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16函数创新试题研究2


函数创新试题研究
知识储备:综合灵活运用所学数学知识, 思想方法。 对新概念、 新知识、 新信息、
新情景、新问题进行分析,探索、创造性的解决问题。

思维训练
1. 创新“概念”题 例 1 已知函数 f (n) ? logn?1 (n ? 2)(n ? N * ) ,定义使 f ?1?? f ?2?? f ?k ? 为整数的数 k ( k ∈ N * )叫做企盼数,则在区间[1,100]内这样的企盼数共有______个.

2. 创新“符号”题 例 2 对任意函数 f (x) 、 g (x) 在公共定义域内,规定 f (x) ※ g ( x) ? min{ f ( x), g ( x)} , 若 f ( x) ? 3 ? x, g ( x) ? log 2 x ,则 f (x) ※ g (x) 的 最大值为_________.

3. 创新“图表”题 例3 如图所示, f i ( x)(i ? 1,2,3,4) 是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质: “对

[0,1]中任意的 x1 和 x2,任意 ? ? [0,1], f [?x1 ? (1 ? ? ) x2 ] ? ?f ( x1 ) ? (1 ? ? ) f ( x2 ) 恒成立”的只 有( )

A. f1 ( x), f 3 ( x) 4. 创新“性质”题 例4

B. f 2 ( x )

C. f 2 ( x), f 3 ( x)

D. f 4 ( x ) .

对函数 f (x) , x ?[a, b] ,及 g ( x), x ?[a, b] ,若任意 x ?[a, b] 总有 |

f ( x) ? g ( x) | f ( x)

?

1 ,称 f (x) 可被 g (x) 替代。下面给出的函数中,能替代 f ( x) ? x , x ?[4,16] 的是( ) . 10 1 ( B) g ( x) ? x ? 16 , x ? [4,16] ( A) g ( x) ? ( x ? 6), x ?[4,16] 5 (C ) g ( x) ? x ? 6 , x ? [4,16] ( D) g ( x) ? 2 x ? 6 , x ? [4,16] .

5. 创新“算法”题 例 5 _______. 已知 f ( x) ?

1 2x ? 2

,求则 f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? ? ? f (5) ? f (6) 的值为

能力提升
1.规定记号“ ? ”表示一种运算,即 a ? b ? a b ? a ? b,、 ? R ? .若 1 ? k ? 3 ,则函数 a b

f ? x ? ? k ? x 的值域是



2.设函数 f ?x ? 的图象与直线 x ? a , x ? b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f ?x ? 在[a, b]上的面积, 已知函数 y ? sin x 在[0, ]上的面积为 (n∈N ) , y= sin 3x 在[0, (1) 上的面积为 ; (2)y=sin(3x-π)+1 在[

? n

2 n

?

2? ] 3

? 4? , ]上的面积为 3 3



3. 若 规 定 E= a1, a2 ...a10 k= 2 1 ? 2
k k
2

?

?

的 子 集 ak1 ak2 ..., akn

?

?为

E 的第 k 个子集,其中

?1

? ? ? 2kn ?1 ,则(1) ?a1, , a3 ? 是 E 的第____个子集; (2)E 的第 211 个子集
_.



3.设函数的集合 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? ,平面上点的集

? ?

1 2

1 2

? ?

合 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? ,则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x ) 的图

? ?

1 2

1 2

? ?

象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 .. (A)4 (B)6 (C)8 (D)10





4.已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应法则 f:x→y=x2-2x+2.若对实数 k∈B,在集合 A 中不存 在在原象,则 k 的取值范围是 A.k≤1 B.k<1 C.k≥1
2 2

( D.k>1 (



5. 函数 f(x)=log ax (a>0,a≠1),若 f(x1)-f(x2)=1,则 f(x 1 )-f(x 2 )等于 A.2 B.1 C.



1 2

D.log a2

6. ? 是 R 上的一个运算, A 是 R 的非空子集,若对任意 a, b ? A 有 a ? b ? A ,则称 A 对运 设 算 ? 封闭,下列数集对加法、 减法、 乘法和除法 (除数不等于零) 四则运算都封闭的是( A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 )

7.在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“ ? ”如下:当 a ? b 时, a ? b ? a ;
x 2 a 当 a ? b 时, ? b ? b , 则函数 f ? x ? ? ?1 ? x ? ? 2 ? 2 ,x?? ?2, 2? 的最大值为 (

?

?



A.3

B.6

C.12

D.20


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