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椭圆综合


专题复习之椭圆
一、知识点:
(一)(1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距 离是焦距,且定长 2a 大于焦距 2c。用集合表示为: ;

②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数 e,那么这个点的轨迹叫 做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数 e 是离心率。

用集合表示为: (2)标准方程和性质: (焦点在 x 轴) 标准 方程 (焦点在 y 轴)



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

第一定义:平面内与两个定点 F 1 , F2 的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的 点的轨迹叫做椭圆, 这两个定点叫焦点, 两定点间距离焦距。 ?M MF1 ? MF2 ? 2a? ?2a ? F1F2 ?
y
M

y
F2
M

F1

O

F2

x

O

F1

x



义 第二定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于 1 的正 常数时,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线是椭圆的准线。
y

y
M M

F2

M

F1

F2

x

F1

M

x





x ?a

y ?b

x ?b

y ?a

1

今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

顶点坐标 对 称 轴 对称中心

(? a,0) (0, ?b)

(0,? a) (?b, 0)

x 轴, y 轴;长轴长为 2a ,短轴长为 2b
原点 O (0, 0)

F1 (c,0)
焦点坐标

F2 (?c, 0)

F1 (0, c)

F2 (0, ?c)

焦点在长轴上, c ? a2 ? b2 ; 焦距: F 1F 2 ? 2c

离 心 率

e?

c ( 0 ? e ? 1) a

,e ?
2

c2 a2 ? b2 , ? a2 a

e 越大椭圆越扁, e 越小椭圆越圆。
x??
准线方程 准线垂直于长轴,且在椭圆外;两准线间的距离:

a2 c

y??

a2 c 2a 2 c

顶点 A 1 ( A2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 顶点到准 线的距离 顶点 A 1 ( A2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为

a2 ?a c a2 ?a c

焦点 F 1 ( F2 )到准线 l1 ( l 2 )的距离为 焦点到准 线的距离 焦点 F 1 ( F2 )到准线 l 2 ( l1 )的距离为 椭圆上到 焦点的最 大(小) 距离 椭圆的参 数方程 最大距离为: a ? c 最小距离为: a ? c 相关应用题:远日距离 a ? c 近日距离 a ? c

a2 ?c c a2 ?c c

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ?
利用参数方程简便:椭圆 ?

? x ? b cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? a sin ?

椭圆上的 点到给定 直线的距 离

? x ? a cos ? ( ? 为参数)上一点到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 ? y ? b sin ?

为: d ?

|Aa cos ? ? Bb sin ? ? C| A2 ? B 2
2 今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

椭圆

x2 y2 ? ? 1 与直线 y ? kx ? b 的位置关系: a2 b2

? x2 y 2 ?1 ? ? 转化为一元二次方程用判别式确定。 直线和椭 利用 ? a 2 b 2 ? 圆的位置 ? y ? kx ? b
相交弦 AB 的弦长 AB ? 1 ? k 2 (x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 通径: AB ? y2 ? y1 过椭圆上 一点的切 线

x0 x y 0 y ? 2 ? 1 利用导数 a2 b

y0 y x0 x ? 2 ? 1 利用导数 a2 b

注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。

(3)参数方程:

(θ 为参数);

(二)1、椭圆各参数间的关系请记熟 “六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线: 两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线 PQ;三角形:焦点三角形 可在这个图中找到。 。则椭圆的各性质(除切线外)均

2、、椭圆形状与 e 的关系:当 e→0,c→0,椭圆→圆,直至成为极限位置的圆,则认为圆是椭圆在 e=0 时的特例。当 e→1,c→a 椭圆变扁,直至成为极限位置的线段 例。 3、利用焦半径公式计算焦点弦长:若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB,A、B 两点的坐标 分别为 ,则弦长 ,此时也可认为是椭圆在 e=1 时的特

3

今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想。 4、若过椭圆左(或右)焦点的焦点弦为 AB,则 (三)椭圆常用性质 ;

1、若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2、若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 P1P2 的直线方程是 3、 AB 是椭圆

x0 x y0 y x2 y 2 ? 2 ? 1. ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b

x2 y 2 ? ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 a 2 b2

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

x2 y 2 b2 k ? k ? ? ? ? 1 的不平行于对称轴且过原点的弦, M 为 AB 的中点, 则 OM AB a2 a 2 b2
x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 2 ? 2 . ? ? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a2 b a b a 2 b2

4、若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 5、若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . ? ? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a b a 2 b2

x2 y 2 6、过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 a b

B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 7、椭圆

b2 x0 (常数). a 2 y0

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2 ? ? , a 2 b2

则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

, P(

a 2 2 ? b2 ? c ? b tan 2 , tan ) . c 2 c 2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 8、椭圆 a (a>b>0)的焦半径公式: | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) ,

F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
9、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的 连线必与切线垂直. 10、椭圆
x2 y 2 ? 2 ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A2 a 2 ? B 2b2 ? C 2 2 a b
4 今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

11、椭圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a2 b2

A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .
x2 y 2 12、已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ . a b 4a 2 b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 (1) ( ; 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ( ; 3 ) 的最小值是 . ? ? ? S ?OPQ a 2 ? b2 a 2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2

13 、设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 )上异于长轴端点的任一点 ,F1 、 F2 为其焦点记 a 2 b2

? 2b2 .(2) S?PF1F2 ? b 2 tan . ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? 2 1 ? cos ?
14、OA、OB 是椭圆
( x ? a)2 y 2 ? 2 ? 1( a>0,b>0)的两条互相垂直的弦,O 为坐标原点,则 a2 b
2ab 2 , 0) . a 2 ? b2 ab2 2 2 ab2 2 ) ? y ? ( ) ( x ? 0) . a 2 ? b2 a 2 ? b2

(1)直线 AB 必经过一个定点 (

(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 ( x ?

二、类型解析 类型一:求解椭圆方程
1、已知三角形 ABC 的两顶点为 B(?2, 0), C (2, 0) ,它的周长为 10 ,求顶点 A 轨迹方程.

0? , a ? 3b ,求椭圆的标准方程. 2、已知椭圆的中心在原点,且经过点 P?3,

3、椭圆的一个顶点为 A(2,0) ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程.

5

今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

4、已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP
10 ⊥OQ,|PQ|= 2 ,求椭圆方程

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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类型二:求解离心率
x2 1、椭圆 a2 y2 + b2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 、F2 ,点 P 在椭圆上,使△OPF1 为正三角形, 求椭圆离心率?

P
F2 F2 F2
2

O O O O O O

F1

x 2、 椭圆 a2 求 e?

2

y O + b2 =1(a>b >0), A 是左顶点, F 是右焦点, B 是短轴的一个顶点, ∠ABF=90°, O
O O O BO O O A OO O O O O

2

F

x2 3、椭圆 a2

y2 → + b2 =1(a>b >0),斜率为 1,且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,OA
6 今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

→ → +OB与 a =(3,-1)共线,求离心率 e?

x2 y2 → → 4、椭圆 a2 + b2 =1(a>b >0)的两焦点为 F1 (-c,0) 、F2 (c,0),满足MF1·MF2 =0 的点 M 总 在椭圆内部,则 e 的取值范围?

5、 过 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 左 焦 点 F1 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 P , F2 为 右 焦 点 , 若 a 2 b2

?F1PF2 ? 60? ,求椭圆的离心率?

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 6、设椭圆 C: a 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的
倾斜角为 60o, AF ? 2 FB .
7 今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

??? ?

??? ?

(I)

求椭圆 C 的离心率;

(II)

15 如果|AB|= 4 ,求椭圆 C 的方程.

类型三:直线与椭圆
1、K 为何值时,直线 y=kx+2 和曲线 2x2+3y2=6 有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?

2、已知椭圆:

x2 ? ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 的长 6 9

王新敞
奎屯

新疆

3 x 2 3、已知椭圆 E 的焦点在 轴上,长轴长为 4 ,离心率为 .
(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)已知点 A(0 ,1) 和直线 l :
y? x?m

,线段 AB 是椭圆 E 的一条弦且直线 l 垂直平分弦 AB ,求点 B 的
8 今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

坐标和实数 m 的值.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 4、已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆 a 相交于 A 、 B 两点, M 是线段 AB 上的一点,
1 ???? ? ???? ? l:y? x 2 上 AM ? ? BM ,且点 M 在直线
(1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x ? y ? 1上,求椭圆的方程。
2 2

5、已知 A、B、C 是椭圆 m :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 的坐标为 (2 3,0) ,BC 过椭圆 m a2 b2

的中心,且 AC ? BC ? 0 , BC ? 2 AC . (Ⅰ)求椭圆 m 的方程;
9 今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

(Ⅱ)过点 M (0, t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点, 且 | DP |?| DQ | .求实数 t 的取值范围.

1 6、中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦的中点横坐标为 2 ,求椭圆
的方程
王新敞
奎屯 新疆

7、已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (2, 0) , 且过点 P(2, 2) .直线 l 过点 a 2 b2

F 且交椭圆 C 于 A 、B 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M ( , 0) ,求直线 l 的方程.

1 2

10

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类型四:定值与最值 1、椭圆 C :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过 (2, 0) 点. 2 a b 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
O 为坐标原点,若 ?AOB 为直角,求 m 的值. (Ⅱ)设直线 l :y ? x ? m 与椭圆 C 交于 A, B 两点,

2、在直角坐标系 xOy 中, 点M
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

到点 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) 的距离之和是 4 , 点 M 的轨迹

是C , 直线 l : y ? kx ? 2 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q . (Ⅱ)是否存在常数 k , 使 OP ? OQ ? 0 ? 若存在, 求出 k 的值; 若不存在, 请说明理由.

??? ? ????

3、已知椭圆 C 的对称中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

1 3 ,且点 (1, ) 在该椭圆上. 2 2

C 相交于 A, B 两点,若 ?AOB 的面积为 (Ⅱ)过椭圆 C 的左焦点 F 1 的直线 l 与椭圆
求直线 l 的方程.

6 2 , 7

11

今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

4、在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到两点 (? 3 , 0) 、 ( 3, 0) 的距离之和等于 4 ,设点
P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A 、B 两点.
(Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在△ AOB 面积的最大值?若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在, 说明理由.

5、 已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2 ,且点 A ( 2,1) 在椭圆 a 2 b2 2 C 两点. ,且与椭圆 M 交于 B 、 M 上,直线 l 的斜率为 2
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值.

12

今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

6、P 、 Q 、 M 、 N 四点都在椭圆 x2 ? y

2

2 ???? ? ???? ??? ? ???? ? MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.

??? ? ??? ? ? 1 上, F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 与 FQ 共线,

y
M F P O N Q

x

7、已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F 1 (? 2,0) , F 2 ( 2,0) ,点 a 2 b2

M (1,0) 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点,设点 N (3, 2) ,记直线 AN 、BN 的斜率分别为 k1 、 k2 ,求证: k1 ? k2 为定值.

13

今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

8、已知直线 l : x ? my ? 1(m ? R) 与椭圆 C :
相交于点 B ,且当 m ? 0 时, | EF |? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (t ? 0) 相交于 E , F 两点,与 x 轴 9 t

8 . 3

(Ⅱ)设点 A 的坐标为 (?3, 0) ,直线 AE 、AF 与直线 x ? 3 分别交于 M 、N 两点. 试判断以 MN 为直径的圆是否经过点 B ? 并说明理由.

9、在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆
交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围;

x2 ? y 2 ? 1有两个不同的 2

(II) 设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B , 是否存在常数 k , 使得向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

??? ? ??? ?

??? ?

14

今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 10、已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 a b 的左顶点A和上顶点D,椭圆 C 的右顶
点为 B ,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS , BS 与直线 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;

l:x?

10 3 分别交于 M , N 两点。

1 (Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的点 T ,使得 ?TSB 的面积为 5 ?若存在,
确定点 T 的个数,若不存在,说明理由

11、在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点
15 今天的辛苦的付出是为了更好的明天!

x2 y 2 O .椭圆 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 . a 9
(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q , 使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长. 若存在, 请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

16

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