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函数的定义域值域练习题


高一数学《函数的定义域值域》练习题
2 8. (2004.湖北理)已知 f (1 ? x ) ? 1 ? x 2 , 则f ( x) 的解析式可取为 1? x 1? x

( C ) D. ?

A.

x 1? x2

B. ?

2x 1? x2
2

C.

2x 1? x2

x 1? x2

9. (2004.湖北理)函数 f ( x) ? a ? log a ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为( B A. ) B. D.4 ( D ) D. ( 2 ,1] 3

1 C.2 2 13. (2004. 重庆理)函数 y ? log 1 (3 x ? 2) 的定义域是:
2

1 4

A. [1, ??)

B. ( 2 , ??) 3

C. [ 2 ,1] 3

? 2 18. 2004.湖南理)设函数 f ( x) ? ? x ? bx ? c, x ? 0, x ? 0, 若f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2, 则关于 x ( x ? 0. ?2,

的方程 f ( x) ? x 解的个数为 ( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 )

20、 2004. 人教版理科)函数 y ? (

log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域为(
2

A、? 2 ,?1 ? 1, 2

?

? ?

?

( B、 ? 2 ,?1) ? (1, 2 )

? C、? 2,?1? ? ?1,2?

D、 ?2,?1) ? (1,2) (

28、 2004. 人教版理科)设函数 f ( x ) ? ? ( 取值范围为( ) A、 ?? ?,?2? ? ?0,10?

?( x ? 1) 2 , x ? 1 ? ?4 ? x ? 1, x ? 1 ?

,则使得 f ( x ) ? 1 的自变量 x 的

B、 ?? ?,?2? ? ?0,1?

C、 ?? ?,?2? ? ?1,10?

D、 ?? 2,0? ? ?1,10?

9. (2006 年陕西卷)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ? 密文(加密) , 接 收 方 由 密 文 ? 明 文 ( 解 密 ) 已 知 加 密 规 则 为 : 明 文 a, b, c, d 对 应 密 文 ,

a ? 2b, 2b ? c, 2c ? 3d , 4d . 例 如 , 明 文 1, 2,3, 4 对 应 密 文 5,7,18,16. 当 接 收 方 收 到 密 文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为(C) (A) 7, 6,1, 4 (B) 6, 4,1, 7 (C) 4, 6,1, 7 (D) 1, 6, 4, 7 1 5 3. (2006 年安徽卷) 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? , f ?1? ? ? , 若 f ? x?
则f

? f ? 5? ? ? __________。

解:由 f ? x ? 2 ? ?

1 1 ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 得 f ? x ? 4? ? f ? x? f ? x ? 2?

f ? f ? 5 ? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

1 1 ?? f (?1 ? 2) 5

4. (2006 年广东卷)函数 f ( x ) ? A. (? ,??)

3x 2 1? x

? lg(3 x ? 1) 的定义域是
D. (??,? )

1 1 1 1 B. (? ,1) C. (? , ) 3 3 3 3 1? x ? 0 ? 1 ? ? ? x ? 1 ,故选 B. 解:由 ? 3 ?3x ? 1 ? 0
17. (2006 年湖北卷)设 f ? x ? ? lg

1 3

2? x ? x? ?2? ,则 f ? ? ? f ? ? 的定义域为 (B) 2? x ?2? ? x? A. ?? 4,0? ? ?0,4? B. ?? 4,?1? ? ?1,4? C. ?? 2,?1? ? ?1,2? D. ?? 4,?2? ? ?2,4? x ? ??2 ? 2 ? 2 , 2? x ? 解:选 B。由 ,解得 ? 0 得 , f ( x) 的 定 义 域 为 ?2 ? x ? 2 。 故 ? 2 2? x ??2 ? ? 2 . ? x ? ? x? ?2? x ? ? ?4, ?1? ? ?1, 4 ? 。故 f ? ? ? f ? ? 的定义域为 ?? 4,?1? ? ?1,4? 。 ?2? ? x? ? e x , x ? 0. 1 24. (2006 年辽宁卷)设 g ( x ) ? ? 则 g ( g ( )) ? __________ 2 ?lnx, x ? 0.
【解析】 g ( g ( )) ? g (ln ) ? e 28.( 2006 年湖南卷)函数 y ?

1 2

1 2

ln

1 2

?

1 . 2
D )

【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.

log 2 x ? 2 的定义域是(

A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞) 33. (2006 年江苏卷) a 为实数, 设 记函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (Ⅱ)求 g(a) 1 (Ⅲ)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a 解: (I)∵ t ? 1 ? x ? 1 ? x , ∴要使 t 有意义,必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1 ∵ t ? 2 ? 2 1 ? x ? [2,4] ,且 t ? 0 ……①
2 2

∴ t 的取值范围是 [ 2 ,2] 。

1 2 1 1 t ? 1 ,∴ m(t ) ? a( t 2 ? 1) ? t ? at 2 ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 。 2 2 2 1 2 (II)由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) ? at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 的最大值, 2 1 1 2 ∵直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论: a 2 (1)当 a ? 0 时,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 1 由 t ? ? ? 0 知 m(t ) 在 t ? [ 2 ,2] 上单调递增,故 g (a ) ? m(2) ? a ? 2 ; a (2)当 a ? 0 时, m(t ) ? t , t ? [ 2 ,2] ,有 g (a ) =2;
由①得: 1 ? x ?
2

(3)当 a ? 0 时, ,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

2 1 ? (0, 2 ] 即 a ? ? 时, g (a ) ? m( 2 ) ? 2 , 2 a 2 1 1 1 1 若 t ? ? ? ( 2 ,2] 即 a ? (? , ,? ] 时, g (a ) ? m(? ) ? ?a ? 2 2 a a 2a 1 1 若 t ? ? ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a ) ? m(2) ? a ? 2 。 a 2 1 ? (a ? ? ) ? a?2 2 ? 1 2 1 ? 综上所述,有 g (a ) = ?? a ? , (? ? a ? ? )。 2a 2 2 ? 2 ? 2 (a ? ? ) ? 2 ? 1 3 (III)当 a ? ? 时, g (a ) ? a ? 2 ? ? 2 ; 2 2 2 1 1 2 1 2 1 ?( ,1] ,∴ ? a ? ? 当? , ? a ? ? 时, ? a ? [ , ),? 2a 2 2 2 2 2 2a 1 1 2 ? 2 (?a) ? (? ) ? 2 ,故当 a ? ? 时, g (a ) ? 2 ; g (a ) ? ?a ? 2a 2a 2 1 1 1 当 a ? 0 时, ? 0 ,由 g (a ) ? g ( ) 知: a ? 2 ? ? 2 ,故 a ? 1 ; a a a 1 1 1 当 a ? 0 时, a ? ? 1 ,故 a ? ?1 或 ? ?1 ,从而有 g ( a ) ? 2 或 g ( ) ? 2 , a a a 2 1 2 2 1 要使 g (a ) ? g ( ) ,必须有 a ? ? , ?? ,即 ? 2 ? a ? ? , 2 a 2 2 a 1 此时, g ( a ) ? 2 ? g ( ) 。 a 2 1 综上所述,满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a 为: ? 2 ? a ? ? 或 a ? 1。 a 2
若t ? ? 点评:本题主要考查函数、方程等基本知识,考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学 知识分析问题和解决问题的能力 (21) ( 2006 年重庆卷)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+y_=f(x)-x2+x. (Ⅰ)若 f(2)-3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (Ⅱ)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)= x0,求函数 f(x)的解析表达式. 解: (Ⅰ)因为对任意 xε R,有 f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x,所以 f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2. 又由 f(2)=3,得 f(3-22+2)-3-22+2,即 f(1)=1. 若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=a. (Ⅱ)因为对任意 xε R,有 f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x. 又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)- x0. 所以对任意 xε R,有 f(x)- x2 +x= x0. 在上式中令 x= x0,有 f(x0)-x 0 + x0= x0, 又因为 f(x0)- x0,所以 x0- x 0 =0,故 x0=0 或 x0=1. 若 x0=0,则 f(x)- x2 +x=0,即
2
2

f(x)= x2 –x. 但方程 x2 –x=x 有两上不同实根,与题设条件矛质,故 x2≠0. 若 x2=1,则有 f(x)- x2 +x=1,即 f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上,所求函数为 f(x)= x2 –x+1(x ? R). (07 高考) 1、 (全国 1 文理 8)设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a x 在区间 [a, 2a] 上的最大值与最小值之差为

1 ,则 a ? 2
A. 2 B.2 C. 2 2 D.4

解 . 设 a ? 1 , 函 数 f ( x) ? log a x 在 区 间 [a , 2 ] 的 最 大 值 与 最 小 值 之 分 别 为 a 上

log a 2a, log a a ? 1 ,它们的差为

1 1 ,∴ log a 2 ? , a ? 4,选 D。 2 2

16、(安徽文 7)图中的图象所表示的函数的解析式为

3 (0≤x≤2) | x ?1| 2 3 3 (B) y ? ? | x ? 1 | 2 2 3 (C) y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 2
(A) y ? (D) y ? 1? | x ? 1 | (0≤x≤2)

(0≤x≤2)

解析:图中的图象所表示的函数当 0≤x≤1 时,它的解析式为 y ? 式为 y ? ?

3x ,当 1<x≤2 时,解析 2

3 3 3 x ? 3 ,∴解析式为 y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2),选 B。 2 2 2

? x 2, ≥1, ? x ? 31、 (浙江理 10)设 f ( x) ? ? g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 的值域是 ? 0, ∞? , x ? x, ? 1, ?
则 g ( x) 的值域是( )

? , A. ? ?∞, 1? ? ?1 ? ∞? ? C. ? 0, ∞?
【答案】 C :

? ? B. ? ?∞, 1? ? ? 0, ∞? ? D. ?1, ∞?

? ? 【分析】 :要 f ( ? ) 的值域是 ? 0, ∞? ,则 ?可取(??, ?1] ? ? 0, ∞? . 又 g ( x) 是二次函数, ? 定义域连续,故 g ( x) 不可能同时 取(??, ?1]和? 0, ∞? . 结合选项只能选 C.
39、 (陕西文 2)函数 f ( x) ? lg 1 ? x 2 的定义域为

(A) [0,1] (C) [-1,1] 解析:由 1-x2>0 得-1<x<1,选 B 29、 (江西文 3)函数 f ( x) ? lg A. (1, 4) 解析: B. [1, 4)

(B) (-1,1) (D) (-∞,-1)∪(1,+∞)

1? x 的定义域为( x?4

) D. (??, ? (4, ?) 1] ?

C. (??, ? (4, ?) 1) ?

1? x ? 0 ? (1 ? x)( x ? 4) ? 0,?1 ? x ? 4. 选 A. x?4

3、 (北京文 14)已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1

2

3

x
g ( x)

1

2

3

2

1

1

3

2

1

则 f [ g (1)] 的值为

;当 g[ f ( x)] ? 2 时, x ?



解析: f [ g (1)] = f (3) ? 1 ;当 g[ f ( x)] ? 2 时, f ( x) ? 2 , x ? 1. 4、 (北京理 14)已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1

2

3

x
g ( x)

1

2

3

1

3

1

3

2

1

则 f [ g (1)] 的值为

;满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是



解析: f [ g (1)] = f (3) ? 1 ; 当 x=1 时, f [ g (1)] ? 1, g[ f (1)] ? g(1) ? 3 ,不满足条件, 当 x=2 时, f [ g (2)] ? f (2) ? 3, g[ f (2)] ? g(3) ?1 ,满足条件, 当 x=3 时, f [ g (3)] ? f (1) ?1, g[ f (3)] ? g(1) ?3 ,不满足条件, ∴ 只有 x=2 时,符合条件。 6、 (上海理 1)函数 f ? x ? ? 【答案】

lg ? 4 ? x ? x?3

的定义域为 _____

?x x ? 4 且 x ? 3 ?
?4 ? x ? 0 ? ?x ? 3 ? 0

【解析】 ?

?x x ? 4 且 x ? 3 ?

17、(浙江文11)函数 y ? 【答案】 :

x2 ? x ? R ? 的值域是______________. x2 ? 1

? 0,1?
2

【分析】 :注意到 x ? 0 ,故可以先解出 x ,再利用函数的有界性求出函数值域。
2

y y x2 2 由y? 2 ,得 x ? ,∴ ? 0 ,解之得 0 ? y ? 1 ; 1? y 1? y x ?1
20、 (重庆文 16)函数 f ( x) ? 【答案】 1 ? 2 2 :

x2 ? 2x ? 2

x 2 ?5 x ? 4

的最小值为



? x2 ? 2 x ? 0 ? x ? 2或x ? 0 ? ?? ? x ? 4或x ? 0. 【分析】 ? ? 2 : ? x ? 5 x ? 4 ? 0 ? x ? 4或x ? 1 ?

又x ? [4, ??)时, f ( x)单调递增, ? f ( x) ? f (4) ? 1 ? 2 2;

而x ? (??,0]时, f ( x)单调递减, ? f ( x) ? f (0) ? 0 ? 4 ? 4;
故最小值为 1 ? 2 2.

(08 高考)
1.(全国一 1)函数 y ? A. x | x ≥ 0

x( x ? 1) ? x 的定义域为( C )
B. x | x ≥1

?

?

?

? ?

C. x | x ≥1 ? ?0?

?

?

D. x | 0 ≤ x ≤ 1

?

12.(四川卷 11)设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 ,则

f ? 99 ? ? ( C )
(A) 13 (B) 2 (C)

13 2

(D)

2 13

20.(江西卷 3)若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ ,3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ?

1 2

1 的值域是 B f ( x)

A. [ ,3]

1 2

B. [2,

10 5 10 ] C. [ , ] 3 2 3

D. [3,

10 ] 3

23.(湖北卷 4)函数 f ( x) ? A. (??, ?4] ? [2, ??) C.

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4) 的定义域为 D x
B. (?4, 0) ? (0.1) D. [?4, 0) ? (0,1)

[-4,0) ? (0,1]

28. (陕西卷 11) 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy( x,y ? R ) ,

f )( 2? ,则 f (?3) 等于( 1
A.2 B.3

C ) D.9

C.6

29.(重庆卷 4)已知函数 y= 1 ? x ?

x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则
(C)

m 的值为 C M

(A)

1 4

(B)

1 2
x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

2 2

(D)

3 2

8.(安徽卷 13)函数 f ( x ) ?

的定义域为

. [3, ??)

12.(湖南卷 14)已知函数 f ( x) ?

3 ? ax (a ? 1). a ?1
; ? ??, ? a

(1)若 a>0,则 f ( x) 的定义域是

? ?

3? ?
.

(2) 若 f ( x) 在 区 间 ? 0 , 1 上 是 减 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ?

? ??, 0 ? ? ?1,3?
10.(2009 山东卷理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? (2009)的值为( A.-1 B. 0 ) C.1 D. 2

?log 2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1, f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 答案:C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

12. (2009 山东卷文)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? (3)的值为( A.-1 B. -2 ) C.1 D. 2

x?0 ?log 2 (4 ? x), ,则 f ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

【解析】:由已知得 f (?1) ? log 2 5 , f (0) ? log 2 4 ? 2 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? 2 ? log 2 5 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ? log 2 5 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ? log 2 5 ? (2 ? log 2 5) ? ?2 ,故选 B.
答案:B. 【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程. 22.(2009 江西卷文)函数 y ? A. [?4, 1] 答案:D 【解析】由 ? B. [?4, 0)

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x C. (0, 1] D. [?4, 0) ? (0, 1]

?
2

x?0

?? x ? 3x ? 4 ? 0

得 ?4 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 ,故选 D.

26.(2009 江西卷理)函数 y ? A. (?4, ? 1) 答案:C 【解析】由 ? B. (?4,1)

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

C. (?1,1)

D. (?1,1]

?x ?1 ? 0
2

? x ? ?1 ?? ? ?1 ? x ? 1 .故选 C ? ? x ? 3 x ? 4 ? 0 ? ?4 ? x ? 1

34.(2009 四川卷文)已知函数 f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意 实数 x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( ) 的值是 A. 0 【答案】A 【解析】若 x ≠0,则有 f ( x ? 1) ? B.

5 2

1 2

C. 1

D.

5 2

1? x 1 f ( x) ,取 x ? ? ,则有: x 2

1 1 1 2 f (? 1 ) ? ? f (? 1 ) ? ? f ( 1 ) ( ∵ f (x) 是 偶 函 数 , 则 f ( ) ? f (? ? 1) ? 1 2 2 2 2 2 ? 2 1 1 f (? ) ? f ( ) ) 2 2 1?

由此得 f ( ) ? 0 于 是 ,

1 2

5 3 f ( ) ? f ( ? 1) ? 2 2

1?

3 1 1? 2 f ( 3 ) ? 5 f ( 3 ) ? 5 f ( 1 ? 1) ? 5 [ 2 ] f ( 1 ) ? 5 f ( 1 ) ? 0 3 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 2
1 有相同定义域的是 x
D. f ( x) ? e
x

61.(2009 福建卷文)下列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x 解析 解析 由 y ? B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x) ?| x |

1 1 可得定义域是 x ? 0. f ( x) ? ln x 的定义域 x ? 0 ; f ( x) ? 的定义 x x
x

域是 x ≠0; f ( x) ?| x | 的定义域是 x ? R; f ( x) ? e 定义域是 x ? R 。故选 A. 5.(2009 北京文)已知函数 f ( x ) ? ? 【答案】 log 3 2
5.u.c

?3 x , ? ? x,

x ? 1, x ? 1,

若 f ( x) ? 2 ,则 x ?

.

.w.w. k. s.5

.w

【解析】 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算 的考查. 由?

?x ? 1

?x ? 1 ? x ? log 3 2 , ? 无解,故应填 log 3 2 . x ? ? x ? 2 ? x ? ?2 ?3 ? 2

?1 ?x , x ? 0 ? 6. 2009 北京理) ( 若函数 f ( x) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? 3 ?
【答案】 ? ?3,1?

则不等式 | f ( x) |?

1 的解集为____________. 3

【解析】 本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、 基本运算的考 查.

?x ? 0 1 ? (1)由 | f ( x) |? ? ? 1 1 ? ?3 ? x ? 0 . 3 ? ? ?x 3

?x ? 0 ?x ? 0 1 ? ? x x (2)由 | f ( x) |? ? ? ? 1 ? 1 ? ?? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 1 . 3 ?? ? ? ? 3 ?? 3 ? 3 ?? ? ??3?

∴不等式 | f ( x) |?

1 的解集为 ? x | ?3 ? x ? 1? ,∴应填 ? ?3,1? . 3


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