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人大附中分班考试班部分答案


人大附中分班考试班第四讲部分答案
第四讲 计数问题

一. 加法原理与乘法原理 例 1.满足下面性质的数称为好数,它的个位比十位大,十位比百位大,百位比千位大,并 且相邻两位数字差不超过 2.例如 1346 为好数,3579 为好数,但 1456 就不是好数.那么 有 四位好数.

答案:36 .

例 2.用 3 种颜色把一个 3?3 的方格表染色,要求相同行和相同列的 3 个格所染的颜色互不 相同,一共有________种不同的染色法

例 3.□□□+□□=□□+□□, 把数字 1~9 填入上面的方框中,使等式成立.每个数字只能填 1 次,一共有多少种不同 的填法?

例 4.如图,把 A、B、C、D、E 这 5 个部分用 4 种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用 同一种颜色, 不相邻的部分可以使用同一种颜色。 那么, 这幅图共有多少种不同的着色方法? 解析:4×3×2×2×2=96。

例 5.有一种四位数, 它与它的逆序四位数和为 9999. 例如 7812+2187=9999, 3636+6363=9999 等.那么这样的四位数一共有多少个?

二. 排列组合 例 6.3 个男生,3 个女生排成一排,要求男生不能相邻,求一共有多少种排法?如果女生也 不能相邻,求一共有多少种排法? 解析:72。只可能是“男女男女男女”和“女男女男女男”。

例 7.从 10 个人中挑出 5 人,求满足下列条件的选法有多少种。(1)A,B 必须入选;(2)A,B 至少有一个人入选;(3)A,B,C 中恰好有一个人入选;(4)A,B,C 不能同时入选。

例 8.用数字 1,2 组成一个 8 位数,其中至少有连续 4 位都是数字 1 的有多少个?

例 9.从 1、2、3、…、9 中选取若干互不相同的数字(至少一个),使得其和是 3 的倍数, 共有多少种选法? 解析:按取出数的个数分类,总共有 175 种取法。

例 10.老师要将 20 个相同的苹果分给 3 个小朋友,要求每个小朋友至少分得 3 个苹果,那 么共有_____种分配方法.

三. 计数综合 例 11.各位数字之和为 33,而且能够被 33 整除的五位数有多少个? 解析:288 个。

例 12.

例 13.答案 38

家庭作业: 1.李明家有三人:李明和他爸爸妈妈;大明家有四人:大明、二明和他们的爸爸妈妈;小明 家有 5 人:小明和他爸爸妈妈,爷爷奶奶。现在要从他们三家每家选出一人来组成一个小区 管理委员会,那么这个小区管理委员会的组成方法有多少种? 答案:60。

2.支持环保,奥运场馆实行垃圾分类处理.每个地方放置 5 个垃圾筒,从左往右依次回收: 电池、塑料、废纸、易拉罐、不可再造.现在准备把 5 个垃圾桶染成红、绿、蓝 3 种颜色之 一, 要求相邻 2 个垃圾筒颜色不同, 且回收废纸的垃圾桶不能染成红色. 那么, 一共有______ 种染色方法.(32 种)

3.图 5 中包含★的三角形有多少个? 答案:18=2×2×3+1×2×3。

4.从 1~9 这 9 个数字中选出 4 个数字,(1)能够凑成多少个被 9 整除的四位数?(2)使其 乘积是 9 的倍数,共有多少种选法? 解析:336,71。 14=336 个数;×(1)按余数分类,考虑余数搭配,各类情况总计得 14 种;总计 24

(2)按质因数里有几个 3 分类,A 类不含 3,B 类含 1 个 3,C 类含 2 个 3;那么 C 可以任意 搭配,两个 B 之间可以搭配,最终算得结果为 71 种.

5.让 6 个男生和 3 个女生站成一排,要求不能有两个女生挨着,共有______种方法. 解析:151200.

重点中学分班考试班第五讲部分答案
第 5 讲 行程问题 一.简单行程问题 这类问题通常是一人(车)的行程问题,主要用行程问题中的三个要素:速度、时间、路程之 间的关系解题,找到对应要素直接用公式解即可。 【例 1】甲、乙各走了一段路,甲走的路程比乙少 ,乙用的时间比甲多 .问甲、乙两人的 速度比是多少?

二.典型相遇问题 这类问题通常是两人(车)反向行进中的问题, 条件多为两个人速度和或行程和, 而关于每个 人条件较少.解题时常常利用速度和、时间与路程和的关系计算.注意时间是两人共有的条 件,通常是两人条件到每个人条件过渡的关键; 【例 2】甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行,他们相遇时距 A、B 两地中心处 8 千米,已 知甲车速度是乙车的 1.2 倍,求 A、B 两地距离

【例 3】甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行,在距 B 地 54 千米处相遇.他们各自到达对 方车站后立即返回原地,途中又在距 A 地 42 千米处相遇,求两次相遇地点的距离。

三.典型追及问题 这类问题通常是两人(车)同向行进过程中的问题. 条件多为两个速度差或行程差. 这类题目 的解法与上一类典型相遇问题类似. 除了注意时间条件的应用外, 在追及问题中还要注意追 及两人的先后及快慢,尤其在环形跑道路的追及问题中,这样的错误是致命的。 【例 4】快、中、慢 3 辆车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的骑摩托的人。这三 辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑摩托的人。现在知道快车每小时走 72 千米,慢 车每小时走 57 千米,那么中车每小时走多少千米?

答案:60 千米/小时。快车 6 分钟走的比慢车 12 分钟少走的路程,就是摩托车 6 分钟 内走的路程。所以摩托车的速度是(57×12-72×6)÷6=42 千米/小时。快车 6 分钟追上, 所以路程差等于(72-42)×6÷60=3 千米。再看中车追摩托车,时间 10 分钟,所以速度差 等于 3÷(10÷60)=18 千米/小时。因此中车速度等于 18+42=60 千米/小时。 【例 5】一头凶猛的非洲狮正在追羚羊,狮子每跑 8 步的路程,羚羊得跑 10 步,但羚 羊跑 6 步的时间,狮子只能跑 5 步。狮子能追上羚羊吗?如果一开始羚羊在狮子前方 10 米 处,狮子得跑多少米才能最终抓到羊? 答案:250 米。相同时间内,狮子跑 5 步,羊跑 6 步,通过扩倍,可以知道狮子跑 40 步,羊跑 48 步。而狮子 40 步的路程,相当于羊 50 步的路程,所以相同时间内狮子和羊跑 的距离都用羊的步长来衡量,一个是 50 步,另一个就是 48 步。也就是说狮子跑 50 米,羚 羊跑 48 米,多跑 2 米。现在需要狮子多跑 10 米才能追上,再扩大五倍,即得狮子跑 250 米。

【例 6】如图所示,一个跑道的示意图,沿 ACBEA 走一圈是 400 米,沿 ACBDA 走一圈是 275 米,其中 A 到 B 的直线距离是 75 米.甲、乙二人同时从 A 点出发练习长跑,甲沿 ACBDA 的小 圈跑,每 100 米用 24 秒,乙沿 ACBEA 的大圈跑每 100 米用 21 秒,问:(1)乙跑第几圈时 第一次与甲相遇?(2)出发多长时间甲、乙再次在 A 点相遇?

四.行船问题. 这类问题通常涉及到顺水与逆水两种情况.需要注意顺水船速、逆水船速、静水船速及水流 速度之间的关系.利用它们之间的关系用比例的方法解题是常用方法之一。 【例 7】小明开电动船从 A 码头到 B 码头需要 5 小时,从 B 码头返回 A 码头需要 6 小时,那 么小明坐无动力的竹筏从 A 码头漂流到 B 码头需要多少时间? 答案:60 小时

【例 8】王大伯从甲地顺流坐汽船去乙地用了 3 小时,坐木船从乙地回甲地用了 5 小时。已 知水流速度为 1.5 千米/时,汽船速度每小时比木船快 9 千米,那么甲乙之间的距离为多少 千米? 答案:90 千米。汽船顺流比木船逆流每小时快 12 千米,所以汽船顺流速度为 12× = 30(千米/时)。

五.错车问题 这类问题中通常都有一列具有一定长度及速度的火车(汽车).在不同类型的问题如相遇错 车、 追及错车、 过桥等之中, 火车的长度也有不同的意义如行程和、 行程差或行程的一部分. 正 确判断火车长度的意义及使用方法是这一类题目的关键; 【例 9】两列火车相向而行,甲车 48 千米/小时,乙车 60 千米/小时,两车错车时,甲车上

一个乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时,到车尾经过他的车窗 13 秒,求乙车全长多 少米?

【例 10】客车通过 250 米长的隧道用了 25 秒,通过 210 米长的隧道用了 23 秒,又知道客 车的前方有一辆与它行驶方向相同的货车,货车的车身长度为 320 米,速度为每小时 61.2 千米.问:客车与货车从相遇到离开需要多少时间? 点拨:比较题目中前面两个条件,可知客车的速度为每秒 20 米. 又可以求出客车的长度为 250 米.货车的速度为每小时 61.2 千米,也就是每秒 17 米. 客车与货车速度差为每秒钟 3 米.于是整个交错的时间为 190 秒.

六.时钟问题 这类问题通常是求时钟的时针、分针满足一定条件时的时间,属于追及问题的一种.时钟问 题中时针、分针、速度总是一定的.以表盘上 60 个格作为路程,则时针每分钟走 格,分针 每分钟走 1 格.它们的速度差为每分钟 格.合理利用这些条件是解题的重点. 【例 11】 时到 9 时之间时针和分针在“8”的两边, 8 并且两针所形成的射线到“8”的距离 相等.问这时是 8 点多少分?

七.复杂行程问题 【例 12】如图 5,在一条直线上有四个车站 ABCD,汽车在 AB、BC、CD 上的速度分别为 30 千米/时,40 千米/时,50 千米/时,两两速度一样的汽车甲乙分别从 AB 出发相向而行相遇 于 BC 的中点,如果甲晚出发一小时他们将在 B 点相遇,如果甲速减半而乙速不变他们也将 在 B 点相遇,求 AD 之间的距离。 答案:120 千米,甲从 A 到 B 的时间为乙从 D 到 C 的时间,所以 BC 为 40 千米。

【例 13】 一辆客车和一辆货车分别从甲、 乙两地同时出发相向而行, 客车每小时行 32 千米, 货车每小时行 40 千米.两车分别到达乙地和甲地后,立即返回出发地,返回时的速度,客 车每小时增加 8 千米,货车每小时减少 5 千米.已知两车两次相遇处相距 70 千米,问货车 比客车早返回出发地多少小时? 答案: 此题的关键在于要依次确定如下几个关键点的位置: 1.客车与货车第一次相遇时的位 置;2.货车调头时客车的位置;3.客车调头时货车的位置;4.客车与货车第二次相遇时的位 置.下面我们依此思路求解. 我们设甲、乙两地之间的距离为单位“1”.根据题设的客车、货车初始速度,两车第 一次相遇时距甲地 ,距乙地 .

货车调头时,客车已行了全程的 ,当客车行进余下的 全程到达乙地时,货车将距甲 地 .此时,两车相距全程的 他们第二次相遇时距乙地 ,客车和货车的速度分别为每小时 40 千米和 35 千米,因此 .于是两相遇点相距全程的 ,而这又相当于 70 千米,故甲、

乙两地之间的距离是 千米. 由于两车从乙地到甲地的速度均为每小时 40 千米, 所用时间相 等,故货车比客车早返回出发地为 1.35 小时.

人大附中分班考试班第六讲部分答案
第六讲 组合论证及杂题 一.抽屉原理 【例 1】从任意的 9 个自然数中是否一定能够找到这样的两个数,使得大数减去小数的差是 8 的倍数? 解:能够找到这样的两个数,使得大数减去小数的差是 8 的倍数.任何一个自然数被 8 除所 得到的余数必定为从 0 到 7 这 8 个数中的某一个, 将这 9 个自然数按照被 8 除所得的余数进 行分类,根据抽屉原理,必然有某一类中至少包含两个数.从至少含有两个数的分类中任选 出两个数, 这两个数被 8 除所得的余数是相同的, 所以将这两个数按照大数减小数所得到的 差一定是 8 的倍数.

【例 2】 1~10 随意填在右图的 10 个○中. 将 试说明至少有一行的数字之和不小于 15. (…)

【例 3】17 个同学参加一次考试,考试为 3 道判断题(答案只有对或错)。每位同学都在答 题纸上依次写上了 3 个题目的答案,那么至少有几个同学的答案是一样的? 3 个。答题纸上只有 2×2×2=8 种不同的答案,所以至少有 3 个同学答案一样。

二. 统筹与对策 【例 4】小明中午要烧一个菜,煮一锅饭,烧 1 壶水。烧菜每道工序的时间如下:切菜 4 分 钟,准备佐料 4 分钟,烧热锅 2 分钟,烧热油 2 分钟,炒菜 4 分钟。烧水每道工序的时间如 下:洗水壶 2 分钟,用火烧水 15 分钟,把开水灌到热水瓶中需要 2 分钟。用电饭锅煮饭的 过程如下,淘米 4 分钟,煮饭 18 分钟。小明家的煤气炉同时只能点一个火,那么小明做好 这 3 件事情最短需要多少分钟? 先洗水壶烧水,共用 2+15+2+2+4=25 分钟。

【例 5】

【例 6】北京、上海、杭州三地同时研制成了大型电子计算机若干台,除本地应用外,北京

可以支援外地 10 台,上海可以支援外地 4 台,杭州可以支援外地 6 台。现在决定给汉口 6 台,重庆 8 台,深圳 6 台。若每台计算机的运费如右表,表中运费单位是“万元”。上海、 北京和杭州制造的机器完全相同,应该怎样调运,才能使总的运费最省,最省运费是多少万 元? 118。

三.构造与论证 【例 7】有四个算式: ; ; ; 。在每一个算式中都至少有 1 个偶数和 1 个奇数。那么 12 个数中一共有多少个偶数?如果没有条件的限制, 在这四个算式中最少有几个偶数, 最多有 几个偶数? 6 个偶数;最少 2 个偶数,最多 12 个偶数。

【例 8】能否从 1~9 这九个自然数中选出七个填入下图的小圆圈中,使得六个小三角形上各 数之和是六个连续的 1)自然数;2)偶数? 解析:1)否。六个连续的自然数之和为(首项+末项)×3,有等式:(首项+末项)×3= 所选的七数之和×2+中心圆圈里的数×4,所以首项+末项为偶数,但末项和首项的差为 5 是奇数,所以填不出。 2)否。因为六个连续偶数的平均数是奇数,而且外围互不相邻的三个小圆圈中的数奇偶性 相同,那么中心圆圈必填奇数,有等式:六个连续偶数的平均数×6=所选的七数之和×2+ 中心圆圈里的数×4,得到奇数×6=偶数×2+奇数×4,矛盾!

【例 9】一次歌唱比赛共有 6 名选手参加。比赛共有 4 名裁判负责打分,每名裁判给 6 名选 手分别打上 1 分到 6 分各一次。 已知不同裁判给同一名选手的打分至多相差 2 分, 那么总分 最低的选手最多可以得到多少分? 「简答」考虑得过 1 分的选手,不可能有四个,因此一定有一个选手至少得了两个 1 分,那 么这名选手的总分至多是 8 分。容易构造出总分最低的选手恰好是 8 分的例子。

四. 最值问题 【例 10】某小学课外活动中,数学兴趣小组中男同学的人数比女同学的两倍少 11 人,语文 兴趣小组中女同学的人数比男同学多 21 人。如果两个兴趣小组中的男生人数相等,那么语 文小组中的女同学最少要比数学小组中的女同学多多少人? 解析:16。从图中可见,两个小组女生的人数差为“1”多 10 人,由于男生人数为“2”少 11 人,所以“1”至少应该等于 6 人。这时两个小组女生的人数差达到了最小,为 6+10=16 人。

【例 11】黑板上写着 1,2,3,4……200 各一个,小明每次擦去两个奇偶性相同的数,再 写上它们的平均数,最后黑板上只剩下一个自然数,这个数最大是多少? 199.平均数肯定比 200 小。如果擦去 1 和 3,写上 2 再擦去 2 和 2,仍写上 2,擦去 2 和 4, 写上 3,再擦去 3 和 5,写上 4;……;擦去 198 和 200 写上 199。

【例 12】在 1 到 6 中选 5 个数填入,使得:□×(□-□)×(□-□)计算出的结果最 大,这个最大的结果是多少? 64=4×(5-1)×(6-2)。和一定,差越小乘积越大。

五. 逻辑推理 【例 13】在三只盒子里,一只装有两个黑球,一只装有两个白球,还有一只装有黑球和白 球各一个.现在三只盒子上的标签全贴错了.你能否仅从一只盒子里拿出一个球来,就确定 这三只盒子里各装的是什么球?

【例 14】老师写了一个三位数给甲乙丙丁戊五个同学看。甲说:这个数是 27 的倍数;乙说: 这个数是 11 的倍数;丙说:这个数的数字之和为 15;丁说:这个数是个平方数;戊说:他 是 648000 的约数。老实说:他们中间只有三个人说真话。那么这个数是多少? 答案:丙丁矛盾,乙戊矛盾,所以甲是对的,从而丙不对,丁是对的,所以这数是 81 的倍 数,如果乙是对的,那么这数是 81×121 的倍数不是三位数,所以戊是对的,这个数只能为 81×4=324。

课后练习: 1. 有 210 张卡片,1 张 1 号,2 张 2 号,3 张 3 号,…,20 张 20 号,那么至少要从中取出 多少张卡片才能保证一定有 7 张号码相同的卡片. 1+2+3+4+5+6×15+1=106。

2.哥哥和弟弟两人各有若干元钱,哥哥对弟弟说:“如果我给你 100 元,你的钱数将是我的 5 倍”。弟弟对哥哥说:“如果我给你一些钱,你的钱数将是我的 8 倍”。那么哥哥和弟弟 分别最少有多少钱? 20。两人的总钱数必须是 6 和 9 的倍数,设两人的总钱数为“18”,两种情况相比哥哥的钱 数差为“13”。即“13”=100+若干元,所以“1”最小是 8。

3. 用尽可能小的整数乘以 1997,使得乘积里面有连续的 5 个数字是 9。请问这个尽可能小 的数是多少? 1997×2003=3999991。

4.从右图的 9 个交叉点中选择若干个点, 使得其中任意 4 点都不是某个正方形 (其边与原正 方形的边平行)的四个顶点,这样的点最多能选择几个? (6 个)

5.小刚想了一个四位数,让小明猜。 小明问:“是 7538 吗?”小刚说:“猜对了两个,但位置不对。” 小明问:“是 1269 吗?”小刚说:“猜对了两个,但位置不对。” 小明问:“是 3806 吗?”小刚说:“猜对了两个,且位置正确。” 小明问:“是 7239 吗?”小刚说:“这回一个都没对。” 根据以上信息,写出小刚所写的四位数。 5816。


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