2015 届三角函数、向量、解三角形(文)专题小练
一、选择题
1、若
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
2、已知向量 a ? (?3 , 4) , b ? (1 , m) ,若 a ? (a ? b ) ? 0 ,则 m ?
11 A. 2
11 B. 2 ?
C. 7
D. ? 7
3、为了得到函数
的图象,可以将函数
的图象
(
)
A.向右平移
个单位长度
B.向右平移
个单位长度
C.向左平移 4 、若 函数
个单位长度
D.向左平移
个单位长度 的 取值是 ( )
的 图 象 (部 分) 如 图所 示, 则
A.
B.
C.
D.
5、函数
)为增函数的区间是(
)
A、
B、
C、
D、
6、若非零向量
满足
,
则
与
的夹角为(
)
-1-
A. 300
B. 600
C. 1200
D. 1500
7、 已知 A.150°
=1,
=2, 与
的夹角为 120°, + C.60°
+
=0,则 与 的夹角为………(
)
B.90°
D.30°
sin A ? 8、已知△ ABC 的三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,且 a
3 2
1 B. 2
,则
sin b
B 2
, 则 cos B 的值为
?
C.
A.
1 2
( )
?
D.
3 2
9、 在△ABC 中, =15,b=10, ∠A=
A.
B.
C.
D. a,则
10、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°,c=
A.a>b B.a<b C. a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 11、在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
12、在 ΔABC 中,“A>30?”是“sinA> A、 充分而不必要条件 C、充分必要条件 二、填空题
”的
(
)
B、 必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件
13、已知扇形的周长为 6cm,面积为 2
,则扇形的圆心角的弧度数为_____
14、已知向量
,
,则向量 在
方向上的投影为
15、有一种波,其波形为函数 象的最高点) ,则正整数 t 的最小值是
的图象,若其区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图
16.如图,在平行四边形 则 .
中,
,
-2-
17、函数
的图象为
,如下结论中正确的是_____(写出所有正确结论
的编号) .①图象
关于直线
对称;
②图象
关于点
对称;
③函数
在区间
内是增函数;
④由
的图角向右平移
个单位长度可以得到图象
.
解答题 18. (本小题满分 12 分)
2) ,向量 b ? (?3, 2) . 已知向量 a ? (1,
(1)若向量 ka ? b 与向量 a ? 3b 垂直,求实数 k 的值; (2)当 k 为何值时,向量 ka ? b 与向量 a ? 3b 平行?并说明它们是同向还是反向.
19. (本小题满分 12 分) 在 ?OAB 中,已知点 P 为线段 AB 上的一点, 且
B P
??? ? ??? ? AP ? 2 PB
.
??? ? ???? ? ??? ? OA 、 OB OP (1)试用 表示 ;
??? ? ??? ? OA ? 3,OB ? 2
?AOB ?
,且
O
A
?
(2)若
??? ? ??? ? 3 ,求 OP ? AB 的值.
-3-
20、设函数 (Ⅰ)求函数
。 的最大值和最小正周期;
(Ⅱ) 设 A, B, C为
的三个内角, 若
, 且 C 为锐角, 求
。
21.(12 分)已知向量 (Ⅰ)求函数 的表达式,并指出其最大最小值; ,且
,定义函数
.
(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 求△ABC 的面积 S.
,
,
22.如图,甲船以每小时 船位于 行
海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲 方向的 处,此时两船相距 方向的 海里,当甲船航 海
处时,乙船位于甲船的北偏西
分钟到达
处时,乙船航行到甲船的北偏西
处,此时两船相距
里,问乙船每小时航行多少海里?
23. (本小题满分 12 分)已知向量 (Ⅰ)求 的值;
,
,
.
(Ⅱ)若
,
, 且
, 求
。
2015 届三角函数、向量、解三角形(文)专题小练参考答案
-4-
一、选择题 CCBCC CBCCA 二、填空题
CB
1或4 解答题
7
3
①②③
2) ? (?3, 2) ? ( k ? 3, 2k ? 2) , 18.解: ka ? b ? k (1, a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10,? 4) .
(1)由向量 ka ? b 与向量 a ? 3b 垂直,
(ka ? b) ? (a ? 3b) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0 , 得
解得 k ? 19 . …………6 分
(2) (ka ? b) / / (a ? 3b) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2) ,解得
k ??
1 3.
10 4 1 , ) ? ? (10,? 4) 3 3 3 此时 ,所以方向相反. …12 分 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? 2 PB 19.解: (1)因为点 P 在 AB 上,且 ,所以 AP ? 2 PB , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? 2(OB ? OP ) , ka ? b ? (? ??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? OP ? OA+ OB 3 3 所以 . ??? ? ??? ? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? OP ? AB ? ( OA+ OB) ( ? OB ? OA) 3 3 (2) ? 2 2 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? ? 2 2 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? ? ? OA ? OB ? OA ? OB = ? OA ? OB ? OA ? OB cos ?AOB 3 3 3 3 3 3 1 2 1 ? ? ? ? 9 ? ? 4 ? ? 3 ? 2 cos 3 3 3 3 ?? 4 3.
…………12 分
…………6 分
20、设函数
。
-5-
(Ⅰ)求函数
的最大值和最小正周期;
(Ⅱ) 设 A, B, C为
的三个内角, 若
, 且 C 为锐角, 求
。
解: (1)f(x)=cos(2x+
)+sin x.=
所以函数 f(x)的最大值为
,最小正周期
.
(2)
=
=-
,
所以
,
因为 C 为锐角,
所以
,
又因为在
ABC 中, cosB=
,
所以
,
所以
21.(12 分)已知向量 (Ⅰ)求函数 的表达式,并指出其最大最小值; ,且
,定义函数
.
(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 求△ABC 的面积 S.
,
,
21.解(Ⅰ) . ………6 分
……4 分
(Ⅱ)∵f(A)=1,
∴
∴
………8 分
∴
,又△ABC 为锐角三角形,所以
………10 分
∵bc=8,∴△ABC 的面积
………12 分
-6-
22.如图,甲船以每小时 船位于 行
海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲 方向的 处,此时两船相距 方向的 海里,当甲船航 海
处时,乙船位于甲船的北偏西
分钟到达
处时,乙船航行到甲船的北偏西
处,此时两船相距
里,问乙船每小时航行多少海里? 3.解:
解法一:如图,连结
,由已知
,
, 又 是等边三角形, , 由已知, , ,
,
,在
中,由余弦定理,
.
.因此,乙船的速度的大小为 答:乙船每小时航行 海里.
(海里/小时) .
解法二: 如图, 连结
, 由已知
,
,
,
-7-
,
. 在 中,由余弦定理,
. . 由正弦定理
, ,即 ,
. 在 中,由已知 ,由余弦定理,
.
,乙船的速度的大小为
海里/小时.
-8-
23. (本小题满分 12 分)已知向量 (Ⅰ)求 的值;
,
,
.
(Ⅱ)若 23 . 解 :
, ( Ⅰ
, 且 ) .
, 求
。 , ,
,
,
即
,
.
……………6 分
( Ⅱ )
,
,
,
,
… …………12 分
-9-
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