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空间向量与立体几何导学案

高三数学(理科)第一轮复习

第七章

空间向量与立体几何 导学案

一、 引 1、判断下列命题的真假. (1)空间向量就是空间中的一条有向线段;(2)不相等的两个空间向量的模必不相等; → → (3)两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;(4)向量BA与向量AB的长度相等. → → → → (5)若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0; → → → 则 P、A、B、C 四点共面。 → → → 2、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 BC,A1B1 的中点,设DA=a,DC=b,DD1=c, → → 请用 a、b、c 表示向量B1E,CF. → → → → ) →

(6)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、B、C,若OP=xOA+yOB+zOC(其中 x、y、z∈R),

3、已知空间四边形 ABCD 中,AB=a,BC=b,AD=c,则CD=( A.a+b-c B.c-a-b C.c+a-b D.c+a+b 4、在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E 是 C1D1 的中点, 则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( ) A.- 10 10 1 B.- 20 1 C. 20 D. 10 10

5、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么这条斜线 与平面所成的角是( ) A.90° B.30° C.45° D.60° 6、已知两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为( ) A.45° B.135° C.45° 或 135° D.90° 二、 探 ●课程标准 1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘向量运算的性质,会运用上述知识熟练地进 行空间向量的运算. 2.理解共线向量、直线的方向向量、共面向量,会用所学知识解决立体几何中有关的简单问题. 3.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积的概念、性质及运算律,会用它解决立 体几何中的简单问题. 4.理解空间向量的正交分解及其坐标的表示,掌握空间向量的坐标运算及数量积的坐标表示,会判断两 个向量平行或垂直; 掌握两个向量的夹角公式和向量长度的坐标计算公式, 并会用这些公式解决有关问题. 5.理解平面的法向量,能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系. 6.能用向量方法证明有关线、面位置关系,能够用向量方法解决线线、线面、面面的夹角及其长度问题. 7.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题中, 体会向量方法在研究几何图形的作用,进一步发展空间想象能力和几何直观能力. ●学法探究:作类比 1.空间向量概念、坐标表示及运算与平面向量类似,向量加法的平行四边形法则、三角形法则仍然成立. 共线向量定理、 数量积及其运算都是平面向量在空间的推广, 空间向量基本定理, 是由二维到三维的推广.

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2.可类比用平面向量解决平面几何问题探究如何用空间向量解决立体几何问题. (1)a⊥b,a∥b,是用向量研究立体几何中线线、线面、面面平行与垂直的基本工具,直线的方向向量、平 面的法向量是关键. a· b (2)cos〈a,b〉= 是计算空间各种角的基础,但应注意线线角、线面角、二面角的范围. |a||b| ●请填空 1、空间向量的概念及表示 (1)与平面向量一样,我们把空间中具有 和 的量叫做空间向量,向量的 叫做向量 的长度或模. (2)与平面向量一样, 空间向量也用 表示. 起点是 A, 终点是 B 的向量 a 也可以记作 . 其模记作 . (3) 的向量叫做零向量,记为 0;模为 的向量叫做单位向量. (4) 的向量称为相等向量.与向量 a 的向量称为 a 的相反向量,记为 2、空间向量的线性运算 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样. (1)加法满足平行四边形法则,加法和减法满足三角形法则,加法的交换律、结合律都成立. (2)实数 λ 与向量 a 的乘积 λa 是一个向量,λ 0 时,λa 与 a 方向相同,λ 0 时,λa 与 a 方向相反,λ 0 时,λa= ,其方向是任意的,|λa|= . 设 λ、μ 是实数,则有 ①分配律:λ(a+b)= ②结合律:λ(μa)= . 3、空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a, b, 在空间任取一点 O, 作OA=a, OB=b, 则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角, 记作 π 其范围是 0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉= ,则称 a 与 b 2 ,记作 a⊥b. ,

②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b 则 叫做向量 a,b 的数量积, (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b= ;②交换律:a· b= ;③分配律:a· (b+c)= 4.基本定理 (1)共线向量定理:空间任意两个向量 a、b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数 λ,使 . (2)共面向量定理:如果两个向量 a,b ,p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在实数 x,y 使 p=xa+yb. (3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c ,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x,y,z,使 . 5 、 坐 标 运 算 : 若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 ( 1 ) a ? b ? _________________ ,

?

?

? ?

? ? ? ? ? a ? b ? _________________ , ? a ? __________________ , a ? b ? ___________________ 。
(2)平行垂直的条件:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 )

?

?

? ? ? ? a / /b ? ________________________ , a ? b ? ________________________ .

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(3)向量夹角与长度的坐标计算公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , 则 | a |?

?

?

?

? ? ? ? ? a ? a ? ______________ , | b |? b ? b ? ________________ ,

? ? ? ? a ?b cos a ? b ? ? ? ? ______________________ . | a |?| b |
三、 讲 例题 1、如图,在四面体 SABC 中,若 SA⊥BC,SB⊥AC,试证 SC⊥AB.

例题 2、2012 年辽宁高考(理科)第 18 题. 如图,直三棱柱 ABC ? A/ B / C / , ?BAC ? 90? ,

AB ? AC ? ? AA/ , 点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点。
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A/ ACC / ; (Ⅱ)若二面角 A/ ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的值。

例题 3、2013 年辽宁高考(理科)第 18 题 如图, AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点. (I)求证: 平面PAC ? 平面PBC; (II) 若AB ? 2,AC ? 1,PA ? 1,求证:二面角C ? PB ? A的余弦值.

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例题 4、2014 年辽宁高考(理科)第 19 题.
0 如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 120 ,E、F 分

别为 AC、DC 的中点.(1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

例题 5、2015 年辽宁高考(理科)第 19 题 如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E = D1F = 4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求直线 AF 与平面 α 所成的角的正弦值。 D
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F

C1

A1

E D

B1 C

A

B

四、 练 金版教程●高考总复习首选用卷 数学(理) 第 113 页考点测试 46 空间向量以其运算 基础>经典全面扫描 第 115 页考点测试 47 立体几何中的向量方法 基础>经典全面扫描 五、 小结与反思:

六、 作业 金版教程●高考总复习首选用卷 数学(理) 第 113 页考点测试 46 空间向量以其运算 规范特训>3 年高考题组 第 115 页考点测试 47 立体几何中的向量方法 规范特训>3 年高考题组
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