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选修4-5:《不等式选讲》全套教案系列12

选修 4-5 不等式选讲 选修 4_5 不等式选讲 课 题: 第 12 课时 几个著名的不等式之二:排序不等式 三维目标: 重点难点: 教学设计: 一、引入: 1、问题:若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障,对其维修分别需要 45min, 25 min 和 30 min,每台电脑耽误 1 min,网吧就会损失 0.05 元。在只能逐台维修 的条件下,按怎么样的顺序维修,才能使经济损失降到最小? 分析: 二、排序不等式: 1、基本概念: 一般地,设有两组数: a1 ≤ a2 ≤ a3 , b1 ≤ b2 ≤ b3 ,我们考察这两组数两两 对应之积的和,利用排列组合的知识,我们知道共有 6 个不同的和数,它们是: 对 应 关 系 ( a1 , a2 , a3 ) ( b1 , b2 , b3 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b1 , b3 , b2 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b2 , b1 , b3 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b2 , b3 , b1 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b3 , b1 , b2 ) ( a1 , a2 , a3 ) ( b3 , b2 , b1 ) 根据上面的猜想,在这 6 个不同的和数中,应有结论: 同序和 a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 最大,反序和 a1b3 ? a2 b2 ? a3b1 最小。 反序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 和 备 注 S1 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 同序和 S 2 ? a1b1 ? a2 b3 ? a3b2 S3 ? a1b2 ? a2 b1 ? a3b3 S 4 ? a1b2 ? a2 b3 ? a3b1 S5 ? a1b3 ? a2 b1 ? a3b2 S 6 ? a1b3 ? a2 b2 ? a3b1 选修 4-5 不等式选讲 2、对引例的验证: 对 应 关 系 (1,2,3) (25,30,45) (1,2,3) (25,45,30) (1,2,3) (30,25,45) (1,2,3) (30,45,25) (1,2,3) (45,25,30) (1,2,3) (45,30,25) 和 备 注 S1 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 220 S 2 ? a1b1 ? a2b3 ? a3b2 ? 205 S3 ? a1b2 ? a2b1 ? a3b3 ? 215 S 4 ? a1b2 ? a2b3 ? a3b1 ? 195 S5 ? a1b3 ? a2b1 ? a3b2 ? 185 S 6 ? a1b3 ? a2b2 ? a3b1 ? 180 同序和 乱序和 乱序和 乱序和 乱序和 反序和 3、类似的问题: 5 个人各拿一只水桶到水龙头接水,如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要的 时间分别是 4 分钟,8 分钟,6 分钟,10 分钟,5 分钟。那么如何安排这 5 个人 接水的顺序,才能使他们等待的总时间最少? 分析: 4、排序不等式的一般情形: 一般地,设有两组实数: a1 , a2 , a3 ,…, an 与 b1 , b2 , b3 ,…, bn ,且 它们满足: a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤…≤ an , b1 ≤ b2 ≤ b3 ≤…≤ bn , 若 c1 , c2 , c3 ,…, cn 是 b1 , b2 , b3 ,…, bn 的任意一个排列,则和数 a1c1 ? a2 c2 ? ? ? an cn 在 a1 , a2 , a3 ,…, an 与 b1 ,b2 ,b3 ,…,bn 同序时最大, 反序时最小,即: a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ? a1c1 ? a2 c2 ? ? ? an cn ? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? an b1 , 等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时成立。 分析:用逐步调整法 选修 4-5 不等式选讲 三、范例分析: 例 1、已知 a, b, c 为正数,求证: a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc。 a?b?c 例 2、设 a1 , a2 , a3 ,…, an 为正数,求证: a a a1 a ? 2 ? ? ? n?1 ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an 。 a2 a3 an a1 2 2 2 2 四、小结: 五、练习: 六、作业: 1、求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ab ? bc ? cd ? da 。 2、 在△ABC 中, ha , hb ,hc 为边长 a,b,c 上的高, 求证: asinA+bsinB+csinC ? ha + hb +hc . 3、若 a>0,b>0,则 a 6 ? b6 a ? b a 2 ? b 2 a3 ? b3 ? ? ? . 2 2 2 2 4、 在△ABC 中, 求证: (IMO) a 2 (b ? c ? a) ? b 2 (c ? a ? b) ? c 2 (a ? b ? c) ? 3abc. 5、若 a1,a2,…,an 为两两不等的正整数,求证: ? n ak 1 . ? ? 2 k ?1 k k ?1 k n 1 1 6、若 x1,x2,…,xn≥0,x1+x2+…+xn≤ ,则 (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? (1 ? x n ) ? . 2 2

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