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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程课堂探究学案新人教B版选修2_120171109392全面版

2.4.1 抛物线的标准方程
课堂探究 探究一 抛物线的定义及应用

抛物线定义的实质可归纳为“一动三定”:一个动点;一个定点 F;一条定直线 l;一 个定值. 抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等, 因此两者 可以相互转化,这也是利用抛物线定义解题的方便之处. 【典型例题 1】 设 P 为抛物线 y =4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. 思路分析:本题主要考查抛物线中的最值问题,利用数形结合的思想寻求解题思路. 解:(1)抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1. 因为点 P 到准线 x=-1 的距离等于点 P 到 F(1,0)的距离, 所以问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到 A(-1,1)的距离与 P 到 F(1,0)的距离 之和最小. 连接 AF,如图(1)所示,
2

图(1) 显然 P 是 AF 与抛物线的交点, 最小值为|AF|= 5. (2)同理|PF|与点 P 到准线的距离相等. 如图(2)所示,

图(2) 过 B 作 BQ⊥准线于 Q,交抛物线于点 P1.

由题意知|P1Q|=|P1F|, 所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4. 所以|PB|+|PF|的最小值为 4. 点评:求圆锥曲线上到两定点的距离之和最小的点的位置时,通常有两种情况:(1)当 两定点在曲线两侧时,连接两定点的线段与曲线的交点即为所求点;(2)当两定点在曲线同 侧时,由圆锥曲线定义作线段的等量转换,转换为(1)的情形即可. 探究二 求抛物线的标准方程、焦点、准线方程

求抛物线的标准方程时,从形式上看,只需要求出参数 p 即可.而要求抛物线的焦点坐 标、准线方程,则首先要将抛物线方程化成标准形式,求出 p 的值后,再写出焦点和准线方 程. 【典型例题 2】 已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(3,m)到焦点的距离是 5. (1)求抛物线方程和 m 的值. (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程. 思路分析:设出抛物线方程,利用抛物线的定义得出 p 的关系式,求出 p 的值,再用代 入法求 m 的值.

? ? 2 解:(1)设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0),焦点为 F? ,0?,准线方程 x=- ,根 2 2 ? ?
p p
据抛物线定义,点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离,则 3+ =5,解得 p=4. 2 因此抛物线方程为 y =8x. 又点 M(3,m)在抛物线上, 所以 m =24, 解得 m=±2 6. 故所求的抛物线方程为 y =8x,m 的值为±2 6. (2)因为 p=4,所以抛物线的焦点坐标为(2,0), 准线方程是 x=-2. 探究三 易错辨析
2 2 2

p

易错点 忽略抛物线中变量的取值范围 【典型例题 3】 设点 A 的坐标为(a,0)(a∈R), 则曲线 y =4x 上的点到点 A 的距离的最 小值为多少? 错解:设曲线上的任意一点 B(x,y)到点 A 的距离为 d,则 d =(x-a) +y =x -(2a -4)x+a =[x-(a-2)] +(4a-4).
2 2 2 2 2 2 2

因为 a∈R, 所以当 x=a-2 时,d 取最小值 4a-4. 所以 dmin=2 a-1. 错因分析:在求与抛物线有关的最值时,要充分利用抛物线所隐含的条件,注意坐标的 取值是否满足抛物线的范围. 错解中既忽略了抛物线中 x 的取值范围, 也忽略了对 a 的讨论. 正解: 设曲线上任意一点 B(x, y)到点 A 的距离为 d, 则 d =(x-a) +y =x -(2a-4)x +a =[x-(a-2)] +(4a-4). 由题意知 x∈[0,+∞), 所以当 a≥2 时,dmin=4a-4,dmin=2 a-1; 当 a<2 时,dmin=a ,dmin=|a|.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

只要我们坚持了,就没有克服不了的困难。或许,为了将来,为了自己的发展,我们会把一件事情想得非常透彻,对自己越来越严,要求越来越高,对任何机会都不曾错过,其目的也只不过 是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时, “千里之行,始于足下。 ”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情,让自己其中那小小的浅浅的进步,来击破打破 突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域,强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走,向前看,向前进。所有的未来,都是靠脚步去丈量。没有走,怎么知道,不可能;没有去 努力,又怎么知道不能实现?幸福都是奋斗出来的。那不如,生活中、工作中,就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵,着心、心平气和的去体验、去察觉这一 种灵魂深处的安详,侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但,这种聆听,它绝不是仅限于、执着于“我” ,而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度,也就是那“幸 福都是奋斗出来的”深处又会是如何?生命不止,奋斗不息!又或者,对于很多优秀的人来说,我们奋斗了一辈子,拼搏了一辈子,也只是人家的起点。可是,这微不足道的进步,对于我们 来说,却是幸福的,也是知足的,因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么,隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中,并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力,去积极争取的! “宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来。 ”当我们坦然接受这人生的终局,或许,这无所皈依的心灵就有了归宿,这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。 一生有多少属于我们的时光?陌上的花,落了又开了,开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴,曾经的天真,只能在梦里回味,每回梦醒时分,总是多 了很多伤感。不知不觉中,走过了青春年少,走过了人世间风风雨雨。爱过了,恨过了,哭过了,笑过了,才渐渐明白,酸甜苦辣咸才是人生的真味!生老病死是自然规律。所以,面对生活 中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受,面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的,只要你有足够的坚强!这世上没有什么不能放下的,只要你有足够的胸 襟! 一生有多少属于我们的时光?当你为今天的落日而感伤流泪的时候,你也将错过了明日的旭日东升;当你为过去的遗憾郁郁寡欢,患得患失的时候,你也将忽略了沿途美丽的风景,淡 漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活,没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味,抑郁忧伤的人生少欢乐,风雨过后的彩虹最绚丽,历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了 各样的人生:有的轻浮,有的踏实;有的喧哗,有的落寞;有的激扬,有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦,大都是缘于生活里的际遇沉浮,走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺 得过物质生活的匮乏,却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度,一花一世界,一树一菩提,就是一粒小小的沙子,也有自己精彩的乾坤。如果 想到我们终有一天会灰飞烟灭,一切象风一样无影亦无踪,还去争个什么?还去抱怨什么?还要烦恼什么?未曾生我谁是我?生我之时我是谁?长大成人方是我,合眼朦胧又是谁?一生真的 没有多少时光,何必要和生活过不去,和自己过不去呢。你在与不在,太阳每天都会照常升起;你愁与不愁,生活都将要继续。时光不会因你而停留,你却会随着光阴而老去。 有些事情注定会发生,有的结局早已就预见,那么就改变你可以改变的,适应你必须去适应的。面对幸与不幸,换一个角度,改变一种思维,也许心空就不再布满阴霾,头上就是一片蔚蓝的 天。一生能有多少属于我们的时光,很多事情,很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来,在心中无法忘却的,一定是触动心灵,甚至是刻骨铭心的,无论是伤痛是欢愉。人生无论是得 意还是失意,都不要错过了清早的晨曦,正午的骄阳,夕阳的绚烂,暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后,你终于能懂得:谁会在乎你?你又何必要别人去在乎?生于斯世,赤条条的来, 也将身无长物的离开,你在世上得到的,失去的,最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么,所以也谈不到失去什么,因此,对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心,面对 人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受,知道人有旦夕祸福,这和命运没什么关系;有一颗平常心,面对台下的鲜花掌声和头上的光环,身上的浮名都能清醒看待。花不常开,人不常 在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候;再奢华的宴席,悠扬的乐曲,总有曲终人散的时刻。春去秋来,我们无法让季节停留;同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎 你?生养我们的父母。纵使我们有千般不是,纵使我们变成了穷光蛋,唯有父母会依然在乎!为你愁,为你笑,为你牵挂,为你满足。这风云变幻的世界,除了父母,不敢在断言还会有谁会 永远的在乎你!看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散;看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花;你落寞孤寂时,曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实, 谁会在乎你?除了父母,只有你自己。父母待你再好,总要有离开的时日;再恩爱夫妻,有时也会劳燕分飞,孩子之于你,就如同你和父母;管鲍贫交,俞伯牙和钟子期,这样的肝胆相照, 从古至今有几人?不是把世界想的太悲观,世事白云苍狗,要在纷纷扰扰的生活中,懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星,虽然灿烂,却是惊鸿一瞥;宁愿做一颗小小的暗淡的星子, 即使不能同日月争辉,也有自己无可取代的位置其实,也不该让每个人都来在乎自己,每个人的人生都是单行道,世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易,都有自己方向。相 识就是缘分吧,在一起的时候,要多想着能为身边的人做点什么,而不是想着去得到和索取。与人为善,以直报怨,我们就会内心多一份宁静,生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候,要学 会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间,已经走到了人生的分水岭,回望过去生活的点滴,路也茫茫,心也茫茫。少不更事的年龄,做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情:斜阳芳草里,故

作深沉地独对晚风夕照;风萧萧兮,渴望成为一代侠客;一遍遍地唱着罗大佑的《童年》 ,期待着做那个高年级的师兄;一天天地幻想,生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影,没有死去活来,青春 就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好,年华的可贵,已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此,青春就一去不回头。没有了幻想和冲动,日子就像白开水一样平淡,寂 寞地走过一天天,一年年。涉世之初,还有几分棱角,有几许豪情。在碰了壁,折了腰之后,终于明白,生活不是童话,世上本没有白雪公主和青蛙王子,原本是一张白纸似的人生,开始被 染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢,被情愿也罢,生存,就要适应身不由己,言不由衷的生活。人到中年,突然明白了许多:人生路漫漫,那是说给还不知道什么叫人生的人说的,人生其 实很短暂,百年一瞬间;世事难预料,是至理名言,这一辈子,你遇见了谁,擦肩而过了谁,谁会是你真心的良朋益友,谁会和你牵手相伴一生,都是最初估计不到的;没有跨不过去的坎, 只有走不出的心。人生天地间,渺小的如蝼蚁、草芥,即便是叱咤风云的伟人,安息之处亦不过是黄土一抔。纠结不清的是情感,放不下手的是名利,撒手西归,一切皆是过眼云烟。为情苦, 为名困,为物役,多少参不透生活的人为此劳碌一生,辛苦一世。走过了无数个平凡的日子,见惯了生离死别的怅惘,知道了“生亦何欢,死亦何惧”其实就是活着的一种最佳姿态。你无所 畏惧了,命运就该向你低头了,活着,就好好活。忧郁恼的时候听听歌,天空不会总布满阴霾,风雨之后的彩虹更美丽;心情不错的日子走一走,看看每一天的日升日落,那是自然给生命的 美好馈赠。花谢了,有再开的时候;草枯了,还有再荣的时候。青春呢?生命呢?是不是还可以再重新拥有一回?感谢爹娘,给了我生命,虽然历经了风雨,却依然能感觉到生命的厚重和珍 贵;感谢生活,尝尽了酸甜苦辣咸,仍然还会充满感动和感恩;感谢岁月,让我在红尘里褪尽铅华,返璞归真。爱惜自己,珍爱生活。对别人多一份理解和博爱,活着,就好好活。一生能有 多少属于我们的时光?在平凡的日子里,在安静的生活中,且行且珍惜吧。一个人的幸福感,不是来自丰衣足食,而是来自内心丰盈。丰衣足食,获得的是人生的踏实感;内心丰盈,获得的 是灵魂的归属感。前者让人从容赶路,后者给人在路的前方点灯。人的痛苦,有时候不是看不到,而是看到的太多了。每天挣 100 块钱的,其实并不羡慕挣 120 的。问题是,当突然看到有人 可以每天挣到上千块,便开始方寸大乱。不平衡,才是一个人内心宕动和迷乱的根本。无法安放的,永远不是身体,而是一颗野了的心大学谈恋爱,对未来的设想,不过是有一间屋子,只要 能盛得下两个人的欢愉就行。后来发现,我们需要的不只是一间屋子,而是好多房产。当我们把这些归结为生活所需的时候,其实已陷在世俗沉重的背影里了。然后,在虚荣的路上越走越远, 被虚荣长距离放逐,再被虚荣一步一个脚印地打这个世界,快乐最多的地方,不在富商大贾那里,也不在权倾一方的人那里。恰恰是这些人,阴沉着脸,个个蹙眉紧锁。他们的幸福。


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