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广东省东莞市2015届高三数学小综合专题练习 三角向量复习题 文

2015 届三角函数、向量、解三角形(文)专题小练
一、选择题

1、若

,则

的值为(



A.

B.

C.

D.

2、已知向量 a ? (?3 , 4) , b ? (1 , m) ,若 a ? (a ? b ) ? 0 ,则 m ?

11 A. 2

11 B. 2 ?

C. 7

D. ? 7

3、为了得到函数

的图象,可以将函数

的图象





A.向右平移

个单位长度

B.向右平移

个单位长度

C.向左平移 4 、若 函数

个单位长度

D.向左平移

个单位长度 的 取值是 ( )

的 图 象 (部 分) 如 图所 示, 则

A.

B.

C.

D.

5、函数

)为增函数的区间是(

)

A、

B、

C、

D、

6、若非零向量

满足







的夹角为(


-1-

A. 300

B. 600

C. 1200

D. 1500

7、 已知 A.150°

=1,

=2, 与

的夹角为 120°, + C.60°

+

=0,则 与 的夹角为………(



B.90°

D.30°

sin A ? 8、已知△ ABC 的三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,且 a
3 2
1 B. 2
,则

sin b

B 2
, 则 cos B 的值为

?
C.

A.

1 2
( )

?
D.

3 2

9、 在△ABC 中, =15,b=10, ∠A=

A.

B.

C.

D. a,则

10、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°,c=

A.a>b B.a<b C. a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 11、在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形

12、在 ΔABC 中,“A>30?”是“sinA> A、 充分而不必要条件 C、充分必要条件 二、填空题

”的





B、 必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

13、已知扇形的周长为 6cm,面积为 2

,则扇形的圆心角的弧度数为_____

14、已知向量



,则向量 在

方向上的投影为

15、有一种波,其波形为函数 象的最高点) ,则正整数 t 的最小值是

的图象,若其区间[0,t]上至少有 2 个波峰(图

16.如图,在平行四边形 则 .

中,



-2-

17、函数

的图象为

,如下结论中正确的是_____(写出所有正确结论

的编号) .①图象

关于直线

对称;

②图象

关于点

对称;

③函数

在区间

内是增函数;

④由

的图角向右平移

个单位长度可以得到图象



解答题 18. (本小题满分 12 分)

2) ,向量 b ? (?3, 2) . 已知向量 a ? (1,
(1)若向量 ka ? b 与向量 a ? 3b 垂直,求实数 k 的值; (2)当 k 为何值时,向量 ka ? b 与向量 a ? 3b 平行?并说明它们是同向还是反向.

19. (本小题满分 12 分) 在 ?OAB 中,已知点 P 为线段 AB 上的一点, 且

B P

??? ? ??? ? AP ? 2 PB

.

??? ? ???? ? ??? ? OA 、 OB OP (1)试用 表示 ;
??? ? ??? ? OA ? 3,OB ? 2
?AOB ?
,且

O

A

?

(2)若

??? ? ??? ? 3 ,求 OP ? AB 的值.

-3-

20、设函数 (Ⅰ)求函数

。 的最大值和最小正周期;

(Ⅱ) 设 A, B, C为

的三个内角, 若

, 且 C 为锐角, 求



21.(12 分)已知向量 (Ⅰ)求函数 的表达式,并指出其最大最小值; ,且

,定义函数

.

(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 求△ABC 的面积 S.

,

,

22.如图,甲船以每小时 船位于 行

海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲 方向的 处,此时两船相距 方向的 海里,当甲船航 海

处时,乙船位于甲船的北偏西

分钟到达

处时,乙船航行到甲船的北偏西

处,此时两船相距

里,问乙船每小时航行多少海里?

23. (本小题满分 12 分)已知向量 (Ⅰ)求 的值;

,

,

.

(Ⅱ)若

,

, 且

, 求



2015 届三角函数、向量、解三角形(文)专题小练参考答案
-4-

一、选择题 CCBCC CBCCA 二、填空题

CB

1或4 解答题

7

3

①②③

2) ? (?3, 2) ? ( k ? 3, 2k ? 2) , 18.解: ka ? b ? k (1, a ? 3b ? (1, 2) ? 3(?3, 2) ? (10,? 4) .
(1)由向量 ka ? b 与向量 a ? 3b 垂直,

(ka ? b) ? (a ? 3b) ? 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 2k ? 38 ? 0 , 得
解得 k ? 19 . …………6 分

(2) (ka ? b) / / (a ? 3b) ,得 ?4(k ? 3) ? 10(2k ? 2) ,解得

k ??

1 3.

10 4 1 , ) ? ? (10,? 4) 3 3 3 此时 ,所以方向相反. …12 分 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP ? 2 PB 19.解: (1)因为点 P 在 AB 上,且 ,所以 AP ? 2 PB , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? 2(OB ? OP ) , ka ? b ? (? ??? ? 1 ??? ? 2 ??? ? OP ? OA+ OB 3 3 所以 . ??? ? ??? ? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? OP ? AB ? ( OA+ OB) ( ? OB ? OA) 3 3 (2) ? 2 2 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? ? 2 2 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? ? ? OA ? OB ? OA ? OB = ? OA ? OB ? OA ? OB cos ?AOB 3 3 3 3 3 3 1 2 1 ? ? ? ? 9 ? ? 4 ? ? 3 ? 2 cos 3 3 3 3 ?? 4 3.
…………12 分

…………6 分

20、设函数



-5-

(Ⅰ)求函数

的最大值和最小正周期;

(Ⅱ) 设 A, B, C为

的三个内角, 若

, 且 C 为锐角, 求



解: (1)f(x)=cos(2x+

)+sin x.=

所以函数 f(x)的最大值为

,最小正周期

.

(2)

=

=-

,

所以

,

因为 C 为锐角,

所以

,

又因为在

ABC 中, cosB=

,

所以

,

所以

21.(12 分)已知向量 (Ⅰ)求函数 的表达式,并指出其最大最小值; ,且

,定义函数

.

(Ⅱ)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 求△ABC 的面积 S.

,

,

21.解(Ⅰ) . ………6 分

……4 分

(Ⅱ)∵f(A)=1,





………8 分



,又△ABC 为锐角三角形,所以

………10 分

∵bc=8,∴△ABC 的面积

………12 分
-6-

22.如图,甲船以每小时 船位于 行

海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲 方向的 处,此时两船相距 方向的 海里,当甲船航 海

处时,乙船位于甲船的北偏西

分钟到达

处时,乙船航行到甲船的北偏西

处,此时两船相距

里,问乙船每小时航行多少海里? 3.解:

解法一:如图,连结

,由已知



, 又 是等边三角形, , 由已知, , ,



,在

中,由余弦定理,



.因此,乙船的速度的大小为 答:乙船每小时航行 海里.

(海里/小时) .

解法二: 如图, 连结

, 由已知







-7-



. 在 中,由余弦定理,

. . 由正弦定理

, ,即 ,

. 在 中,由已知 ,由余弦定理,



,乙船的速度的大小为

海里/小时.

-8-

23. (本小题满分 12 分)已知向量 (Ⅰ)求 的值;

,

,

.

(Ⅱ)若 23 . 解 :

, ( Ⅰ

, 且 ) .

, 求

。 , ,



,



,

.

……………6 分

( Ⅱ )

,

,

,

,

… …………12 分

-9-


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