ ]+2; 2 3 2 3 6 + 2 6 + 2 + 1 + 1 ]+[ ]+2 = +1+[ ]+[ ]+2; 2 3 2 3 6 + 3 + 1 + 1 6 + 3 ]+[ ]+2 = +1+[ ]+[ ]+2; 2 3 2 3 6 + 4 6 + 4 + 1 + 1 ]+[ ]+2 = +1+[ ]+[ ]+2; 2 3 2 3 6 + 5 6 + 5 + 1 + 1 ]+[ ]+2 = +1+[ ]+[ ]+2; 2 3 2 3 6 + 6 6 + 6 + 1 + 1 ]+[ ]+2 = +1+[ ]+[ ]+2. 2 3 2 3

(+1) = ()+1 = 12+10 = 6+5+[

由①②知, 当 ? 6 时, () = + [ ] + [ ] + 2, 其中 [] 表示 的整数部分. 2 3

S

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