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07-15年全国新课标2卷的圆锥曲线解答题真题


圆锥曲线解答题真题
2 2 2 1. (15 年 2) 已知椭圆 C: 9 x ? y ? m (m ? 0) , 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A, B,

线段 AB 的中点为 M。 (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; m ( , m) (2) 若 l 过点 3 ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时 l 的斜率; 若不能,说明理由。

2.(15 年 1)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y=

x2 与直线 y ? kx ? a ( a >0)交与 M,N 两点, 4

(Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。 (Ⅰ)由题设可得 M (2 a , a) , N (?2 2, a) ,或 M (?2 2, a) , N (2 a , a) . ∵ y? ?
x2 1 x ,故 y ? 在 x = 2 2a 处的到数值为 a ,C 在 (2 2a, a) 处的切线方程为 2 4

y ? a ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .

x2 故 y ? 在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ,C 在 (?2 2a, a) 处的切线方程为 4

y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 . (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为复合题意得点, M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2 . 将 y ? kx ? a 代入 C 得方程整理得 x2 ? 4kx ? 4a ? 0 . ∴ x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4a . ∴ k1 ? k2 ?
y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k ( a ? b) = = . ? a x1 x2 x1 x2

……5 分

当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以 P(0, ?a) 符合题意. ……12 分

2 y2 3. (14 年 2)设 F1 , F2 分别是椭圆 C: x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左,右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 a b

x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.
(Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率; 4 (Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b. (20)解: (Ⅰ)根据 c= a2 ? b2 以及题设知 M(c, a ) ,2b2 =3ac 将b2 =a2 -c 2 代入 2b2 =3ac,解得a =2,a =-2(舍去) 故 C 的离心率为2 (Ⅱ) 由题意, 原点 O 的F1 F 2 的中点, MF2 ∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D 是线段 MF1 的中点, 故 a =4,即
b2 = 4a ① 由 MN =5 F1 N 得 DF1 = F1 N
b2 1 c 1 c b2

设 N(x,y) ,由题意可知 y<0,则 代入方程 C,得4a 2 +b 2 =1
9c 2 1

x=? 2 ?c ? x = c 2 即 ?2y = 2 y = ?1

3c


9(a 2 ?4a ) 4a 2

将①以及 c= a2 ? b2 代入②得到

+4a =1

1

解得 a=7, b2 = 4a = 28,故 a=7,b2 = 2 7
4. (14 年 1) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆的焦点,直线 AF 2 a b 2

的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(I)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 20. 【解析】(Ⅰ) 设 F ? c, 0 ? ? ? ,由条件知

2 2 3 c 3 ,得 c ? 3 ? 又 ? , ? c 3 a 2
……….6 分

所以 a=2?, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 ,故 E 的方程

x2 ? y2 ? 1. 4

(Ⅱ)依题意当 l ? x 轴不合题意,故设直线 l: y ? kx ? 2 ,设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ?

x2 将 y ? kx ? 2 代入 ? y 2 ? 1 ,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 , 4

8k ? 2 4k 2 ? 3 3 当 ? ? 16(4k ? 3) ? 0 ,即 k ? 时, x1,2 ? 1 ? 4k 2 4
2
2

从而 PQ ?

k 2 ? 1 x1 ? x2 ?

4 k 2 ? 1? 4 k 2 ? 3 ? ? 1 ? 4k 2
2 k 2 ?1
,所以 ? OPQ 的面积 S ?OPQ

又点 O 到直线 PQ 的距离 d ?
2

1 4 4k 2 ? 3 ? d PQ ? , 2 1 ? 4k 2

设 4k ? 3 ? t ,则 t ? 0 , S ?OPQ ?

4t 4 ? ? 1, t ?4 t? 4 t
2

当且仅当 t ? 2 , k ??

7 7 l 的方程为:y ? 时等号成立, 且满足 ? ? 0 , 所以当 ? OPQ 的面积最大时, x?2 2 2
…………………………12 分

或y??

7 x?2. 2

5.(13 年 2)(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M :

x2 y 2 ? =1 (a > b> 0) 右焦点的直线 a 2 b2

1 x ? y ? 3 ? 0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2
(1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值. 20. 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),

x12 y12 x2 2 y2 2 b2 ? x2 ? x1 ? y ?y y2 ? y1 ? =1 ? =1 , , ,由此可得 ? ? 2 1 =1 . = ? 1 2 2 2 2 2 a b a b x2 ? x1 a ? y2 ? y1 ? x2 ? x1 y 1 2 2 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 0 ? ,所以 a =2b . x0 2
则 又由题意知,M 的右焦点为( 3 ,0),故 a -b =3.因此 a =6,b =3.
2 2 2 2

x2 y2 ? =1 . 6 3 ? 4 3 ? x ? y ? 3 ? 0, , ?x ? ? ? 2 ? x ? 0, ? 3 (2)由 ? x 解得 ? 或? y2 ? 1, ? y ? 3. ? ? ?y ? ? 3 , ? 3 ?6 ? 3 ?
所以 M 的方程为 因此|AB|=

4 6 . 3
? 5 3 ? ? n ? 3 ? ? ?, 3 ? ?

由题意可设直线 CD 的方程为 y= x ? n ? ? 设 C(x3,y3),D(x4,y4).

? y ? x ? n, ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 3x +4nx+2n -6=0. ?1 ? ? 3 ?6
于是 x3,4=

?2n ? 2?9 ? n2 ? . 3

因为直线 CD 的斜率为 1,

4 9 ? n2 . 3 1 8 6 由已知,四边形 ACBD 的面积 S ? | CD | ? | AB |? 9 ? n2 . 2 9 8 6 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 . 3 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 3
所以|CD|= 2 | x4 ? x3 |? 6.( 13 年 1)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与 圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外),其 方程为
2 2 2 2

x2 y2 ? =1 (x≠-2). 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 2 2 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) +y =4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°, 由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则

| QP | R 可求得 Q(-4,0), ? , | QM | r1

所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得

| 3k |
2

1? k x2 y2 2 2 当 k= 时,将 y ? x ? 2 代入 ? =1 , 4 3 4 4
并整理得 7x +8x-8=0, 解得 x1,2=
2

=1 ,解得 k= ?

2 . 4

?4 ? 6 2 . 7
18 . 7

2 所以|AB|= 1 ? k | x2 ? x1 |?

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4 18 综上,|AB|= 2 3 或|AB|= . 7
当k ? ? 7.(12 年)设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆
2

F 交 l 于 B, D 两点;
(1)若 ?BFD ? 900 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m, n 距离 的比值。 【解析】 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p
S?ABD ? 4 2 ?
2

1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2
2

圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8 (2)由对称性设 A( x0 ,
2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

3p p ? p 3p 3p ?0 ) ,直线 m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3 y ? 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

x2 ? 2 py ? y ?

x2 x 3 3 3p p , ) ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

3p 3p : ? 3 。(lfx lby) 2 6

8.(11 年)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB / /OA ,

uuu r

uur

uuu r uu u r uuu r uu r MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (20)解: (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).

所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知( MA + MB )? 所以曲线 C 的方程式为 y=

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r

uuu r AB =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

1 2 x -2. 4 1 2 1 ' 1 (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0。 2
则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 |

x ?4
2 0

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4
2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

x2 y 2 9. (10 年) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 过 F1 斜率为 1 的直线 i 与 E 相交于 A, B a b
两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。 (1)求 E 的离心率; (2) 设点 p(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程 解: (I)由椭圆定义知 AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2 , 得 AB ?

4 a 3

l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a2 ? b2 。
设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2 2 2 2 2 2 2 2 化简的 ? a ? b ? x ? 2a cx ? a ? c ? b ? ? 0 ?x y2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b

a 2 ? c 2 ? b2 ? ?2a 2c 则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? a ? b2 a 2 ? b2
因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB ?
2 2 x2 ? x1 ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?



4 4ab 2 a? 2 , 故 a 2 ? 2b2 3 a ? b2

所以 E 的离心率 e ?

c a 2 ? b2 2 ? ? a a 2
x1 ? x2 ?a 2 c 2 c ? 2 ? ? c , y0 ? x0 ? c ? 。 2 3 2 a ?b 3

(II)设 AB 的中点为 N ? x0 , y0 ? ,由(I)知 x0 ?

由 PA ? PB ,得 kPN ? ?1 ,即 得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2, b ? 3

y0 ? 1 ? ?1 x0

x2 y 2 ? ? 1。 故椭圆 E 的方程为 18 9
10.(09 年)已知,椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定值, 并求出这个定值。 (20)解: (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为

3 2

1 9 3 ? 2 ? 1,解得 b2 ? 3 , b 2 ? ? (舍去) 2 4 1? b 4b
……………4 分

x2 y 2 ? ? 1。 所以椭圆方程为 4 3
(Ⅱ)设直线 AE 方程为: y ? k ( x ? 1) ?

x2 y 2 3 ? ? 1得 ,代入 2 4 3

3 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2 3 设 E (x E , y E ) , F (x F , y F ) ,因为点 A(1, ) 在椭圆上,所以 2 3 4( ? k )2 ? 12 3 yE ? kxE ? ? k xF ? 2 2 2 3 ? 4k
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以—K 代 K,可得

………8 分

3 4( ? k )2 ? 12 xF ? 2 3 ? 4k 2

yE ? ?kxE ?

3 ?k 2

所以直线 EF 的斜率 K EF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2
……12 分

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

11, (08 年)在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2。F2 也是抛物 a 2 b2 5 线 C2: y 2 ? 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 |? 。 3

(1) 求 C1 的方程;

(2) 平面上的点 N 满足 MN ? MF1 ? MF2 ,直线 l∥MN,且与 C1 交于 A、B 两点,若 OA 〃 OB =0,求 直线 l 的方程。 解: (Ⅰ) 由

uuu r

uuur

uuuu r

uur

uuu r

5 5 C2 : y 2 ? 4x 知 F2 (1, 0) .设 M ( x ,y ) ,M 在 C 上, 因为 MF2 ? , 所以 x1 ? 1 ? , 2 1 1 3 3

得 x1 ? , y1 ?
M

2 3

2 6 . 3

在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c ? 1 ,于是

8 ? 4 ? 2 ? 2 ? 1, 消去 b2 并整理得 9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0 , ? 9a 3b ?b 2 ? a 2 ? 1. ?
x2 y 2 1 a ? 2 解得 ( a ? 不合题意,舍去) .故椭圆 C1 的方程为 ? ? 1 . 3 4 3

(Ⅱ)由 MF1 ? MF2 ? MN 知四边形 MF1NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O ,
2 6 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,故 l 的斜率 k ? 3 ? 6 . 2 3

uuur

uuuu r

uuu r

设 l 的方程为 y ? 6( x ? m) .
2 2 ? ?3x ? 4 y ? 12, 由? 消去 y 并化简得 9 x2 ? 16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 . ? ? y ? 6( x ? m),

设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , x1 ? x2 ?
uur uu u r

8m2 ? 4 16m , x1 x2 ? . 9 9

因为 OA ? OB ,所以 x1x2 ? y1 y2 ? 0 .
8m2 ? 4 16m ? 6 mg ? 6m 2 x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? 6( x1 ? m)( x2 ? m) ? 7 x1x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m ? 7g 9 9
2

1 ? (14m 2 ? 28) ? 0 .所以 m ? ? 2 . 9

此时 ? ? (16m)2 ? 4 ? 9(8m2 ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 y ? 6x ? 2 3 , 或 y ? 6x ?2 3 .
12.(07 年)在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 点 P 和Q . (I)求 k 的取值范围; (II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k ,使得向量 OP ? OQ 与 AB 共 线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , 代入椭圆方程得

x2 ? y 2 ? 1有两个不同的交 2

??? ? ??? ?

??? ?

x2 ?1 ? ? (kx ? 2) 2 ? 1 .整理得 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 2 ?2 ?



直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8k 2 ? 4 ?

?1 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 , ?2 ?

? ? 2? ? 2 2 2 ? ? , ? ∞ 或k ? .即 k 的取值范围为 ? ?∞, ? ? ? ? ? ? 2 ?. 2 2 2 ? ? ? ? ??? ? ???? (Ⅱ)设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) ,
解得 k ? ? 由方程①, x1 ? x2 ? ?

4 2k . 1 ? 2k 2



又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 . 而 A( 2 ,, 0) B(01) ,, AB ? (? 21) ,.



??? ?

所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ?

??? ? ??? ?

??? ?

2 . 2

由(Ⅰ)知 k ? ?

2 2 或k ? ,故没有符合题意的常数 k . 2 2


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