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内蒙古包头市包头一中2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题 给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
1 ( . )
1 3 A、 ? i 4 12 1 3 B、 ? i 4 12
i













i ? 3 ? 3i

C、

1 3 ? i 2 6

1 3 D、 ? i 2 6

2.在等差数列 {an } 中, 2(a1 ? a4 ? a7 ) ? 3(a9 ? a11 ) =24,则前 13 项之和等于 ( ) A.13 B.26 C.52 D.156 ) 14 或 15

3.若数列 ?an ?中, an ? 43? 3n ,则 S n 取得最大值时 n 的值是(
A. 13 B. 14 4.下列各组函数是同一函数的是( C.

15

D.

) ② f ( x ) ? x 与 g ( x) ? x 2 ; ④ f ( x) ? x2 ? 2 x ?1与 g (t ) ? t 2 ? 2t ?1 。 C. ③④ )
a ?a a

① f ( x) ? ?2 x3 与 g ( x) ? x ?2x ; ③ f ( x) ? x0 与 g ( x ) ? A. ①②
1 ; x0

B. ①③

D. ①④

5.下列各命题中,不正确的是(

A.若 f ( x) 是连续的奇函数,则 ? f ( x)dx ? 0 B.若 f ( x) 是连续的偶函数,则 ? f ( x)dx ? 2? f ( x)dx
?a 0 a

C.若 f ( x) 在 [a,b] 上连续且恒正,则 ? f ( x)dx ? 0
a

b

D.若 f ( x) 在 [a,b] 上连续,且 ? f ( x)dx ? 0 ,则 f ( x) 在 [a,b] 上恒正
a

b

6.函数 y= log1 ( x 2 ? 6 x ? 17) 的值域是
2

( C. (-∞,-3 ]



A.R

B. [8,+ ?)

D. [-3,+∞]

7 . 为 了 得 到函 数 y ? lg

x 的 图 像 , 只 需 把函 数 y ? lg x 的 图 像 上 所 有的 点 10

( ) A.向左平移 1 个单位长度 C.向上平移 1 个单位长度

B.向右平移 1 个单位长度 D.向下平移 1 个单位长度 )

8.若非零向量 a,b 满足| a | ? b |、(2a ? b) ? b ? 0 |,则 a,b 的夹角为( |

A.300 B.600 C.1200 D.1500 9 . 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 是 偶 函 数 , 对
x ? R都 有f (2 ? x) ? f (2 ? x),当f (?3) ? ?2 时, f (2007) 的值为(



A.2

B.-2

C.4

D.-4

10.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信 封 放 2 张, 其 中标 号 为 1 , 2 的 卡 片放 入 同一 信 封, 则 不同 的 方法 共 有 ( ) B.18 种 C.36 种 D.54 种

A.12 种

?1, x ? 0 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,则使方程 x ? f ( x) ? m 有解的实数 m 的取值范围 ,x ? 0 ?x ?

是(

) B. (??, ?2] C. (??,1) ? (2, ??) D. (??,1] ? [2, ??)

A. (1,2)

12.已知 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时不等式 f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 成立,若 a ? 30.3 ? f ? 30.3 ? , 则 a , b , c 大小关系是( A. b ? a ? c

, b ? log? 3? f ? log? 3? , c ? log3 1 ? f ? log3 1 ? , ? ?
9 ? 9?

) C. a ? c ? b D.b>c>a

B. a ? b ? c

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为 2 x 1 14. (1+x+x2 )(x- )6 的展开式中的常数项为________. x

13.由直线 x ?



15.(7-----13 班做)若 f ? x ? 是 R 上的奇函数,则函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象必过定 点 。 15. (1-----6 班做)设函数 f ? x ? 的定义域为 D,如果对于任意的 x1 ? D ,存在唯一 的 x2 ? D ,使
f ? x1 ? ? f ? x2 ? 2 ? C (C 为常数)成立,则称函数 f ? x ? 在 D 上的均

值为 C。下列五个函数: ① ? 4 sin x ; ② ? x3 ; ③ ? lg x; ④ ? 2x ; y y y y ⑤ ? 2x ?1 , y 。

满足在其定义域上均值为 2 的所有函数的序号是 (注意:16 题第 (1) 问 7----13 班做,第(2)问 1-----6 班做)

16.函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ?( x) 的部分图像如图 4 所示,其 中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最 低点. (7-----13 班做)(1)若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 ) ,则 ? ? 2



(1-----6 班做) (2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该 点在△ ABC 内的概率为 .

三.解答题: 本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤.
2 17. ( 本 题 满 分 10 分 ) 已 知 命 题 p : ?x ? [1,2], x ? a ? 0 ” 命 题 q : “ ,
2 “ ?x 0 ? R, x 0 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ” ,若“p ? q”为真命题,求实数 a 的取值范围。

18.(本题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a、c 的值。 19.(本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n-5an-85,n∈N *.求 数列{an}的通项公式;

f ?3? ? log2 3 20.(本题满分 12 分)定义在 R 上的单调函数 f ?x ? 满足 且对任意

x, y ? R 都有 f ? x ? y ? ? f ( x) ? f ( y) .

(1)求证 f ?x ? 为奇函数; (2)若
f ? k ? 3x ? ? f (3x ? 9 x ? 2) ? 0

对任意 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

21.(本题满分 12 分)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道 试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题,规定每次考试都从备选 题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格。 (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。

22.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= 值及该切线的方程;

x ,g(x)=alnx,a∈R.

(1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的 (2)设函数 h(x)=f(x)-g(x) ,当 h(x)存在最小值时,求其最小值φ (a) 的解析式;

19.解析:当 n=1 时,a1=-14; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1, 所以 an-1=5 6 (an-1-1), 又 a1-1=-15≠0,所以数列{an-1}是等比数列; an-1=-15?(5 6 )n-1,

R 恒成立.

21.解: (1) P( A) ? , P ( B ) ?

2 3

14 44 ; (2) 。 15 45


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