广东省东莞市2015届高三数学小综合专题练习 三角向量复习题 文

2015 届三角函数、向量、解三角形（文）专题小练
一、选择题

1、若

，则

的值为（

）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

2、已知向量 a ? (?3 , 4) ， b ? (1 , m) ，若 a ? (a ? b ) ? 0 ，则 m ?

11 A． 2

11 B． 2 ?

C． 7

D． ? 7

3、为了得到函数

的图象，可以将函数

的图象

（

）

A．向右平移

个单位长度

B．向右平移

个单位长度

C．向左平移 4 、若 函数

个单位长度

D．向左平移

个单位长度 的 取值是 （ ）

的 图 象 （部 分） 如 图所 示， 则

A．

B．

C．

D．

5、函数

)为增函数的区间是(

)

A、

B、

C、

D、

6、若非零向量

满足

，

则

与

的夹角为（

）
-1-

A. 300

B. 600

C. 1200

D. 1500

7、 已知 A．150°

=1，

=2， 与

的夹角为 120°， + C．60°

+

=0，则 与 的夹角为………（

）

B．90°

D．30°

sin A ? 8、已知△ ABC 的三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,且 a
3 2
1 B. 2
，则

sin b

B 2
, 则 cos B 的值为

?
C.

A.

1 2
( )

?
D.

3 2

9、 在△ABC 中， =15，b=10, ∠A=

A.

B.

C.

D. a，则

10、在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若∠C=120°，c=

A.a＞b B.a＜b C. a＝b D.a 与 b 的大小关系不能确定 11、在△ABC 中，若 2cosBsinA＝sinC，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形

12、在 ΔABC 中,“A>30?”是“sinA> A、 充分而不必要条件 C、充分必要条件 二、填空题

”的

（

）

B、 必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

13、已知扇形的周长为 6cm，面积为 2

，则扇形的圆心角的弧度数为_____

14、已知向量

，

，则向量 在

方向上的投影为

15、有一种波，其波形为函数 象的最高点） ，则正整数 t 的最小值是

的图象，若其区间[0，t]上至少有 2 个波峰（图

16.如图，在平行四边形 则 .

中，

，

-2-

17、函数

的图象为

，如下结论中正确的是_____（写出所有正确结论

的编号） ．①图象

关于直线

对称；

②图象

关于点

对称；

③函数

在区间

内是增函数；

④由

的图角向右平移

个单位长度可以得到图象

．

解答题 18． （本小题满分 12 分）

2) ，向量 b ? (?3， 2) . 已知向量 a ? (1，
（1）若向量 ka ? b 与向量 a ? 3b 垂直，求实数 k 的值； （2）当 k 为何值时，向量 ka ? b 与向量 a ? 3b 平行？并说明它们是同向还是反向.

19． （本小题满分 12 分） 在 ?OAB 中，已知点 P 为线段 AB 上的一点， 且

B P

??? ? ??? ? AP ? 2 PB

.

??? ? ???? ? ??? ? OA 、 OB OP (1)试用 表示 ；
??? ? ??? ? OA ? 3，OB ? 2
?AOB ?
，且

O

A

?

(2)若

??? ? ??? ? 3 ，求 OP ? AB 的值.

-3-

20、设函数 （Ⅰ）求函数

。 的最大值和最小正周期；

（Ⅱ） 设 A， B， C为

的三个内角， 若

， 且 C 为锐角， 求

。

21.(12 分)已知向量 (Ⅰ)求函数 的表达式,并指出其最大最小值; ,且

,定义函数

.

(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 求△ABC 的面积 S.

,

,

22.如图，甲船以每小时 船位于 行

海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲 方向的 处，此时两船相距 方向的 海里，当甲船航 海

处时，乙船位于甲船的北偏西

分钟到达

处时，乙船航行到甲船的北偏西

处，此时两船相距

里，问乙船每小时航行多少海里？

23． （本小题满分 12 分）已知向量 （Ⅰ）求 的值；

,

,

.

（Ⅱ）若

,

, 且

, 求

。

2015 届三角函数、向量、解三角形（文）专题小练参考答案
-4-

一、选择题 CCBCC ＣＢCＣＡ 二、填空题

ＣＢ

1或4 解答题

7

3

①②③

2) ? (?3， 2) ? ( k ? 3， 2k ? 2) ， 18.解： ka ? b ? k (1， a ? 3b ? (1， 2) ? 3(?3， 2) ? (10，? 4) .
（1）由向量 ka ? b 与向量 a ? 3b 垂直，

（ka ? b） ? (a ? 3b) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0 ， 得
解得 k ? 19 . …………6 分

（2） (ka ? b) / / (a ? 3b) ，得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2) ，解得

k ??

1 3.

10 4 1 ， ) ? ? (10，? 4) 3 3 3 此时 ，所以方向相反. …12 分 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? 2 PB 19．解： （1）因为点 P 在 AB 上，且 ，所以 AP ? 2 PB ， ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? 2(OB ? OP ) ， ka ? b ? (? ??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? OP ? OA+ OB 3 3 所以 . ??? ? ??? ? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? OP ? AB ? （ OA+ OB） （ ? OB ? OA) 3 3 (2) ? 2 2 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? ? 2 2 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? ? ? OA ? OB ? OA ? OB = ? OA ? OB ? OA ? OB cos ?AOB 3 3 3 3 3 3 1 2 1 ? ? ? ? 9 ? ? 4 ? ? 3 ? 2 cos 3 3 3 3 ?? 4 3.
…………12 分

…………6 分

20、设函数

。

-5-

（Ⅰ）求函数

的最大值和最小正周期；

（Ⅱ） 设 A， B， C为

的三个内角， 若

， 且 C 为锐角， 求

。

解: （1）f(x)=cos(2x+

)+sin x.=

所以函数 f(x)的最大值为

,最小正周期

.

（2）

=

=－

,

所以

,

因为 C 为锐角,

所以

,

又因为在

ABC 中, cosB=

,

所以

,

所以

21.(12 分)已知向量 (Ⅰ)求函数 的表达式,并指出其最大最小值; ,且

,定义函数

.

(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 求△ABC 的面积 S.

,

,

21.解(Ⅰ) . ………6 分

……4 分

(Ⅱ)∵f(A)=1,

∴

∴

………8 分

∴

,又△ABC 为锐角三角形,所以

………10 分

∵bc=8,∴△ABC 的面积

………12 分
-6-

22.如图，甲船以每小时 船位于 行

海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲 方向的 处，此时两船相距 方向的 海里，当甲船航 海

处时，乙船位于甲船的北偏西

分钟到达

处时，乙船航行到甲船的北偏西

处，此时两船相距

里，问乙船每小时航行多少海里？ 3．解:

解法一：如图，连结

，由已知

，

， 又 是等边三角形， ， 由已知， ， ，

，

，在

中，由余弦定理，

．

．因此，乙船的速度的大小为 答：乙船每小时航行 海里．

（海里/小时） ．

解法二： 如图， 连结

， 由已知

，

，

，

-7-

，

． 在 中，由余弦定理，

． ． 由正弦定理

， ，即 ，

． 在 中，由已知 ，由余弦定理，

．

，乙船的速度的大小为

海里/小时．

-8-

23． （本小题满分 12 分）已知向量 （Ⅰ）求 的值；

,

,

.

（Ⅱ）若 23 ． 解 ：

, （ Ⅰ

, 且 ） .

, 求

。 , ，

，

,

即

,

.

……………6 分

（ Ⅱ ）

,

,

,

,

… …………12 分

-9-