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等差数列求和公式课件


泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大 奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图 案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层(见上图),奢靡之程度,可见 一斑。你知道这个图案一共耗费了多少宝石吗?

情景
1+2+3+4+…+97+98+99+100=? 高斯答: 1+2+3+4+…+97+98+99+100=

5050

1+100=101 2+ 99=101 3+ 97=101 … 51=101 50+ …
高斯(1777---1855), 德国数学家、物理学家和天 文学家。他和牛顿、阿基米 德,被誉为有史以来的三大 数学家。有“数学王子”之 称。

101×50=5050

实际上高斯解决了求等差数列

1,2,3,4,…n,…
前100项的和的问题
如何求等差数列

1,2,3,4,…n,… 前n项的和?
定义 一般的,我们称

a1+a2+a3+…+an
为数列{an}的前n项和,用Sn 表示,即

Sn =a1+a2+a3+…+an

求等差数列 1,2,3,…n,…前n项的和?

sn = 1 + 2 + 3 + …+(n-1 )+ n +)sn = n +( n-1 )+(n-2)+… + 2 + 1
∴2 sn =(n+ 1)+ (n+ 1) +…+(n+ 1)
—— 倒序相加法 n ? (n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2

=n(n+1)

思考:这种方法能否推广到求一般等 差数列前n项求和呢?

探究发现

倒序相加法

如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ?


+) S n = a n + a n -1 + a n -2 + … + a 2 + a 1 2S n = ( a 1 + a n ) + ( a 2 + a n -1 ) +…+ ( a n + a 1 ) =n ( a 1 + a n ) 故等差数列的前 n 项求和公式:

S

n

= a 1 + a 2 + a 3 + … + a n -1 + a n

n(a1 ? an ) an ? a1 ? (n ? 1)d n(n ? 1) Sn ? S n ? na1 ? d 2 2

等差数列前n项和公式
—— 类比梯形面积公式记忆
a1

n

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

a1

(n-1)d

an

练习 根据下列各题中的条件,求相 应的等差数列 ?an ?的前n项和 S n

1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10

2)a1 ? 100, d ? ?2, n ? 50
答案 (1) S10 ? 500
(2) S50 ? 2550

根据条件,选择公式

例1
1、等差数列中a1 =4,d=2, an=32, 270 求 数列的前项和Sn
2、等差数列5,4,3,2,…,则前多少项的和

为 -30;

15

五 个 元 素 : a1, a n , n , d , S n “知 三 求 二 ”

巩固与提高
1.
150 在等差数列{an}中,a2+a9=30,求S10= ——— 260 2. 在等差数列{an}中,已知a7=20,S13 = ——

3. 在等差数列{an}中,已知a6+a9+a12+a15=34, 170 S20= ———— 反思总结:
当已知条件不足以求出a1和d时,要认真观 察,灵活应用等差数列的性质,看能否用 整体思想求a1+an的值.

学以致用
例2: 2000年11月14日教育部下发了《关于小学 “校校通”工程的通知.某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的 时间,在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费 为500万元. 为了保证工程的顺利实施,计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么 从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工 程的总投入是多少?
总结:实际问题,建立数学模型,利用数学的观点 解决问题,然后再回归问题实际

公式应用

例3
已知等差数列{an}前10项的和是310, 前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗?

列方程组,解方程

例4
(1)求数列?an ?的通项公式; 的首相与公差分别是什么?

1 已知数列 ?an ? 的前 n项和为 S n ? n ? n. Sn=n +9n 2
22

(2)这个数列是等差数列吗?如果是,它

反思:已知Sn如何求通项公式an

等差数列前n项和公式的推导: 倒序相加法
等差数列前n项和公式的应用:

五 个 元 素 : a1, a n , n , d , S n “知 三 求 二 ”
数学思想: 类比思想、方程思想、 数学建模思想,整体思想

作业反馈

课本46页 习题2.3:1、2、

等差数列前n项和公式
—— 类比梯形面积公式记忆
a1

n

an

方法2:等差数列{ an }a1, a2 , a3 ,…, an ,…的公差为d.

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ? ? [a1 ? (n ? 1)d ]
Sn ? an ? (an ? d ) ? ? ? [an ? (n ? 1)d ]

2Sn ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ? 1)d

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2


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