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线性规划常见题型及解法

专题:线性规划常见题型及解法
由已知条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域 内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下几类常见 题型。

一、求线性目标函数的取值范围
例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 , 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 3,5] ( ( )

y 2

B A

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+2y= 0, 将

y =2 x x + y =2

l 向 右 上 方 平 移 , 过 点 A( 2,0) 时 , 有 最 小 值
2, 过 点 B( 2,2) 时 , 有 最 大 值 6, 故 选 A

O

2 x=2

二、求可行域的面积
例 2、不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 B、 1 C、 5 D、 无 穷 大 ( )A、4

y

x+y – 3 = 0 B M A O y =2

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , △ABC 的 面 积 即 为 所 求 , 由 梯 形 OMBC 的 面 积 减 去 梯 形 OMAC 的 面 积 即 可 , 选 B

三、求可行域中整点个数
例 3、 满 足 |x|+ |y|≤2 的 点 ( x, y) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 ( A、 9 个 B、 10 个 C、 13 个 D、 14 个

C x 2x + y – 6= 0 =5


y

解 : |x|+ |y|≤2 等 价 于 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界) , 容 易 得 到 整 点 个 数 为 13 个 , 选 D

O

x

四、求线性目标函数中参数的取值范围

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1

例 4 、 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 , 使 z =x + a y ( a > 0 ) 取 得 最

y
小值的最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1 ( )

x–y+5=0

x+y=5

解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 , 作 直 线 l: x+ay= 0, 要 使 目 标 函 数

O

x=3 x

z = x + a y ( a > 0 ) 取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ,则 将 l 向 右 上 方 平 移 后 与 直 线 x + y = 5 重 合 , 故 a=1, 选 D

五、求非线性目标函数的最值
例 5、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 的最大值和最小值分别是( A、 13, 1 C、 13, B、 13, 2 D、 , ) , 则 z=x2+y2

y A

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

x 2x + y - 2= 0 =5

解 :如 图 ,作 出 可 行 域 , x 2 + y 2 是 点( x ,y )到 原 点 的 距 离 的 平 方 ,故 最 大 值 为 点 A( 2 ,3 ) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 ,即 |AO|2=13,最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x+ y- 2=0 的 距 离 的 平 方 , 即为,选 C

六、求约束条件中参数的取值范围
例 6、 已 知 |2x- y+ m|< 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点

y
( 0 , 0 )和( - 1 , 1 ) ,则 m 的 取 值 范 围 是 A、 -3,6) ( B、 0,6) ( C、 0,3) ( ( )

2x – y + 3 = 0 2x – y = 0

D、 -3,3) (

解 : |2x- y+ m|< 3 等 价 于 由 右 图 可 知 , 故 0 < m< 3 , 选 C

O

七·比值问题
当目标函数形如 z ?

y?a 时,可把 z 看作是动点 P( x, y ) 与定点 Q(b, a) 连线的斜率,这样目标函数的 x ?b

最值就转化为 PQ 连线斜率的最值。
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?x-y+2≤0, y 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 | 的取值范围是( | x ?x+y-7≤0,
9 (B) (-∞, |]∪[6,+∞) 5 (D)[3,6]

).

9 (A)[ |,6] 5 (C) (-∞,3]∪[6,+∞)

解析

y x

|是可行域内的点 M(x,y)与原点 O

5 9 y (0,0)连线的斜率,当直线 OM 过点( |, |)时, |取得 2 2 x 9 y 最小值 |;当直线 OM 过点(1,6)时, |取得最大值 6. 答案 A 5 x

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