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高中数学配套课件:第一部分 第三章 3.1 不等关系与不等式


知识点一 3.1 第 三 章 不 等 式 不 等 关 系 与 不 等 式

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在日常生活中,我们经常看到下列标志:

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问题1:你知道各图中的标志有何作用?其含义是什么吗?
提示:①最低限速:限制行驶时速v不得低于50公里; ②限制质量:装载总质量G不得超过10 t; ③限制高度:装载高度h不得超过3.5米; ④限制宽度:装载宽度a不得超过3米; ⑤时间范围:t∈[7.5,10]. 问题2:你能用一个数学式子表示上述关系吗?如何表示?

提示:①v≥50;②G≤10;③h≤3.5;④a≤3;⑤7.5≤t≤10.

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文字语言与数学符号间的转换 文字语言 数学符号 文字语言 大于 数学符号 ≤ ≥ ≥ ≤

> <
≥ ≤

至多

小于
大于等于

至少
不少于

小于等于

不多于

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实数可以用数轴上的点表示,数轴上的每个点都表示一 个实数,且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 问题1:怎样判断两个实数a、b的大小? 提示:若a-b是正数,则a>b;若a-b是负数,则a<b; 若a-b是零,则a=b.

问题2:你能否由问题1得出两个实数比较大小的方法?
提示:能.通过两个实数作差,判断差的正负比较大小.

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比较两个实数a、b大小的依据 文字语言 如果a>b,那么a-b是正数; 如果a<b,那么a-b是负数; 如果a=b,那么a-b等于0, a>b?a-b>0 a<b?a-b<0 a=b?a-b=0 符号表示

反之亦然

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问题1:若a>b,b>c,则a>c,对吗?为什么?

提示:正确.∵a>b,b>c,∴a-b>0,b-c>0.
∴(a-b)+(b-c)>0.即a-c>0.∴a>c.

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问题2:若a>b,c>0,则ac与bc有何大小关系?为什么?
若c<0呢? 提示:ac>bc.∵a>b,c>0,∴a-b>0,∴(a-b)· c>0. ∴ac-bc>0,∴ac>bc;若c<0,则有ac<bc.

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不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c. a>b? ? ??a+c>b+d; 推论(同向可加性): c>d ? ?

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a>b? a>b? ? ? ??ac>bc; ??ac<bc; (4)可乘性: ? ? c>0 ? c<0 ? a>b>0? ? ??ac>bd; 推论(同向可乘性): ? c>d>0 ? (5)正数乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N*,n≥1); n n (6)正数开方性:a>b>0? a> b(n∈N*,n≥2).

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1.用不等式表示不等关系 (1)在现实世界和日常生活中,既有相等关系, 又存在着形形色色的不等关系,它们都是客观存在 的基本数量关系,是数学研究的重要内容.在数学 中,我们用不等式表示不等关系.

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(2)“不等关系”与“不等式”的关系: 不等关系强调的是关系,可用符号“>”、“<”、“≠”、

“≥”、“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用
“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”、“a≤b”等式子表示,不

难发现,不等关系是可以通过不等式来体现的,离开了不
等式,不等关系就无从体现.

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2.比较两个实数a,b的大小,一般用作差比较法,

其根据是:a≥b?a-b≥0,a<b?a-b<0,其实质是判定
(a-b)的值与0的大小关系. 3.在使用不等式的性质时,一定要搞清它们成立的 前提条件.例如: (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号 而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如 a≤b,b<c?a<c. 返回

(2)在乘法法则中,要特别“注意乘数c的符号”.例 如当c≠0时,有a>b?ac2>bc2;若无c≠0这个条件, 则a>b?ac2>bc2就是错误结论(∵当c=0时,取“=”).

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[例1]

(1)某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以

售出8万本.根据市场调查,若单价每提高0.1元,销售
量就可能相应减少2 000本,若把提价后杂志的定价设为 x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元? (2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和 600 mm两种,按照生产的要求,600 mm钢管的数量不

能超过500 mm钢管的3倍.试写出满足上述所有不等关
系的不等式.

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[思路点拨]

(1)根据“销售总收入=销售量×销售单价”,

“不低于”即“大于或等于”,可列出不等式; (2)应先设出相应变量,找出其中的不等关系,即①两种钢 管的总长度不能超过4 000 mm;②截得600 mm钢管的数量不 能超过500 mm钢管数量的3倍;③两种钢管的数量都不能为 负.于是可列不等式组表示上述不等关系.

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[精解详析]

(1)提价后杂志的定价为 x 元, 则销售的总

x-2.5 收入为(8- 0.1 ×0.2)x 万元,那么不等关系“销售的 总收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为 x-2.5 (8- 0.1 ×0.2)x≥20.

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(2)设截得 500 mm 的钢管 x 根, 截得 600 mm 的钢管 y 根, ?500x+600y≤4 000 ? ?3x≥y, 依题意,可得不等式组:? ?x≥0, ?y≥0. ? ?5x+6y≤40, ? ?3x≥y, 即? ?x≥0, ?y≥0. ?

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[一点通] 的步骤:

用不等式(组)表示实际问题中不等关系

(1)审题.通读题目,分清楚已知量和待求量,设
出待求量; (2)列不等关系.列出待求量具备哪些不等关系 (即满足什么条件); (3)列不等式(组).挖掘题意,建立已知量和待求

量之间的关系式,并分析某些变量的约束条件(包含隐含
条件). 返回

1.实数m不超过 2,是指 A.m> 2 C.m< 2 B.m≥ 2 D.m≤ 2

(

)

答案:D

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2.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示 司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h满足关 系为 A.h<4.5 C.h≤4.5 答案:C B.h>4.5 D.h≥4.5 ( )

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3.用不等式表示“a与b的差是非负数”为________. 答案:a-b≥0

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4.配制A、B两种药剂,需要甲、乙两种原料.已知 配一剂A种药需甲料3克,乙料5克;配一剂B种药需甲 料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若A、B 两种药至少各配一剂,设A、B两种药分别配x、y剂(x、

y∈N),请写出x、y应满足的不等关系式.
?3x+5y≤20, ? ?5x+4y≤25, 解:根据题意可得? ?x≥1,x∈N, ?y≥1,y∈N. ?

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[例2]

比较下列各组中两个代数式的大小:

(1)x2+3与3x; (2)已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2. [思路点拨] 将两个代数式作差,并对差式进行变形

(因式分解或配方),判断变形后式子的符号,即可得解.

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[精解详析]

(1)(x2+3)-3x=x2-3x+3

32 3 3 =(x-2) +4≥4>0, ∴x2+3>3x.

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(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b) =(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b), ∵a>0,b>0且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0, 即a3+b3>a2b+ab2.

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[一点通]

本例比较大小的方法称为“作差比较法”,

其解答问题的一般步骤为
(1)作差:对要比较大小的两个式子作差; (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进 行变形; (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差

的符号;
(4)作出结论.

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x 1 5.若x∈R,则 与 的大小关系为________. 1+x2 2
2 ?x-1?2 x 1 2x-1-x 解析:∵ 2- = 2 2?1+x2? =-2?1+x2? ≤0, 1+x

x 1 ∴ ≤ . 1+x2 2

x 1 答案: ≤ 1+x2 2

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6.已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小.
解:(x3-1)-(2x2-2x) =(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1) 12 3 =(x-1)(x -x+1)=(x-1)[(x-2) +4],
2

12 3 ∵x<1,∴x-1<0.又(x-2) +4>0, 12 3 ∴(x-1)[(x-2) +4]<0,∴x3-1<2x2-2x.

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[例 3]

对于实数 a,b,c,给出下列命题:

①若 a>b,则 ac2>bc2; ②若 a<b<0,则 a2>ab>b2; ③若 a>b,则 a2>b2; a b ④若 a<b<0,则b>a.

其中正确命题的序号是________.

[思路点拨]

直接利用不等式的基本性质逐一判断;

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[精解详析]

对于①∵c2≥0,∴只有c≠0时才成立,①不正

确;对于②,a<b<0?a2>ab;a<b<0?ab>b2,∴②正确; 对于③,若0>a>b,则a2<b2,如-1>-2,但(-1)2<(-2)2, ∴③不正确; 对于④,∵a<b<0,∴-a>-b>0,∴(-a)2>(-b)2,即a2>b2. 1 1 1 a b 又∵ab>0,∴ab>0,∴a2· >b2· ,∴b>a, ab ab ④正确.

答案:②④ 返回

[一点通]

利用不等式性质判断式子是否成立的方法

(1)运用不等式的性质判断.要注意不等式成立的条件,

不要弱化条件,尤其是不能凭想象捏造性质.
(2)特值法.取特值时要遵循如下原则:一是满足题设

条件;二是取值要简单,便于验证计算.

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7.如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的 . 是 A.a-d>b-c C.a+d>b+c a b B.d> c D.ac>bd ( )

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解析:可利用不等式的基本性质一一验证.由已知及不等式 的性质可得a+c>b+d,即a-d>b-c,所以A正确; 1 1 a b 由c>d>0,得d> c>0,又a>b>0,所以d> c,即B正 确;显然D正确.

答案:C

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8.判断下列两个命题的真假. 1 1 (1)若 a<b<0,则a<b; (2)若 a>b>c,则有 a|c|>b|c|.

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1 解:(1)∵a<b<0,∴ab>0.∴ab>0. 1 1 1 1 ∴a· <b· .∴b<a.∴(1)是假命题. ab ab (2)∵a>b,|c|≥0,当 c≠0 时,|c|>0, ∴a|c|>b|c|; 当 c=0 时,|c|=0,∴a|c|=b|c|=0. ∴(2)是假命题.

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1.比较两个实数或者代数式的大小的依据
a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 常用的方法是作差法. 2.不等式的性质是解决不等式问题的依据,依据 不等式性质可以判断命题的真伪,可以对不等式变形求 解和比较代数式的大小,可以证明复杂不等式.特别是 涉及字母的取值范围问题时,必须依据所给条件和不等

式性质进行求解,否则就容易出错.

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3.同向不等式相加方向不变,即a>b,c>d?a +c>b+d,不具有可逆性;注意:不能确定正负的代

数式,不等式的两边不能同乘,都是正数时不等式才
满足:同向不等式相乘方向不变,即a>b>0且c>d> 0时,才有ac>bd.

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