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2014-2015学年江苏省泰州市靖江市刘国钧中学高一(下)期末数学试卷


2014-2015 学年江苏省泰州市靖江市刘国钧中学高一(下)期末 数学试卷
一、填空题 1.若点(5,b)在两条平行直线 6x﹣8y+1=0 与 3x﹣4y+5=0 之间,则整数 b 的值 为 . 2.直线 l 经过 A(2,1) ,B(1,m )两点(m∈R) ,那么直线 l 的倾斜角的取值范围 是 . 3.为了了解初中生的身体素质,某地区随机抽取了 n 名学生进行跳绳测试,根据所得数据 画样本的频率分布直方图如图所示, 且从左到右第一小组的频数是 100, 则 n= .
2

4.正数数列{an}是公差不为零的等差数列,正项数列{bn}是等比数列,a1=b1,a3=b3,a7=b5, 若 a15=bm,求 m 的值. 5.已知等差数列 小值时 n= . ,记此数列的第 n 项到第 n+6 项的和为 Tn,当|Tn|取最

6.如图为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句 为 .

7.在等比数列{an}中,a5?a11=4,a3+a13=5,则

=



8. 分别在区间[1, 6]和[2, 4]内任取一实数, 依次记为 m 和 n, 则 m>n 的概率为



9.设 x,y∈R,且 xy≠0,则

的最小值为



10.在△ ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,已知 a,b,c 成等比数列,且 a ﹣c =ac﹣bc.则
2 2

的值为



11.已知数列{an}中,a1=55,an+1=an+2n﹣1,n∈N ,则

*

的最小值为



12.已知变量 x,y 满足约束条件

.若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点

(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为



13.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的 范围是 . 14.设 a1,a2,…,an 是各项不为零的 n(n≥4)项等差数列,且公差 d≠0.若将此数列删去 某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对 为 . 所组成的集合

二、解答题 15. 在△ ABC 中,S 为△ ABC 的面积,且 S=c ﹣(a﹣b) . (1)求 tanC; (2)当 a+b=4 时,求 S 的最大值. 16. (2012?信阳一模)记函数 f(x)= ﹣x)](a<1)的定义域为 R. (1)求 A; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围. 17. 如图 1 所示的茎叶图是青年歌手电视大奖赛中 7 位评委给参加最后决赛的两位选手甲、 乙评定的成绩,程序框图(图 2)用来编写程序统计每位选手的成绩(各评委所给有效分数 的平均值) ,试根据下面条件回答下列问题: 的定义域为 A,g(x)=lg[(x﹣a﹣1) (2a
2 2

(1)根据茎叶图,乙选手的成绩中,中位数和众数分别是多少? (2)在程序框图中,用 k 表示评委人数,用 a 表示选手的最后成绩(各评委所给有效分数 的平均值) .那么图中①②处应填什么?“S1=S﹣max﹣min”的含义是什么? (3)根据程序框图,甲、乙的最后成绩分别是多少? (4)从甲、乙的有效分数中各取一个分数分别记作为 x,y,若甲、乙的最后成绩分别是 a, b,求“|x﹣a|≤1 且|y﹣b|≤1”的概率. 18. 已知数列{an}满足 an=2an﹣1+2 ﹣1(n∈N+,且 n≥2) ,a4=81. (1)求数列的前三项 a1,a2,a3; (2)数列 为等差数列,求实数 p 的值;
n

(3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

19. (2011?咸阳模拟)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投 入成本为 C(x) ,当年产量不足 80 千件时, 80 千件时, (万元) ;当年产量不小于

(万元) .现已知此商品每件售价为 500 元,且该

厂年内生产此商品能全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 20. 设数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足关系式:3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t(t>0,n=2, 3,4…) (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)设数列{an}的公比为 f(t) ,作数列{bn},使 ,求数列{bn}的通项 bn; (3)求和:b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1.

2014-2015 学年江苏省泰州市靖江市刘国钧中学高一(下)期末 数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题 1.若点(5,b)在两条平行直线 6x﹣8y+1=0 与 3x﹣4y+5=0 之间,则整数 b 的值为 4 . 考点:两条平行直线间的距离. 专题:直线与圆. 分析:先用待定系数法求出过点(5,b)且与两直线平行的直线的方程,再利用直线在 y 轴上的截距大于 且小于 ,求出整数 b 的值.

解答: 解:设过点(5,b)且与两直线平行的直线的方程为 3x﹣4y+c=0,把点(5,b) 代入直线的方程解得 c=4b﹣15, ∴过点(5,b)且与两直线平行的直线的方程为 3x﹣4y+4b﹣15=0, 由题意知,直线在 y 轴上的截距满足: < ∴ <b<5,又 b 是整数,∴b=4. < ,

故答案为:4. 点评:本题考查用待定系数法求平行直线的方程,以及直线在 y 轴上的截距满足的大小关 系. 2.直线 l 经过 A(2,1) ,B(1,m )两点(m∈R) ,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 .
2

考点:直线的倾斜角. 专题:常规题型. 分析:设直线 AB 的倾斜角为 θ,根据斜率的计算公式,可得 AB 的斜率表达式,即可得 K 的范围,由倾斜角与斜率的关系,可得 tanθ 的范围,进而由正切函数的图象分析可得答案. 解答: 解:设直线 AB 的倾斜角为 θ,0≤θ<π, 根据斜率的计算公式,可得 AB 的斜率为 K= 易得 k≤1, 由倾斜角与斜率的关系,即 tanθ≤1, 由正切函数的图象,可得 θ 的范围是 . =1﹣m ,
2

点评:本题考查直线的倾斜角,要求学生结合斜率的计算公式,结合斜率与倾斜角的关系, 进行分析求解.

3.为了了解初中生的身体素质,某地区随机抽取了 n 名学生进行跳绳测试,根据所得数据 画样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右第一小组的频数是 100,则 n= 1000 .

考点:频率分布直方图. 专题:阅读型. 分析:先根据频率分布直方图中小长方形的面积=组距×频率组距=频率,求出从左到右第一 小组的频率,再根据样本容量= ,求出样本容量即可.

解答: 解:从左到右第一小组的频率=0.004×25=0.1 而从左到右第一小组的频数是 100,样本容量= = =1000

故答案为:1000 点评:本题主要考查了频率分布直方图,小长方形的面积=组距×频率组距=频率,各个矩形 面积之和等于 1,样本容量= ,属于基础题.

4.正数数列{an}是公差不为零的等差数列,正项数列{bn}是等比数列,a1=b1,a3=b3,a7=b5, 若 a15=bm,求 m 的值. 考点:等差数列的性质. 专题:计算题. 分析:令 an=a1+(n﹣1)d,bn=b1?q 得 x+14d=x?q
m﹣1 n﹣1

,设 a1=b1=x,由题意知 q=

,d= ,由 a15=bm,



,m=7.
n﹣1

解答: 解:令 an=a1+(n﹣1)d,bn=b1?q ∵{an}为正数数列 ∴d>0 令 a1=b1=x 则由 a3=b3,a7=b5 得: 2 x+2d=x?q , 4 x+6d=x?q , 解得 q= ,d= ,



∴由 a15=bm,得

x+14d=x?q 即

m﹣1



m=7. 点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.

5.已知等差数列 小值时 n= 5 . 考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列.

,记此数列的第 n 项到第 n+6 项的和为 Tn,当|Tn|取最

分析:由等差数列通项公式求出 an,an+6,然后由前 n 项和公式可求得 Tn,根据其表达式可 得答案. 解答: 解:首项 a1=5,公差 d=﹣ , 则 =﹣ n+ =﹣ n+ , ,



=﹣5n+25,

所以当 n=5 时,|Tn|取得最小值 0, 故 n=5, 故答案为:5 点评:本题考查等差数列求和公式,根据条件求出等差数列的通项公式是解决本题的关键. 6.如图为一个求 20 个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句 为 i>20 .

考点:伪代码. 专题:阅读型. 分析:根据程序的功能为一个求 20 个数的平均数的程序,得到循环次数,从而得到判定的 条件. 解答: 解:根据题意为一个求 20 个数的平均数的程序 则循环体需执行 20 次 从而横线上应填充的语句为 i>20 故答案为:i>20 点评:本题主要考查了直到型循环, 以及循环的次数的判定, 如果将程序摆在我们的面前时, 要从识别逐个语句,整体把握,概括程序的功能,属于基础题.

7.在等比数列{an}中,a5?a11=4,a3+a13=5,则

= 4或



考点:等比数列的性质. 专题:计算题. 分析:先用 a1,q 表示出 a5、a11、a3、a13,然后代入关系式 a5?a11=4,a3+a13=5 可得 2 14 2 14 a5?a11=a1 q =4、a3+a13=a1(q2+q12)=5,然后对 a1(q2+q12)=5 两边平方后与 a1 q 相比 即可得到答案. 解答: 解:∵
2 14

=q

10

a5?a11=a1 q =4 ① a3+a13=a1(q2+q12)=5 2 4 24 14 然后两边平方:a1 (q +q +2q )=25 = = =



所以

或4

故答案为:4 或 点评:本题主要考查等比数列的通项公式. 等比数列的基本性质一定要熟练掌握, 这是答对 题的前提条件. 8.分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数,依次记为 m 和 n,则 m>n 的概率为



考点:等可能事件的概率. 专题:计算题;压轴题. 分析:由题意知本题是一个几何概型, 根据所给的条件作出试验发生是包含的所有事件是一 个矩形区域,做出面积,看出满足条件的事件对应的面积,根据几何概型公式得到结果.

解答: 解:由题意知本题是一个几何概型, ∵试验包含的所有事件是以 m,n 为横轴,纵轴建立直角坐标系,1≤m≤6,2≤n≤4, 构成一矩形封闭区域,它的面积 5×2=10, 而满足条件的事件是作直线 l:m=n l 与矩形区域相交, 把它分成两部分,下面得部分即为 m>n 的区域,它的面积为 6 ∴由几何概型概率公式得到 m>n 的概率为 故答案为: 点评:古典概型和几何概型是我们学习的两大概型, 古典概型要求能够列举出所有事件和发 生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体 积、的比值得到. =

9.设 x,y∈R,且 xy≠0,则

的最小值为 9 .

考点:基本不等式. 专题:计算题. 分析:对 解答: 解:∵x,y∈R,且 xy≠0, ∴ =1+4+ ≥5+2 =9 展开,利用基本不等式即可求得其最小值.

当且仅当

时等号成立,



的最小值为 9.

故答案为 9. 点评:此题是个基础题.考查利用基本不等式求最值,注意正、定、等,考查学生利用知识 分析解决问题的能力和计算能力. 10.在△ ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,已知 a,b,c 成等比数列,且 a ﹣c =ac﹣bc.则
2 2

的值为



考点:余弦定理. 专题:解三角形.

分析:由 a,b,c 成等比数列,利用等比数列的性质得到 b =ac,代入已知等式中变形,利 用余弦定理表示出 cosA,将得出的关系式代入求出 cosA 的值,确定出 A 的度数,再利用 正弦定理表示出 sinB,代入所求式子中变形,将 b =ac 及 sinA 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵a,b,c 成等比数列, 2 ∴b =ac, 2 2 2 将 b =ac 代入 a ﹣c =ac﹣bc, 2 2 2 即 a ﹣c =b ﹣bc, 2 2 2 即 b +c ﹣a =bc, ∴cosA= 即 A=60°, 由正弦定理 则 故答案为: . 得:sinB= =sinA= . , = = ,
2

2

点评:此题考查了余弦定理,正弦定理,以及等比数列的性质,熟练掌握定理是解本题的关 键.
*

11.已知数列{an}中,a1=55,an+1=an+2n﹣1,n∈N ,则

的最小值为 13 .

考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 2 分析:通过 an+1=an+2n﹣1 可知 an+1﹣an=2n﹣1,利用累加法可知 an﹣a1=(n﹣1) ,进而 =n+ ﹣2,利用基本不等式计算即得结论.

解答: 解:∵an+1=an+2n﹣1, ∴an+1﹣an=2n﹣1, ∴an﹣an﹣1=2n﹣3, an﹣1﹣an﹣2=2n﹣5, … a3﹣a2=3, a2﹣a1=1, 累加得:an﹣a1=1+3+5+…+2n﹣3= 又∵a1=55, 2 2 ∴an=55+(n﹣1) =n ﹣2n+56, ∴ =n+ ﹣2≥2 ﹣2,当且仅当 n= 即 n=2 时取等号, =(n﹣1) ,
2

∵6<2 ∴ =7+

<8,∴n 取 7 时 ﹣2=13,

最小,

故答案为:13. 点评:本题考查数列的通项,考查基本不等式,注意解题方法的积累,属于中档题.

12.已知变量 x,y 满足约束条件

.若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点

(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为 a



考点:简单线性规划的应用. 专题:计算题;压轴题;数形结合.

分析:本题考查的知识点是线性规划, 处理的思路为: 根据已知的约束条件



画出满足约束条件的可行域,再用图象判断,求出目标函数的最大值. 解答: 解:画出可行域如图所示, 其中 B(3,0) ,C(1,1) ,D(0,1) , 若目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)取得最大值, 由图知,﹣a<﹣ 解得 a> 故答案为 a>

点评:用图解法解决线性规划问题时, 分析题目的已知条件, 找出约束条件和目标函数是关 键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束 条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得 到目标函数的最优解.

13.若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的 范围是 m>2 . 考点:正弦定理;数列与三角函数的综合. 专题:计算题. 分析: 由题意可得 B=60°,A+C=120°,由正弦定理结合题意可得 m= = 三角形中,C 大于 90° 可得 0<A<30°,故 0<sinA< ,0<sinC<1,从而得到 m> =2. 解答: 解:设三内角分别为 A,B,C,设 C 为钝角,则 2B=A+C,∴B=60°,A+C=120°. 由正弦定理可得 根据题意可得 m= = , .由于 0<sinA< ,0<sinC<1,∴m> =2, ;由于钝角

故答案为 m>2. 点评:本题考查正弦定理的应用, 大角对大边, 正弦函数的值域, 判断 0<sinA< , 0<sinC <1,是解题的关键. 14.设 a1,a2,…,an 是各项不为零的 n(n≥4)项等差数列,且公差 d≠0.若将此数列删去 某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对 为 {(4,﹣4) , (4,1)} . 考点:等比数列的性质;集合的表示法;等差数列的性质. 专题:综合题;压轴题. 分析:设出数列的公差 d,列举出数列的各项,讨论从第一项开始删去,由得到的数列为等 比数列,利用等比数列的性质,列出关于 d 与首项的方程,求出方程的解即可得到 d 的值, 根据 d 不为 0,得到满足题意的 d 的值,即可求出满足题意的所有数对,组成集合的形式即 可. 解答: 解:设数列{an}的公差为 d,则各项分别为:a1,a1+d,a1+2d,…,a1+(n﹣1)d, 且 a1≠0,d≠0, 2 假设去掉第一项,则有(a1+d) (a1+3d)=(a1+2d) ,解得 d=0,不合题意; 2 2 去掉第二项,有 a1(a1+3d)=(a1+2d) ,化简得:4d +a1d=0 即 d(4d+a1)=0,解得 d= ﹣ , =(4, 所组成的集合

因为数列的各项不为零,所以数列不会出现第五项(a1+4d=0) ,所以数对

﹣4) ; 2 2 去掉第三项,有 a1(a1+3d)=(a1+d) ,化简得:d ﹣a1d=0 即 d(d﹣a1)=0,解得 d=a1 则此数列为:a,2a,3a,4a,…此数列仍然不会出现第五项,

因为出现第五项,数列不为等比数列,所以数对
2

=(4,1) ;

去掉第四项时,有 a1(a1+2d)=(a1+d) ,化简得:d=0,不合题意; 当去掉第五项或更远的项时,必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况,即 d=0,不合题 意. 所以满足题意的数对有两个,组成的集合为{(4,﹣4) , (4,1)}. 故答案为:{(4,﹣4) , (4,1)} 点评:此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值, 是一道中档题. 学生做题时应时刻 注意公差 d 不为 0 和各项不为 0 的条件. 二、解答题 15. 在△ ABC 中,S 为△ ABC 的面积,且 S=c ﹣(a﹣b) . (1)求 tanC; (2)当 a+b=4 时,求 S 的最大值. 考点:余弦定理;正弦定理. 专题:三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)由已知及正弦定理得: 及三角函数恒等变换化简即可求值. (2)结合范围 C∈(0,π) ,可求 ,利用三角形面积公式及基本不等式即可得解. , ,利用余弦定理
2 2

解答: 解: (1)在△ ABC 中,由正弦定理得: ∴ ,

∴sinC=4(1﹣cosC) , (2)∵C∈(0,π) , ∴ ∴ 当且仅当 a=b=2 时 . ,









点评:本题主要考查了三角形面积公式,正弦定理,余弦定理,基本不等式的综合应用,属 于中档题. 16. (2012?信阳一模)记函数 f(x)= ﹣x)](a<1)的定义域为 R. (1)求 A; 的定义域为 A,g(x)=lg[(x﹣a﹣1) (2a

(2)若 B?A,求实数 a 的取值范围. 考点:函数的定义域及其求法;集合的包含关系判断及应用;对数函数的定义域. 专题:综合题. 分析: (1)令被开方数大于等于零,列出不等式进行求解,最后需要用集合或区间的形 式表示出来; (2)先根据真数大于零,求出函数 g(x)的定义域,再由 B?A 和 a<1 求出 a 的范围. 解答: 解: (1)由 2﹣ ≥0,得 ≥0,

解得,x<﹣1 或 x≥1,即 A=(﹣∞,﹣1)∪[1,+∞) , (2)由(x﹣a﹣1) (2a﹣x)>0,得(x﹣a﹣1) (x﹣2a)<0, ∵a<1,∴a+1>2a.∴B=(2a,a+1) , ∵B?A,∴2a≥1 或 a+1≤﹣1,即 a≥ 或 a≤﹣2, ∵a<1,∴ ≤a<1 或 a≤﹣2, 故当 B?A 时,实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[ ,1) . 点评:本题是有关集合和函数的综合题,涉及了集合子集的运算,函数定义域求法的法则, 如:被开方数大于等于零、对数的真数大于零、分母不为零等等. 17. 如图 1 所示的茎叶图是青年歌手电视大奖赛中 7 位评委给参加最后决赛的两位选手甲、 乙评定的成绩,程序框图(图 2)用来编写程序统计每位选手的成绩(各评委所给有效分数 的平均值) ,试根据下面条件回答下列问题:

(1)根据茎叶图,乙选手的成绩中,中位数和众数分别是多少? (2)在程序框图中,用 k 表示评委人数,用 a 表示选手的最后成绩(各评委所给有效分数 的平均值) .那么图中①②处应填什么?“S1=S﹣max﹣min”的含义是什么? (3)根据程序框图,甲、乙的最后成绩分别是多少?

(4)从甲、乙的有效分数中各取一个分数分别记作为 x,y,若甲、乙的最后成绩分别是 a, b,求“|x﹣a|≤1 且|y﹣b|≤1”的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析: (1)根据众数出现次数最多的数求众数;根据中位数是数据从小到大排列位于中 间位置的数,求中位数; (2)根据 k 表示评委人数及评委的人数,确定跳出循环条件①;再根据 a 表示评委所给有 效分数的平均值,可得执行语句②; (3)利用平均数公式求得甲、乙的平均数; (4)分别求出满足|x﹣a|≤1 和|y﹣b|≤1”的概率,从而得到答案. 解答: 解: (1)选手乙的成绩为 79,84,84,84,86,87,93,众数为 84, 乙选手的中位数和众数分别是 84,84; (2) )∵7 名评委给参赛的选手打分, k 表示评委人数,∴跳出循环条件应为①k>7; 又 a 表示评委所给有效分数的平均值, ∴执行语句② ;

(3)甲、乙的最后成绩分别是 84,85 “S1=S﹣max﹣min”的含义:S1 七位评委评定的成绩总和 S 除去最高分 max 及最低分 min; (4)选手乙的有效成绩为 84,84,84,86,87, 满足|y﹣b|≤1 的概率是: ; 选手甲的成绩为 78,84,85,85,88, 满足|x﹣a|≤1 的概率是: , ∴ .

点评:本题借助茎叶图考查了选择结构与循环结构相结合的程序框图, 根据框图的流程判断 算法的功能是解题的关键. 18. 已知数列{an}满足 an=2an﹣1+2 ﹣1(n∈N+,且 n≥2) ,a4=81. (1)求数列的前三项 a1,a2,a3; (2)数列 为等差数列,求实数 p 的值;
n

(3)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点:数列递推式;等差关系的确定;数列的求和. 专题:计算题;综合题. 分析: (1)利用已知条件直接求出 a3,然后求出 a2,a1. (2)通过数列 为等差数列,按照等差数列的定义,公差是常数,直接求解 p 的值.

(3)利用(2)求出通项公式,然后通过错位相减法求出数列{an}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1) 由 同理,得 a2=13,a1=5…(4 分) (2)对于 n∈N,且 n≥2, ∵ (n∈N+, 且 n≥2) 得 , 得 a3=33

又数列

为等差数列,∴

是与 n 无关的常数,

∴1+p=0,p=﹣1…(8 分) (3)由(2)知,等差数列 的公差为 1,


2 3

,得
n

.…(9 分)

∴Sn=a1+a2+…+an=2×2+3×2 +4×2 +…+(n+1)×2 +n, 记 ,则有 , 两式相减,得 故 , .…(13 分)

点评:本题考查数列的定义判断等差数列的应用, 数列求和的常用方法﹣﹣错位相减法, 考 查计算能力. 19. (2011?咸阳模拟)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投 入成本为 C(x) ,当年产量不足 80 千件时, 80 千件时, (万元) ;当年产量不小于

(万元) .现已知此商品每件售价为 500 元,且该

厂年内生产此商品能全部销售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 考点:根据实际问题选择函数类型;基本不等式在最值问题中的应用. 专题:应用题. 分析: (1)根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分 0<x<80 和当 x≥80 两种 情况得到 L 与 x 的分段函数关系式;

(2)当 0<x<80 时根据二次函数求最大值的方法来求 L 的最大值,当 x≥80 时,利用基本 不等式来求 L 的最大值. 解答: 解: (1)当 0<x<80,x∈N 时,
*

当 x≥80,x∈N*时,L(x)=

﹣51x﹣

+1450﹣250=1200﹣(x+







(2)当 0<x<80,x∈N*时, 当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950 当 x≥80,x∈N, ∵ ∴当



, ,即 x=100 时,L(x)取得最大值 L(100)=1000>950.

综上所述,当 x=100 时 L(x)取得最大值 1000,即年产量为 100 千件时, 该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 点评:考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力, 以及运用基本不等式求最值的能 力. 20. 设数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足关系式:3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t(t>0,n=2, 3,4…) (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)设数列{an}的公比为 f(t) ,作数列{bn},使 ,求数列{bn}的通项 bn; (3)求和:b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1. 考点:数列的求和;等比数列的通项公式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1) 通过 3tSn﹣ (2t+3) Sn﹣1=3t 与 3tSn﹣1﹣ (2t+3) Sn﹣2=3t 作差、 整理得 (n=2,3,…) ,进而可得结论; (2)通过(1)可知 bn=f 差数列,进而即得结论; (3)通过 bn= 可知数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为 1 和 、公差均为 的等差数列, +bn﹣1,即数列{bn}是一个首项为 1、公差为 的等

并项取公因式,计算即得结论.

解答: (1)证明:∵a1=S1=1,S2=1+a2, ∴a2= 又 3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t ① ∴3tSn﹣1﹣(2t+3)Sn﹣2=3t ② ①﹣②得:3tan﹣(2t+3)an﹣1=0, ∴ , (n=2,3,…)

∴{an}是一个首项为 1、公比为 (2)解:∵f(t)= ∴bn=f +bn﹣1. ,

的等比数列;

∴数列{bn}是一个首项为 1、公差为 的等差数列. ∴bn=1+ (n﹣1)= (3)解:∵bn= , ;

∴数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为 1 和 ,公差均为 的等差数列, 于是 b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1 =b2(b1﹣b3)+b4(b3﹣b5)+b6(b5﹣b7)+…+b2n(b2n﹣1+b2n+1) =﹣ (b2+b4+…+b2n) =﹣ =﹣ (2n +3n) . 点评:本题考查数列的通项及前 n 项和,注意解题方法的积累,属于中档题.
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