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人教版高中数学必修四课件:1.4.3正切函数的性质与图象 (共25张PPT)_图文

1.4.3 正切函数的性质与图象 知识点一 正切函数的性质 问题一 正切函数 f ( x) ? tan x 的定义域是什么? 正切函数的定义域为{x | x ? R且x ? ? 2 ? k? , k ? Z } 知识点一 正切函数的性质 问题二 正切函数 f ( x) ? tan x 的奇偶性如何? 由正切函数f ( x) ? tan x的定义域关于坐标原点对称; 进一步地:f (? x) ? tan(? x) ? ? tan x ? ? f ( x), 正切函数是奇函数。 知识点一 正切函数的性质 问题三 正切函数 f ( x) ? tan x 的周期性如何? 由f ( x+? ) ? tan( x ? ? ) ? tan x ? f ( x); 得正切函数f ( x) ? tan x是周期函数, 正切函数的最小正周期T ? ? . 知识点一 正切函数的性质 问题四 正切函数 f ( x) ? tan x 的单调性如何? 借助正切线研究(? 正切函数在(? ? ? , )内的单调趋势; 2 2 ? ? , )内是增函数; 2 2 由正切函数的周期性可得: 正切函数在开区间(? ? 2 ? k? , ? 2 ? k? ), k ? Z内都是增函数。 知识点一 正切函数的性质 问题五 正切函数 f ( x) ? tan x 的值域如何?有无最值? 如图?,当x小于 ? 2 且无限接近 ? 2 时,正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸; 如图?V,当x大于- ? 2 且无限接近- ? 2 时,正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸; 正切函数的值域是实数集R ,无最值。 知识点二 正切函数的图象 思考 类比正余弦函数图象的作法,如何利用正切线作出正切函数图象? 答案 π π 根据正切函数的定义域和周期,首先作出区间(-2,2)上的图象. 现在利用正切线画出函 数y ? tan x, x ? (? ? ? y ①作直角坐标系; ②等分; ③描点; ④连线. ? , )的图象 2 2 ? ? 1 ? ? o1 ? ? ? 0 ?1 x 知识点二 正切函数的图象 接下来,将上述图像向左、向右扩展,就可以得到正切函数的图象。 注: 1.渐进线: x = ? 2 2.对称性? 对称轴、对称中心? 正切函数没有对称轴; ? k? , k ? Z ; 正切函数有对称中心; k? 正切函数的对称中心( ,0),k ? Z . 2 正切曲线 3.能否找出一个单调递减区间? 思考 那能否类似的作出正切函数y ? tan x, x ? (? 我们能用“五点法”简便地作出正弦函数与余弦函数的简图, ? ? , )的简图?怎么作? 2 2 两线三点法 两线 : x ? ? 2 , x?? ? 2 三点 : (? ? , ?1) , (0, 0) , ( ,1) 4 4 ? 类型一 例1 求下列函数的定义域. 正切函数的定义域 1 (1)y= ; 1+tan x 1 解: 要使函数y ? 有意义, 必须且只需 1 ? tan x ? ? ?1+ tan x ? 0 x ? k? ? , k ? Z ? ? ? 4 ?? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ? 2 所以函数的定义域为{x | x ? R, 且x ? k? ? ? 4 , x ? k? ? ? 2 , k ? Z }. (2) y ? lg( 3 ? tan x). 解: 要使函数y ? lg( 3 ? tan x)有意义, 必须且只需 3 ? tan x ? 0, 即tan x ? 3 由正切函数的图象得 : k? ? ? 2 ? x ? k? ? ? 3 , k ? Z. 所以函数的定义域为{x | k? ? ? 2 ? x ? k? ? ? 3 , k ? Z }. 总结归纳 求正切函数的定义域需要注意: 1.注意正切函数自身的限制条件; 2.注意利用正切函数的图象进行方程或不等式的求解; 3.注意解集的规范书写. 类型二 设函数f ( x)= tan(2 x ? ). 3 正切函数的性质及其应用 ? (1)求函数f ( x)的最小正周期,对称中心; 解:由f ( x) ? tan(2 x ? ) ? tan(2 x ? ? ? ) ? tan[2( x ? ) ? ] ? f ( x ? ) 3 3 2 3 2 ? ? ? ? ? ; 2 ? k? ? k? ,k ? Z , k ? Z , 得x ? ? 令2 x ? ? 6 4 2 3 ? k? 则函数f ( x)的对称中心为( ? , 0), k ? Z . 6 4 则函数f ( x)的最小正周期T ? ? 类型二 设函数f ( x)= tan(2 x ? ). 3 正切函数的性质及其应用 ? (2)求函数f ( x)的单调区间。 解:由k? ? ? 2 3 2 k? ? k? 5? 得 ? ?x? ? , k ? Z. 2 12 2 12 ? 2x ? ? ? k? ? ? , k ?Z k? ? k? 5? 所以函数f ( x)的单调递增区间为( ? , ? ), k ? Z . 2 12 2 12 类型二 ? 正切函数的性质及其应用 1 变式 求函数f ( x)= tan( ? x)的单调区间. 4 2 ? 1 1 ? 解: f ( x) ? tan( ? x) ? ? tan( x ? ), 4 2 2 4 ? 1 ? ? 由k? ? ? x ? ? k? ? , k ? Z 2 2 4 2 3? 得 2 k? ? ? x ? 2 k ? ? , k ? Z. 2 2

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