当前位置:首页 >> 数学 >> 专题:数列的综合应用(含答案)

专题:数列的综合应用(含答案)

专题:数列的综合应用
【知识概要】
1.数列求和的常用方法 (1)公式法: ; (2)裂项相消法: ; (3)错位相减法: (4)倒序相加法: (5)分组求和法 (6)并项求和法 2.常用结论 (1) ? k ? 1+2+3+...+n =
k ?1 n n

n( n ? 1) 2

(2) ? (2k ? 1) ? 1+3+5+...+(2n-1) = n 2
k ?1

n

(3) ? k 3 ? 13 ? 2 3 ? ? ? n 3 ? ? 2 n(n ? 1)? k ?1 ? ? (5)

?1

?

2

2 2 2 2 (4)? k 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
k ?1

n

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

( 6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q

3.高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面; (1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 (2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

【题型 1】数列基本知识 例 1、数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 =

1 , Sn = n 2 an - n (n - 1), n = 1, 2, 鬃 2

(Ⅰ)写出 Sn 与 Sn- 1 的递推关系式(n≥2) ,并求 Sn 关于 n 的表达式; (Ⅱ)设 bn ? ?? 1? ?
n

n ?1 S n ,求数列 {bn }的前 n 项和 Tn 。 n
2

解:由 Sn = n an - n(n - 1) (n ? 2)得: Sn = n (Sn - Sn- 1 ) - n(n - 1) ,即
2

(n2 - 1)Sn - n2 Sn- 1 = n(n - 1),所以


n+ 1 n Sn Sn- 1 = 1 ,对 n ? 2 成立。 n n- 1

n+ 1 n n n- 1 3 2 Sn Sn- 1 = 1 , Sn- 1 Sn- 2 = 1 ,…, S2 - S1 = 1 相加得: n n- 1 n- 1 n- 2 2 1

n2 n+ 1 1 S n - 2 S1 = n - 1 ,又 S1 = a1 = ,所以 S n = ,当 n = 1 时,也成立。 n 2 n+ 1

1

(2)bn ? (?1) n n, n为偶数时,Tn ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ? n , 2 n ?1 n ?1 ? (?1) ? ? 2 2

n为奇数时,Tn ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?(n ? 1) ? n ? ?1 ? ? n , n为偶数 ? ? Tn ? ? 2 . n ?1 ?? , n为奇数 ? 2

练习 1、设正项等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项;

1 ,前 n 项和为 S n ,且 210 S30 ? (210 ? 1)S20 ? S10 ? 0 。 2

(Ⅱ)求 ?nSn ?的前 n 项和Tn 。

解: (Ⅰ)由 210 S30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0 得 210 (S30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 , 即 210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 可得 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ?? a20 ) ? a11 ? a12 ? ?? a20 . 因为 an ? 0 ,所以 210 q10 ? 1, (Ⅱ)因为{an } 是首项 a1 ? 解得 q ?

1 1 n ?1 ? n , n ? 1,2, ?. ,因而 a n ? a1 q 2 2

1 1 、公比 q ? 的等比数列,故 2 2

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2
则数列 {nSn } 的前 n 项和 Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? (

1 2 n ? 2 ? ? ? n ), 2 2 2

Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2
前两式相减,得

Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2
Tn ? n(n ? 1) 1 n ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2

1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n ? ? 1 4 2 n ?1 1? 2
【题型 2】 数列与不等式 例2 2.
*



等比数列{an }中,an >0(n∈N ),公比 q∈(0,1),且 a1 a5 +2a3 a5 +a2 a8 =25,又 a3 与 a5 的等比中项为

2

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn =log2 an ,求数列{bn }的前 n 项和 Sn ; S S S (3)是否存在 k ∈N* ,使得 1 + 2 +…+ n <k 对任意 n∈N* 恒成立,若存在,求出 k 的最小值,若不存在, 1 2 n 请说明理由.

练习 2 、已知等比数列 ?x n ?的各项为不等于 1 的正数,数列?y n ? 满足 设 y3 ? 18, y6 ? 12 . (Ⅰ)数列 ?y n ?的前多少项和最大,最大值为多少?

yn ? 2(a ? 0 ,且 a ? 1) , log z x n

(Ⅱ)试判断是否存在自然数 M ,使得当 n ? M 时, x n ? 1 恒成立,若存在,求出相应的 M ,若不存在, 请说明理由;
3

解析: y n ? 2 log a x n ,

y n?1 ? 2 log a xn?1

则 yn?1 ? yn ? 2?log a xn?1 ? log a xn ? ? 2 log a
? ?x n ? 为等比数列 ? ?y n ? 为等差数列

xn?1 xn

?

x n ?1 为定值 xn
y1 ? y3 ? 2d ? 22

又 y 6 ? y3 ? 3d ? 12 ? 18 , ?d ? ?2
? S n ? 22n ? n(n ? 1) ? (?2) ? ?n 2 ? 23n 2

?当 n ? 11 或 n ? 12 时, S n 取得最大值;且最大值为 132
(Ⅱ)? yn ? 22 ? (n ? 1)(?2) ? 2 loga xn 当 a ? 1时, 12 ? n ? 0 , n ? 12 当 0 ? a ? 1 时, 12 ? n ? 0 , n ? 12
? xn ? a12?n ,又 xn ? a12?n ? 1

?当 0 ? a ? 1 时,存在 M ? 12 , ?当 n ? M 时 xn ? 1 恒成立.

【题型 3】数列与函数 例 3、 已知二次函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2x , 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 点 ?n, S n ? n ? N ? 均在函数 y = f ( x) 的图像上。 (Ⅰ) 、 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 、 设 bn = 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m; 解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2 +bx (a≠0) , 则 f`(x)=2ax+b, 由于 f`(x)=6x-2, 得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2 -2x.
?
?

?

?

m 1 , 求使得 Tn < Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和, 20 an an+ 1

又因为点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2 -2n. 当 n≥2 时,an =Sn -Sn -1 =(3n -2n)- ( 3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

2

?

当 n=1 时,a1 =S1 =3× 12 -2=6× 1-5,所以,an =6n-5 ( n ? N )

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

4

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 = (1- ). ( 1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? ? ? 2

因此,要使

1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m, 必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10,所以 2 6n ? 1 20 2 20

满足要求的最小正整数 m 为 10.

练习 3、 数列 {a n } 满足 an?1 ? { 1 2an ? 1, ? an ? 1 2 解析: ? ? a1 ? 1 又 ? a2 ? 1
? 0 ? a3 ? 1 2 1 2 1 2 ? a 2 ? 2a1 ? 1 ? 3 7 5 7

2an ,0 ? an ?

1 2

,若 a1 ?

6 ,则 a2004 的值为 7

? a 3 ? 2a 2 ? 1 ? ? a 4 ? 2a 3 ? 6 7

由此可知 a n 的值以为 3 周期循环,故 a 2004 ? a3 ?

3 7

练习 4、设 f 1 ( x) ?

f (0) ? 1 2 ,定义 f n ?1 ( x) ? f1 [ f n ( x)],a n ? n ,其中 n∈N*,则 an= 1? x f n (0) ? 2
2 ?1 1 2 ? , f n?1 (0) ? f1[ f n (0)] ? , 2?2 4 1 ? f n (0)

解 f 1 (0) =2, a1 ?

∴ a n ?1

2 ?1 f n ?1 (0) ? 1 1 ? f n (0) 1 ? f n (0) 1 f (0) ? 1 1 ? ? ? ?? ? n ? ? an 2 f n ?1 (0) ? 2 4 ? 2 f n (0) 2 f n (0) ? 2 2 ?2 1 ? f n (0)



a n ?1 1 1 1 1 1 ? ? ,∴数列{an }上首项为 ,公比为 ? 的等比数列, a n ? (? ) n ?1 4 4 2 2 an 2

【题型 4】数列与解析几何 例 4、已知抛物线 x ? 4 y ,过原点作斜率 1 的直线交抛物线于第一象限内一点 P1 ,又过点 P1 作斜率为
2

1 2

的直线交抛物线于点 P 2 ,再过 P 2 作斜率为

1 的直线交抛物线于点 P 3, 4

,如此继续,一般地,过点 P n作
5

斜率为

1 的直线交抛物线于点 Pn ?1 ,设点 P n ( xn , yn ) . 2n

(Ⅰ)令 bn ? x2 n?1 ? x2n?1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列.并求数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn 解: (1) 因为 P 故 xn ? 4 yn , ① xn?1 ? 4 yn?1 ②, 又因为直线 P n ( xn , yn ) 、P n ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) 在抛物线上, nP n?1 的斜率为
2 2

y ? yn 1 1 ,即 n ?1 ? ,①②代入可得 n 2 xn ?1 ? xn 2

1 x2n?1 ? x2n 1 1 ? n ? xn?1 ? xn ? n?2 ?bn ? x2n?1 ? x2n?1 ? ( x2n?1 ? x2n ) ? ( x2n ? x2n?1 ) 4 xn?1 ? xn 2 2
? 1 2
2n?2

?

1 2
2 n ?3

??

1 2
2n?2





bn?1 1 1 ? ? {bn } 是以 4 bn 4

为公比的等比数列; S n ? ?

4 1 3 1 (1 ? n ) ? Sn ? 1 ? n , 3 4 4 4

6


更多相关文档:

新编高考数学(理科)专题教学案:数列的综合应用(含答案).doc

新编高考数学(理科)专题教学案:数列的综合应用(含答案) - [真题感悟] 常考

...汇编专题:6.4数列求和、数列的综合应用(含答案解析)....doc

《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题:6.4数列求和、数列的综合应用(含答案解析) - 第四节 数列求和、数列的综合应用 A 组 三年高考真题(2016~2014 年) ?...

...专题提分训练:数列的综合应用(含答案解析)].doc

2014届高考数学(文)专题提分训练:数列的综合应用(含答案解析)] - 数列的

...点专题讲座:数列的综合问题与数列的应用(含答案).doc

新编高考数学(理)一轮知识点专题讲座:数列的综合问题与数列的应用(含答案)_高考

2019年高考数学艺术生百日冲刺专题07数列的综合应用测....doc

2019年高考数学艺术生百日冲刺专题07数列的综合应用测试题(含答案) - 专题 7 数列的综合应用测试题 命题报告: 1. 高频考点:等差数列、等比数列的综合,数列与函数...

...二轮专题复习知能专练十一数列的综合应用(含答案).doc

浙江专版高考数学二轮专题复习知能专练十一数列的综合应用(含答案) - 知能专练(

...一轮复习专题6第5讲数列的综合应用(含答案).doc

2019年高考数学人教B版(理)一轮复习专题6第5讲数列的综合应用(含答案)_高

...数学人教B版(理)一轮复习-专题6-第5讲-数列的综合应用(含答案)....doc

2019届高考数学人教B版(理)一轮复习-专题6-第5讲-数列的综合应用(含答案) - 金截克持队希西和目就毫乐强双奇题大腾五然为门迪他其钱的先从思不是翻击...

第二讲 数列的综合应用(作业) 高中数学复习专题 Word版....doc

第二讲 数列的综合应用(作业) 高中数学复习专题 Word版 含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学复习专题 教案 作业 Word版 含答案 ...

...数学一轮复习专题6.5数列的综合应用(讲)-含答案.doc

(浙江版)2018年高考数学一轮复习专题6.5数列的综合应用(讲)-含答案 -

第二讲 数列的综合应用(教案) 高中数学复习专题 Word版....doc

第二讲 数列的综合应用(教案) 高中数学复习专题 Word版 含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学复习专题 教案 作业 Word版 含答案 ...

...培优计划 含答案 第5篇 第5讲 数列的综合应用.doc

高中数学专题复习 培优计划 含答案 第5篇 第5讲 数列的综合应用_数学_高中教育_教育专区。高中数学专题复习 姓名: *** 课题:培优计划 第5讲 [最新考纲] 数列...

...专题三数列第二讲数列的综合应用习题Word版含答案.doc

2018年高考数学二轮复习第一部分 专题三数列第二讲数列的综合应用习题Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2018届高三数学二轮复习冲刺提分作业 专题 ...

...专题三第2讲 数列求和及数列的综合应用(含详解).doc

高考数学 能力加强集训 专题三第2讲 数列求和及数列的综合应用(含详解)_高考_...(n)=2+Sn=2+ 答案 B - 7 n 16×8 -2 2×8 -2 2 n+1 === (...

【高考特训】专题6.5 数列的综合应用(讲)-数学一轮复习....doc

【高考特训】专题6.5 数列的综合应用(讲)-数学一轮复习讲练测(浙江版)(Wo

数列专题讲义(含答案).doc

数列专题讲义(含答案)_高二语文_语文_高中教育_教育专区。数列知识框架,涵盖各类...3 题型三、等差数列的前 项和公式的综合应用 ... 4 题型四、等比数列的定义...

...三维二轮专题复习训练:知能专练十一 数列的综合应用 含答案 ....doc

2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习训练:知能专练十一 数列的综合应用 含答案 精品_高考_高中教育_教育专区。知能专练(十一) 数列的综合应用 一、选择题 1...

最新高三数学(理)同步双测:专题5.2《数列的综合》(B)卷....doc

最新高三数学(理)同步双测:专题5.2《数列的综合》(B)卷(含答案)_数学_高中...23?n 考点:1.等比数列;2.等差数列的和;3.数列的和的综合应用. 19. 已知...

...数列求和及数列的综合应用专题训练(含解析).doc

高考数学二轮复习 数列求和及数列的综合应用专题训练(含解析)_数学_高中教育_...(8 + 16 +…+ 4 024) - 2 015 =- 2× 2× + 2 答案 -4 032 2...

...三维二轮专题复习训练:知能专练十一 数列的综合应用 含答案 ....doc

2018年高考数学浙江专版三维二轮专题复习训练:知能专练十一 数列的综合应用 含答案 精品_高考_高中教育_教育专区。知能专练(十一) 数列的综合应用一、选择题 1....

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com