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2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版):专题4.3 两角和与差及二倍角的三角函数(讲)(原卷版)

【最新考纲解读】 要 内 容 A 两角和(差)的正弦、 余弦及正切 B C √
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦. 4.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.



备注

基 本 初 等 函 数 Ⅱ(三角 函数)、 二倍角的正弦、余弦及 三 角 恒 正切 等变换



5.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正 弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

【考点深度剖析】 1. 本课主要题型有:①三角函数式的化简与求值;②三角函数式的简单证明.这部分知识难 度已较以前有所降低,应适当控制其难度. 2.灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换,进而考查三角函数的图像和性质是 高考的热点内容. 3.以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形 状,求三角形的面积等问题是在知识交汇点处命题的一个热点问题. 【课前检测训练】 [判一判] (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α ,β 是任意的。( ) (2)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立。( ) (3)在锐角三角形 ABC 中,sin Asin B 和 cos Acos B 大小关系不确定。( ) (4)公式 tan(α+β)= tan α+tan β 可以变形为 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对 1-tan αtan β

任意角 α,β 都成立。( ) (5)存在实数α ,使 tan 2α =2tan α 。( ) [练一练]

α 3 1. 若 sin 2 = 3 ,则 cos α=_______ . 2. sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=_______ . 3.已知 tan(α +β )=3,tan(α -β )=5,则 tan 2α =________ 4.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=________ 5.函数 f(x)=sin(x+2φ )-2sin φ cos(x+φ )的最大值为________ 【题根精选精析】

考点 1

两角和与差的三角函数公式的应用
? ?

【1-1】设 ? 为锐角,若 cos ? ? ?

??

3 ?? , 6? 5

则 sin ? ? ?

? ?

?? 12 ?

? ?

.

【 1-2 】 求值:

2 cos100 ? sin 200 = cos 200



【基础知识】
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ; C(α+β):cos(α+β)=cosαcos_β-sin_αsinβ; S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cosαsinβ; tan α+tan β T(α+β):tan(α+β)= ; 1-tan αtan β tan α-tan β T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan αtan β 变形公式: tan α± tan β=tan(α± β)(1?tanαtanβ);

sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ?

?
4

).

【思想方法】
应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视, 公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了 公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.

【温馨提醒】在 T(α+β)与 T(α-β)中,α,β,α±β都不等于 kπ+ (k∈Z),即保证
π tan α,tan β,tan(α+β)都有意义;若α,β中有一角是 kπ+ (k∈Z),可利用诱导 2 公式化简.

π 2

考点 2

二倍角公式的运用
. .

【2-1】函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 的最大值为 【2-2】已知 sin 2? ?

1 ? ,则 cos 2 (? ? ) ? 3 4

【基础知识】
二倍角的正弦、余弦、正切公式: S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α T2α:tan 2α= . 1-tan2α 变形公式: 1+cos 2α 1-cos 2α cos2α= ,sin2α= 2 2 1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2

【思想方法】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则: (1)一看“角” ,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公 式; (2)二看“函数名称” ,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式; (3)三看“结构特征” ,分析结构特征,找到变形的方向.

【温馨提醒】求解三角函数问题,应灵活运用公式,特别注意已知等式中角的取值范围,涉
及开方求值问题,注意正负号的选取.

考点 3

三角恒等式的证明
1 α=4sin 2α. α-tan2 tan 2 cos2α

【3-1】求证: 1

sin β sin(2α+β) 【3-2】求证:sin α= sin α -2cos(α+β). 【3-3】已知 0 ? ? ?

?
4

,0 ? ? ?

?
4

,且 3 sin ? ? sin( 2? ? ? ) , 4 tan

?
2

? 1 ? tan 2

?
2

.

证明: ? ? ? ?

?
4

.

【基础知识】
二倍角的正弦、余弦、正切公式: S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α T2α:tan 2α= . 1-tan2α 变形公式: 1+cos 2α 1-cos 2α cos2α= ,sin2α= 2 2 1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2

【思想方法】
三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式. (1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,变更论证,通过三角 恒等式变换,使等式的两边化异为同. (2)条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途 径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.

【温馨提醒】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,有目的的化繁为简、左右归一
或变更论证. . 【易错问题大揭秘】 1.利用辅助角公式,asin x+bcos x 转化时一定要严格对照和差公式,防止搞错辅助角. 2.计算形如 y=sin(ω x+φ ), x∈[a,b]形式的函数最值时,不要将ω x+φ 的范围和 x 的范围混 淆. (1)讨论三角函数的性质,要先利用三角变换化成 y=Asin(ω x+φ ),φ 的确定一定要准确. (2)将ω x+φ 视为一个整体,设ω x+φ =t,可以借助 y=sin t 的图象讨论函数的单调性、最值 等.


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