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高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.1 导数与函数的单调性导学案 北师大版选修1-1


4.1.1 学习目标 导数与函数的单调性 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方 法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间. 知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系 思考 观察下列各图,完成表格内容 函数及其图像 切线斜率 k 正负 导数正负 单调性 正 正 [1,+∞)上单调递增 正 正 R 上单调递增 负 负 (0,+∞)上单调递减 负 负 负 负 (0,+∞)上单调递减 (-∞,0)上单调递减 梳理 一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上 (1)如果 f′(x)>0,则 f(x)在该区间上是增加的. (2)如果 f′(x)<0,则 f(x)在该区间上是减少的. 导数值 >0 <0 切线的斜率 >0 <0 倾斜角 锐角 钝角 曲线的变化趋势 上升 下降 函数的单调性 单调递增 单调递减 知识点二 函数的变化快慢与导数的关系 思考 我们知道导数的符号反映函数 y=f(x)的增减情况, 怎样反映函数 y=f(x)增减的快慢 呢?能否从导数的角度解释变化的快慢呢? 答案 如图所示,函数 y=f(x)在(0,b)或(a,0)内导数的绝对值较大,图像“陡峭”,在 (b,+∞)或(-∞,a)内导数的绝对值较小,图像“平缓”. 梳理 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化 得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就“平缓”一些. 类型一 原函数与导函数的关系 例 1 已知函数 y=f(x)的图像如图所示,则函数 y=f′(x)的图像可能是图中的( ) 答案 C 解析 由函数 y=f(x)的图像的增减变化趋势判断函数 y=f′(x)的正、负情况如下表: x f(x) f′(x) (-1,b) ↘ - (b,a) ↗ + (a,1) ↘ - 由表可知函数 y=f′(x)的图像,当 x∈(-1,b)时,函数图像在 x 轴下方;当 x∈(b,a)时, 函数图像在 x 轴上方;当 x∈(a,1)时,函数图像在 x 轴下方.故选 C. 反思与感悟 (1)对于原函数图像, 要看其在哪个区间内单调递增, 则在此区间内导数值大于 零.在哪个区间内单调递减,则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图 像. (2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢. 跟踪训练 1 ( ) 已知 y= f′(x)的图像如图所示,则 y= f(x)的图像最有可能是如图所示的 答案 C 解析 由 f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋 势.由已知可得 x 的取值范围和 f′(x)的正、负,f(x)的增减变化情况如下表所示: x f′(x) f(x) (-∞,0) + ↗ (0,2) - ↘ (2,+∞) + ↗ 由表可知 f(x)在(-∞,0)上是增加的,在(0,2)上是减少的,在(2,+∞)上是增加的,满 足条件的只有 C,故选 C. 类型二 单调区间的求解及单调性证明 命题角度 1 求函数的单调区间 例 2 求 f(x)=3x -2ln x 的单调区间. 解 f(x)=3x -2ln x 的定义域为(0,+∞). 2 2 f′(x)=6x- = x = 2 2?3x -1? 2 x 2? 3x-1?? 3x+1? , x 由 x>0,解 f′(x)>0,得 x> 3 . 3 3 . 3 3

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